2012-2013学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷(A卷)答案

2012-2013学年第一学期概率论与数理统计学期末考试试卷（A卷）答案Page1of9第1页共9页北京交通大学2012~2013学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷（A卷）参考答案某些标准正态分布的数值x34.053.0675.016.174.196.133.258.2x6631.07019.075.0877.09591.0975.099.0995.0其中x是标准正态分布的分布函数．一．（本题满分5分）口袋中有10个球，分别标有号码1到10，从中任意取出4个球．求最小号码是5的概率．解：设A“取出4个球，最小号码是5”．10个球取出4个球，有取法410C种．………….2分若最小号码是5，有取法35C种，因此2112101041035CCAP．………….3分二．（本题满分5分）一间宿舍住有5位同学，求他们之中至少有两位的生日在同一个月份的概率．解：设A“5位同学至少有两位的生日在同一月份”．5位同学，每一位在12个月份中任意选择，共有512种可能．………….2分考虑A的逆事件A，它表示5位同学中，没有两位的生日是同一月份的．则6181.012115512PAPAP．………….3分三．（本题满分8分），已知男人中%5的是色盲患者，女人中色盲患者占%25.0，今从男女比例为21:22的人群中随机地2012-2013学年第一学期概率论与数理统计学期末考试试卷（A卷）答案Page2of9第2页共9页挑选一人，发现是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？解：设A“任选一人为男性”，B“任选一人是色盲患者”．所求概率为BAP．由Bayes公式，得ABPAPABPAPABPAPBAP………….3分9544.00025.0432105.0432205.04322．………….5分四．（本题满分8分）在一小时内，甲、乙、丙三台机床需要维修的概率分别是9.0，8.0和85.0，而且这三台机床是否需要维修是相互独立的．求在一小时内⑴至少有一台机床不需要维修的概率；（4分）⑵至多只有一台机床需要维修的概率．（4分）解：设甲机床需要维修A，乙机床需要维修B，丙机床需要维修C．则⑴CBAPCBAPP1维修至少有一台机床不需要…….2分388.085.08.09.011CPBPAP．………….2分⑵CBACBACBACBAPP修至多有一台机床需要维………….2分CBAPCBAPCBAPCBAPCPBPAPCPBPAPCPBPAPCPBPAP059.085.02.01.015.08.01.015.02.09.015.02.01.0．…….2分五．（本题满分8分）试确定常数a，b，c，d的值，使得函数exdexdcxxbxxaxF1ln1为一连续型随机变量的分布函数．2012-2013学年第一学期概率论与数理统计学期末考试试卷（A卷）答案Page3of9第3页共9页解：因为连续型随机变量的分布函数xF是连续函数，因此函数xF在分段点1x及ex处连续，所以有10101FFF，即有dca．………….2分eFeFeF00，即有ddcebe．………….2分又分布函数xF必须满足：0limxFx，1limxFx．因而有0limxFax，1limxFdx．………….2分由此得方程组1101cebec，解此方程组，得1,1,1,0dcba．………….2分六．（本题满分8分）某地区成年男子的体重X（以kg计）服从正态分布2,N．若已知5.070XP，25.060XP，⑴求与的值；⑵如果在该地区随机抽取5名成年男子，求至少有两个人的体重超过kg65的概率．解：⑴由已知5.0707070XPXP，25.0606060XPXP………….2分得75.025.016015.070．即75.0605.070，查正态分布表，得675.060070，解方程组，得70，81.14．………….2分2012-2013学年第一学期概率论与数理统计学期末考试试卷（A卷）答案Page4of9第4页共9页⑵设A“从该地区任意选取一名成年男子，其体重超过kg65”．则3376.081.1470181.14706581.1470165165XPXPXPXP6631.03376.03376.01．………….2分设X：该地区随机抽取的5名成年男子中体重超过kg65的人数．则6631.0,5~BX．设B“5人中至少有两人的体重超过kg65．则101112XPXPXPXPBP9530.03369.06631.03369.06631.0141155005CC．