数学期望在经济决策中的应用

数学期望在经济决策中的应用摘要我们都知道，随着社会的发展，经济全球化的进一步深入，“经济”已经成为社会关注的热点问题，而股票，期权，投资，最佳进货量等经济学问题又与人们紧密联系，为了使人们获得最大收益，就需要我们利用专业的数学知识进行分析，决策。而数学期望在这里发挥了重要的作用。这篇论文主要介绍了数学期望的来源，定义，以及应用。期望值在经济方面的大量应用，例如职位决策，风险投资，最优库存和期权定价。这让我们更好的认识到期望的广泛应用性和重要性。关键字：数学期望应用经济AbstractAsweallknow,withthedevelopmentofsocietyandthefurthereconomicalglobalization，Economyhasbecomethehotissuesofsocialconcern.Theeconomicsofstocks,options,investment,bestpurchaseamountandsooncloselycontactwithpeople.Inordertoenablepeopletogainmaximumbenefitweneedtotakeadvantageoftheprofessionalknowledgeofmathematicstoanalyze,decision-making.Themathematicalexpectationplayedanimportantrole.Thisthesismainlyintroducestheorigin,thedefinition,andtheapplicationsofmathematicalexpectation,Anumberofapplicationsoftheexpectedvaluedineconomicssuchaspostdecision,riskinvestment,optimalinventoryandoptionpricing.aregivenrisetoabetterunderstandingofitsextensiveapplicationsandsignificance.keywords：Mathematicalexpectation;Applications;Economics.目录1．数学期望与经济决策………………………………………………11.1引言…………………………………………………………………11.2数学期望的来源………………………………………………………11.3数学期望的定义……………………………………………………22.数学期望在经济决策中的应用………………………………………22.1决策方案问题……………………………………………………22.2生产与销售利润问题…………………………………………………32.3期权定价问题…………………………………………………………53.结果与结论……………………………………………………………64.收获与致谢……………………………………………………………75.参考文献………………………………………………………………811．数学期望与经济决策1.1引言我们知道，概率论是从数量上研究随机现象的学科，而随机变量的分布函数能够全面的描述随机变量取值的统计规律性。而在经济决策中，利用概率统计知识可以获得合理的决策，但是要求出随机变量的分布函数并非易事，实际上对于很多实际问题，我们只需知道随机变量的某些重要特征即可，而数学期望则是随机变量的最重要的特征数，近些年来，数学期望已经在经济决策中有着广泛的应用，为决策者作出最优决策提供了重要的理论依据。1.2数学期望的来源【1】数学期望源于一个分赌本的问题。17世纪中叶一位赌徒向法国数学家帕斯苦提出一个使他苦恼长久的分赌本的问题：甲乙两位赌徒相约，用掷硬币进行赌博，谁先赢三次就得全部赌本100法郎，当甲赢了两次，乙赢了一次的饿时候，双方都不愿意再赌下去了，那么赌本应该如何分呢?帕斯卡提出如下算法：在甲赢两次乙只赢了一次的时候．最多只需要在玩两次就可以结束这次赌博，而再玩两次可能会出现四种结果。结果次数12341甲甲乙乙2甲乙甲甲其中前三种结果1，2，3，只要有任意—个发生都能使甲得100法郎，只有当4发生时．甲得O法郎，乙得100法郎。由于这四种结果都是等可能的，故甲得100法郎的概率为3／4，乙得100法郎的概率为l/4。从而甲应期望得到100×(3／4)=75法郎。完整的说，甲应期望得到(甲有希望得到)：3110007544(法郎)2这就是帕斯卡的答案。意思是：如果再进行这样的赌博多次，甲每次平均可以得到75法郎。1.3数学期望的定义[2]定义1若离散型随机变量X的分布列为,iipxPXxi=1，2，…,n，….如果1iiixpx则称EX=1iiixpx为随机变量X的数学期望。定义2若连续型随机变量X的密度函数为xP,如果xpxdx则称EXxpxdx为X的数学期望2.数学期望在经济决策中的应用2.1决策方案问题2.1.1面试方案设想某人在求职过程中得到了两个公司的面试通知，假定每个公司有三种不同的职位:极好的,工资4万;好的,工资3万;一般的,工资2.5万。估计能得到这些职位的概率为0.2、0.3、0.4，有0.1的可能得不到任何职位。由于每家公司都要求在面试时表态接受或拒绝所提供职位，那么，应遵循什么策略应答呢？极端的情况是很好处理的，如提供极好的职位或没工作，当然不用做决定了。对于其他情况，我们的方案是，采取期望受益最大的原则。先考虑现在进行的是最后一次面试，工资的期望值为:E1=4×0.2+3×0.3+2.5×0.4+0×0.1=2.7万。