第9章-平面无限接近运动几何学基础

高等机构学韩建友机械工程学院机构的平面运动综合问题可以分为两种类型来研究，一类是在某个特定位置上高度准确地满足运动的要求，即要求某些几何参数及其高阶导数都能符合要求，这类综合问题属于平面无限接近位置的运动几何学范畴；另一类则是在某些有限分离的位置上满足设计要求，属于平面有限分离位置运动几何学范畴。本章简单介绍无限接近位置的运动几何学理论，主要介绍欧拉-萨弗里方程、曲率驻点曲线及高阶曲率驻点方程，这些都是后面轨迹综合的重要基础。第9章平面无限接近运动几何学基础9.1、基本概念9.2、欧拉-萨弗里(Euler-Savary)方程9.3、曲率驻点曲线第9章平面无限接近运动几何学基础1、速度瞬心定义2、平面机构中瞬心的数目3、格朗浩特-肯尼迪(Aronhold-Kennedy)定理4、刚体的定点转动5、分析确定给定点、给定点轨迹的曲率中心与速度瞬心的几何位置关系9.1、基本概念9.1、基本概念1、速度瞬心定义从理论力学及机械原理可知：当两构件互作平面相对运动时，在任一瞬时，其相对运动都可看作绕其某一相对静止点的转动，该点称为速度瞬心，简称瞬心。由于瞬心是两构件上无相对速度的瞬时重合点，故两构件在此重合点的相对速度为零、绝对速度相等。在机构中，运动构件相对固定构件，其瞬心的绝对速度为零，称为绝对瞬心；两运动构件的瞬心，其绝对速度不为零，称为相对瞬心。9.1、基本概念2、平面机构中瞬心的数目由于每两个构件就有一个瞬心，所以，机构中瞬心的总数应等于机构构件总数中任意两构件数的组合。设机构中共有构件数n，则根据排列与组合的原则，机构中瞬心数sN可表示为(1)2nnNs(9-1)3、格朗浩特-肯尼迪(Aronhold-Kennedy)定理三个作平面平行运动的构件共有三个瞬心,而且必然位于同一条直线上(证明略)。格朗浩特－肯尼迪定理又称三心定理。在确定机构中各构件之间的瞬心时，通常我们可以先根据瞬心定义直接观察确定构件之间明显的瞬心，然后借助于格朗浩特－肯尼迪定理找出其余不直接联接的各构件间的瞬心。9.1、基本概念4、瞬心线瞬心的位置是按机构在某一瞬时位置来确定的。当机构运动时，瞬心将随机构位置的变化而变化，并连续地在各自的构件上描绘出一条曲线，这对曲线称为相对瞬心线。如果两构件中有一个构件为机架，则在与机架相连的固定平面上的瞬心线称为定瞬心线，而把在运动构件上的瞬心线称为动瞬心线。9.1、基本概念例如在图9-1中，圆盘2相对于固定平面1作纯滚动，瞬心12P总是与两物体的瞬时接触点相重合，直线12PB是12P点在平面1上的定瞬心线，而圆弧'12PB则是12P点在圆盘2上的动瞬心线。又如在图9-2所示的铰链四杆机构中，构件1、3的瞬心13P位于连架杆2与4的延长线的交点上，当机构运动时13P描绘出的曲线是固定构件1上的定瞬心线Cf，现在设想连杆3“固定”，而构件1变成“可动”，则13P在构件3上描绘出一条不同的曲线Cm，但由于对于连杆机构而言，构件1实际上是固定的，所以，由瞬心13P在连杆3的平面所描绘出的曲线13P称为动瞬心线。可以设想，连杆相对于机架的平面运动相当于固结在连杆上的瞬心线Cm沿定瞬心线Cf作无滑动的滚动。图9-2瞬心线示例5、分析确定给定点、给定点轨迹的曲率中心与速度瞬心的几何位置关系9.1、基本概念图9-3分析法确定曲率中心现在分析当已知动平面上相对机架的瞬心位置P(以下分析时，省去下标)时，如何通过简便的方法求得其上A点轨迹的曲率中心问题。以图9-3所示四杆机构的连杆平面的运动为例，首先将连杆平面相对于固定机架的运动用动瞬心线mC与定瞬心线fC的相对运动来代替，又设A与'A为动平面上两个无限接近的位置，当mC相对于fC滚动时，A点轨迹的法线PN与'A点的轨迹法线''PN的交点必定是A点轨迹的曲率中心0A。