（已知75.0675.0，6631.034.0）………….2分七．（本题满分8分）设二维随机变量YX,的联合密度函数为其它01045,22xyyxyxf求：随机变量Y的边缘密度函数yfY．解：当10y时，yyyYdxyxdxyxdxyxfyf1021122545,………….3分6211511312531252123103yyyyyxyxyx．…….3分所以，随机变量Y的边缘密度函数为其它01062115yyyyfY．………….2分八．（本题满分10分）2012-2013学年第一学期概率论与数理统计学期末考试试卷（A卷）答案Page5of9第5页共9页设nXXX,,,21是n个独立同分布的随机变量，1X服从参数为的指数分布．令nXXXT,,,min21，求随机变量T的密度函数．解：对于任意的实数x，随机变量T的分布函数为xXXXPxTPxFnT,,,min21xXXXPn,,,min121xXxXxXPn,,,121…………………….2分xXPxXPxXPn211nXnxFxXPxXPxXP11111121．………….3分所以，随机变量T的密度函数为xfxFnxFxfXnXTT11．………….2分如果1X服从参数为的指数分布，则1X的密度函数为000xxexfxX．分布函数为0001xxedttfxFxxXX．………….1分因此此时nXXXT,,,min21的密度函数为xnxnxXnXTeneenxfxFnxf111，0x．………….2分九．（本题满分8分）设随机向量321,,XXX间的相关系数分别为312312,,，且，0321XEXEXE，02321XDXDXD．令：211XXY，322XXY,133XXY．证明：321,,YYY两两不相关的充要条件为1312312．2012-2013学年第一学期概率论与数理统计学期末考试试卷（A卷）答案Page6of9第6页共9页证明：充分性：如果1312312，则有01312312．而322121,cov,covXXXXYY32223121,cov,cov,cov,covXXXXXXXX3223231132112varXDXDXXDXDXDXD0121323122232213212………….3分这说明随机变量1Y与2Y不相关．同理可得0,cov32YY，0,cov13YY，这就证明了随机变量321,,YYY两两不相关．………….1分必要性：如果随机变量321,,YYY两两不相关，则有0,cov21YY，0,cov32YY，0,cov13YY而由上面的计算，得01,cov213231221YY，………….3分由于02，所以1132312，即1132312．………….1分十．（本题满分8分）设总体X的密度函数为其它若011xxxf5021,,,XXX是从X中抽取的一个样本，X与2S分别表示样本均值与样本方差．求XE，XD，2SE．解：因为011dxxxdxxxfXE，21210311222dxxdxxxdxxfxXE，2012-2013学年第一学期概率论与数理统计学期末考试试卷（A卷）答案Page7of9第7页共9页所以，2122XEXEXD．所以，0XEXE，………….2分10015021nXDXD，………….3分212XDSE．………….3分十一．（本题满分8分）设总体4,0~NX，921,,,XXX是取自该总体中的一个样本．求系数a、b、c，使得统计量298762543221XXXXcXXXbXXaT服从2分布，并求出自由度．解：因为921,,,XXX是取自总体4,0N中的简单随机样本，所以4,0~NXi，9,,2,1i而且921,,,XXX相互独立．所以8,0~21NXX，12,0~543NXXX，16,0~9876NXXXX．…….2分所以，1,0~821NXX，1,0~12543NXXX，1,0~169876NXXXX．…….2分因此，3~161282298762543221XXXXXXXXX．…….2分因此，当161,121,81cba时，统计量3~161282298762543221XXXXXXXXXT，自由度为3．………….2分十二．（本题满分8分）2012-2013学年第一学期概率论与数理统计学期末考试试卷（A卷）答案Page8of9第8页共9页一家有500间客房的旅馆的每间客房装有一台kW2（千瓦）的空调机，该旅馆的开房率为%80．求需要多少电力，才能有%99的可能性保证有足够的电力使用空调机．解：设X：该旅馆开房数目，则8.0,500~BX．………….2分a：向该旅馆供应的电力．则若电力足够使用空调机，当且仅当aX2．因此2.08.05008.050022.08.05008.050022.08.05008.050022aaXPaXPaXP．由题设，99.02.08.05008.05002a，………….3分查表，