那么在进行第一次面试时，我们可以认为，如果接受一般的值位，期望工资为2.5万，但若放弃(可到下一家公司碰运气），期望工资为2.7万，因此可选择只接受极好的和好的职位。这一策略下工资总的期望值为4×0.2+3×0.3+2.7×0.5=3.05万。3如果此人接到了三份这样的面试通知,又应如何决策呢?最后一次面试,工资的期望值仍为2.7万。第二次面试的期望值可由下列数据求知:极好的职位，工资4万;好的，工资3万；一般的，工资2.5万;没工作(接受第三次面试），2.7万。期望值为:E2=4×0.2+3×0.3+2.5×0.4+2.7×0.1=3.05万。这样，对于三次面试应采取的行动是：第一次只接受极好的职位，否则进行第二次面试；第二次面试可接受极好的和好的职位，否则进行第三次面试；第三次面试则接受任何可能提供的职位。这一策略下工资总的期望值为4×0.2+3.05×0.8=3.24万。故此在求职时收到多份面试通知时，应用期望受益最大的原则不仅提高就业机会，同时可提高工资的期望值2.1.2投资方案某投资者有10万元，现有两种投资方案：一是购买股票，二是存入银行获取利息。买股票的收益主要取决于经济形势，假设可分三种状态：形势好!形势中等!形势不好(即经济衰退)。若形势好可获利40000元；若形势中等可获利10000元；若形势不好要损失20000元。如果是存入银行，假设年利率为8％，即可得利息8000元。又设经济形势好，中等，不好的概率分别为30％，50％和20％。试问该投资者应选择哪一种投资方案?分析：购买股票的收益与经济形势有关，存入银行的收益与经济形势无关。因此，要确定选择哪一种方案，就必须通过计算这两种投资方案对应的收益期望值E来进行判断。解：由题设，一年中两种投资方式在不同的经济形势下对应的收益与概率如下表所示购买股票状态经济形式好经济形式中等经济形式不好收益4000010000-20000概率0.30.50.2存入银行状态经济形式好经济形式中等经济形式不好收益800080008000概率0.30.50.2从上表可以初步看出，如果购买股票在经济形势好和经济形势中等的情况下是合算的，4但如果经济形势不好，则采取存人银行的方案比较好。下面通过计算加以分析。如果购买股票，其收益的期望值：140000.310000.520000.213000E（元）如果存入银行，其收益的期望值：280000.380000.580000.28000E（元）因此，购买股票的收益比存入银行的收益大，按期望收益最大原则，应选择购买股票。按风险决策中的期望收益最大准则选择方案，这种方法有风险存在[3]。2.2生产和销售利润问题在经济活动中，不论是厂家的生产还是商家的销售，总是追求利润的最大化,供大于求或供不应求都不利于获得最大利润。但供应量和需求量又不是预先知道的。理性的厂家或商家往往根据过去的数据(概率），用数学期望结合微积分的有关知识，制定最佳的生产或销售策略。2.2．1.最佳进货量的决策设市场对某商品的需求量X（单位：吨）是服从[2,4]上的均匀分布的随机变量，每销售一吨商品可赚3万元，但销售不出去每吨浪费1万元，问应组织多少货源才能取得最大收益？解：设进货量为a吨收益为Y万元，则()Ya3(),23,4xaxxaaaxX的概率密度为()fx1,2420,x其他421()()432aaEYaYafxdxxadxadx=222743.53.54aaa，所以应组织3.5顿货源，才能取得最大收益2.2．2利润最大化1）.J.R.Ryland计算机公司正在考虑一项厂房扩建计划，以生产一种新的计算机产品。5公司总裁必须决定扩建项目是中型还是大型的，但又无法确定对新产品的需求量。需求量的预测可能为低，中，或高，对应的概率估计为0.20,0.50，和0.30.令x代表以千美元计的年度利润，公司规划者已经做出了中型和大型扩建项目的利润预测。中型扩建项目的利润大型扩建项目的利润xfxyfy低500.200.2中1500.51000.5高2000.33000.3计算两种扩建方案利润的数学期望，哪个方案对数学期望利润最大化的目标更优？解：分析题目可知扩建项目是中型时利润期望为：（千美元）当扩建项目为大型时利润期望：200.21000.53000.3140E（千美元）比较结果我们知道选择扩建大型项目更合算。[5]2).一商店销售某种商品，每周进货量X与顾客对该种商品的需求量Y是相互独立的随机变量，且都服从区间10,20上的均匀分布，商店每售出一单位可得利润1000元，若需求量超过了进货量，商店可以从其他商店调剂供应，这时每单位商品利润500元，试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值。解：1,1020100,Xxfx其他1,1020100,Yyfy其他设Z表示商店每周所得的利润（图示见附录）则1000,1000500500,YYXZXYXXYYX由X与Y相互独立，所以,XY的联合密度函数为1,10201020,1000,xyxy其他故612202010101010202022101011()100050010010010513=10100510502220000=5150014166.673DDxyEZydxdyxydxdydxydydyxydxxdxyydy元2.2．3最优库存一商场某种食品的进价为65元/千克,零售价为70元/千克,若卖不出去,则削价20%处理,如供应短缺,有关部门每千克罚款10元。已知客户对该食品的需求量ζ服从[20000,80000]上的均匀分布,求该商场在春节期间对该食品的最优库存策略。解：设库存量为y，则2000080000y，库存量为y时所得利润为510,8000059,20000yyygyy