因此，我们可以得出下述结论：动点A、曲率中心0A、瞬心P一定都在同一轨迹法线上。（1）、瞬心线曲率半径与拐点圆直径间的关系（2）、动点轨迹的曲率半径9.2、欧拉-萨弗里(Euler-Savary)方程9.2、欧拉-萨弗里(Euler-Savary)方程前节的分析已经得出结论：动平面相对于固定平面的瞬时运动可以用相应的动瞬心线Cm沿定瞬心线Cf作无滑动的滚动来代替,而且在任何瞬时，动点A、曲率中心0A和瞬心P三点一定都处在A点轨迹的法线上。下面进一步分析轨迹法线上这几个重要点之间的位置关系，用以了解它们之间的变化规律。图9-4两瞬心线微小位移后的几何关系在定量分析动平面的运动时，取两条瞬心线形状为一凸一凹，且定瞬心线fC置于动瞬心线mC之下，并规定瞬心P的速度Pv的指向为瞬心线切线Pt的正方向，而法线PN的正向由动瞬心线绕P点角速度方向旋转90决定(总是指向动瞬心线的凹侧)。图9-4中Pt指向右方，而Pn指向上方。现在将tn坐标系设置在动平面上，t轴正向沿公切线Pt方向，n轴正向则沿着公法线Pn的方向。由图9-5可见00AAAPAP(9-2)由两个三角形0AAA和APA之间的几何关系，可得()000AAPAPAAAAAPAPA(9-3)从'0PAP可知sinsin()()00PPPAPA(9-4)9.2、欧拉-萨弗里(Euler-Savary)方程由于所取两条瞬心线形状为一凸一凹，所以，当mC相对于fC滚动时，它们的曲率半径m和f始终沿着n轴的正向，且在全过程中mf。动平面上任意点A的位置既可由直角坐标(,)xy表示，也可以由极坐标(,)r表示。当动瞬心线逆时针方向相对于定瞬心线滚动一个微小角位移之后，tn坐标系转到''tn位置，A点转移到A点，新的瞬心位置则由P点沿定瞬心线转移到'P点，且'PP，PA与''PA相交于0A点。前节已分析过，当0时，0A点显然就是A点运动轨迹的曲率中心。图9-5平面上各参量的几何关系9.2、欧拉-萨弗里(Euler-Savary)方程式(9-3)和式(9-4)相等，经整理后可得0()sin0PAPAPAPA(9-5)在极限情况下0，则d11()sind0PAPA(9-6)式(9-6)中黑体表示PA与0PA必须分别看作是由P到A和P到0A的有向线段，当A或0A位于P点之下时，则式(9-6)中PA或0PA前必须加一个负号，现引入无限小的时间间隔dt，则ddddddttvp(9-7)其中ddt，为动平面相对于定平面的转动角速度；ddvPt，为瞬心P的速度，将式(9-7)代入式(9-6)则得11()sin0vpPAPA(9-8)9.2、欧拉-萨弗里(Euler-Savary)方程式(9-8)为欧拉-萨弗里方程式的第一种形式，方程式中等号左边是动点A的位置的函数，PA及转角表示动点A的极坐标位置，0PA及转角表示轨迹曲率中心0A的极坐标位置。而等号右边的vP表示一个与动点A的位置无关的瞬时不变量。式(9-8)可以进一步写为111()0sinvpPAPA(9-9)根据规定vP恒为正值。假设vPD，则111()sin0DPAPA(9-10)现讨论一种特殊情况，即轨迹点的曲率中心在无穷远点时，根据欧拉－萨伐里方程式(9-10)有sinDPA(9-11)即A点轨迹在以D为直径的圆上，此圆称为拐点圆。若将,sin00DAAPAPAAAPJPAAJ代入式(9-10)可得9.2、欧拉-萨弗里(Euler-Savary)方程20AAAAJPA(9-12)这是欧拉－萨弗里方程的另一重要形式。J点称为拐点圆极点。式(9-12)中右侧为平方项，因此0A和JA在轨迹法线上一定位于A点的同一侧。下面用欧拉-萨伐里方程进一步分析瞬心线曲率半径与拐点圆直径间的关系，并给出动点轨迹的曲率半径的表达式。(1)瞬心线曲率半径与拐点圆直径间的关系11mfD１(9-13)或1mfKKD(9-14)当动瞬心线mC和定瞬心线fC在P点相切的瞬时，它们在P点的曲率中心分别在n轴的mO和fO点上，曲率半径分别为m和f，且,mmffPOPO，动点Om所描绘的轨迹的曲率中心应为fO，因此可以将mO和fO取代式(9-10)的A和0A。且此时90，因此有9.2、欧拉-萨弗里(Euler-Savary)方程其中mK、fK分别表示瞬心线mC、fC在P点的曲率，D表示拐点圆直径。图9-6几个特征圆之间的几何关系(2)动点轨迹的曲率半径动平面上任意点A的曲率半径可以通过图9-6中的尺寸关系得到。由欧拉-萨弗里方程有111sinrrD(9-15)其中为动点轨迹的曲率半径，式(9-15)可以整理为2sinrDr(9-16)1、曲率驻点曲线方程2、曲率驻点曲线的特性3、轴点曲线（或圆心曲线）4、曲线蜕化条件5、鲍尔点6、高阶驻点-无限接近位置的布尔梅斯特点9.3、曲率驻点曲线1.曲率驻点曲线方程一个刚体(例如机构的一个构件)的运动可以由动瞬心线在定瞬心线上的纯滚动来描述。动系上任一点的轨迹的曲率关系可以通过引入瞬心线的切线t和法线n由欧拉—萨弗里方程来确定。这里t和n分别是定瞬心线和动瞬心线在接触点P的切线和法线。动平面上的点在参考坐标系中的轨迹曲线的曲率半径是变化的。在轨迹曲线的驻点曲率半径变化率为零，即0,这里表示曲率半径对距离的导数。也可以用曲率的变化率表示为d0dKs，其中2sin1DKrr(9-17)s表示A点轨迹的弧长。设ddddddKKss，此处d表示瞬心线上的无限小间隔(对应于ds)，规定瞬心线在P点附近必须是连续的，且具有确定的曲率。因此d0ds，这样我们就可以由d0dK的条件出发去讨论曲率驻点存在的条件。将式(9-17)对求导，则得9.3、曲率驻点曲线3222d2sindcosdsind1ddddddKDrDDrrrrr(9-18)运动平面上的曲率驻点必须满足d0(0)dKr条件，即2d2sinddd01cossinddddKDrDrDr(9-19)其中m为动瞬心在P点曲率半径。式(9-19)化简后得d301cossinsincosdmDDDr(9-21)经整理得1111d[1]sincos03sin3dcosmrDrDD(9-22)令111111d,33dmDMDND，则式(9-22)可写为1sincos0sincosrrMN(9-23)9.3、曲率驻点曲线当瞬心P运动到P时，切线方向Pt也相应改变为Pt，由图9-5可以看出dcosddsin1dmrr(9-20)其中,MN为瞬时不变量。当0时，0r。因此得到极坐标形式的曲率驻点曲线方程为111sincosrMN(9-24)若以直角坐标形式表达曲率驻点曲线方程，则把221/2cos,sin,()xryrrxy，代入式(9-24)有22()0xyxyxyMN(9-25)2.曲率驻点曲线的特性动平面上轨迹曲率为驻点的点的集合曲率驻点曲线为一三阶曲线。一般三阶曲线的二重点不会多于一个。由式(9-25)不存在常数项和一次项，可以看出原点应为此曲线的二重点。再令其二次项xy为零，可解出x和y轴为此曲线在此二重点的切线。曲率驻点曲线与圆应有六个交点，其中有两个为无穷远的虚圆点，因而最多只能有四个实交点。拐点圆与曲率驻点曲线的四个实交点为：在原点有三个实交点，切点两个，直交一个；原点外还有一个交点。9.3、曲率驻点曲线3.轴点曲线(或圆心曲线)当一构件作平面运动时，若能确定在某一瞬时平面上的曲率驻点曲线，则曲线上某一点A的轨迹与其密切圆在A点有三阶密切，或在四个无限接近的点上接触。与A点相对