点集拓扑期末试卷

|||||||||密|||||||||封|||||||||线||||||||||点集拓扑试题样卷A一二三四总分得分阅卷人一、单项选择题(每小题3分，共30分)1、设{,,}Xabc，下列集族中,X上的拓扑是…………………（②）.①{,,{},{,},{}}XaabcT②{,,{},{,},{,}}XaabacT③{,,{},{},{,}}XabacT④{,,{},{},{}}XabcT2、已知{,,,}Xabcd，拓扑{,,{}}XaT,则}{b=………………（④）①φ②X③{}b④{,,}bcd3、在实数空间中，有理数集Q的边界()Q是…………………（④）①②Q③R-Q④R4、在实数空间中，区间[0,1)的内部是………………………（④）①②[0,1]③{0,1}④(0,1)5、设X是一个拓扑空间，A,B是X的子集,则下列关系中错误的是（③）①()()()dABdAdB②ABAB③()()()dABdAdB④AA6、离散空间的任一子集为………………………………………(③)①开集②闭集③即开又闭④非开非闭7、设126XXXX是拓扑空间126,,,XXX的积空间.1P是X到1X的投射，则1P是…………………………………（④）①单射②连续的单射③满的连续闭映射④满的连续开映射8、在实数空间R中，下列集合是开集的是……………………（④）①整数集Z②有理数集③无理数集④整数集Z的补集Z9、设{1,2,3}X,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X是X的拓扑，{2,3}A,则X的子空间A的拓扑为………………………………(②)①{,{3},{2,3}}T②{,,{2},{3}}TA③{,,{2},{3},{2,3}}TX④{,,{3}}TX10、设{,,}Xabc，拓扑{,,{},{,}}XabcT,则X的既开又闭的非空真子集的个数为…………………………………………（②）①1②2③3④4得分阅卷人二、填空题(每小题4分，共20分)1、设{,}Xab,则X的平庸拓扑为{,}TX;2、每一个球形的邻域都是开集3、若拓扑空间X有一个可数稠密子集，则称X是一个可分空间；4、若任意1n个拓扑空间12,,,nXXX,都具有性质P,则积空间12nXXX也具有性质P，则性质P称为有限可积性;5、:fXY是拓扑空间X到Y的一个映射，如果它是一个满射，并且Y的拓扑是对于映射f而言的商拓扑，则称f是一个商映射;共6页，第1页共6页，第2页|||||||||密|||||||||封|||||||||线线||||||||||得分阅卷人三、名词解释（每小题4分，共20分）1、同胚映射：设X和Y是两个拓扑空间.如果:fXY是一个一一映射，并且f和1:fYX都是连续映射，则称f是一个同胚映射或同胚.2、不连通空间3、拓扑4、导集5、度量得分阅卷人四、证明题（每小题6分，共30分）2、设:fXY是从连通空间X到拓扑空间Y的一个连续映射.则()fX是Y的一个连通子集.证明：如果()fX是Y的一个不连通子集，则存在Y的非空隔离子集,AB使得()fXAB……………………………………………3分于是11(),()fAfB是X的非空子集，并且：111111111(()())(()())(()())(()())(()())fAfBfBfAfAfBfBfAfABAB所以11(),()fAfB是X的非空隔离子集此外，1111()()()(())fAfBfABffXX，这说明X不连通，矛盾.从而()fX是Y的一个连通子集.4、设X是一个含有不可数多个点的可数补空间.证明X不满足第一可数性公理.证明：若X满足第一可数公理，则在Xx处,有一个可数的邻域基，设为Vx,因为X是可数补空间，因此对xyXy,,}{yX是x的一个开邻域，从而xyVV,使得}{yXVy.于是yVy}{,…………………………………………………3分由上面的讨论我们知道：}{}{}{}{yXyyxXyVyxX因为}{xX是一个不可数集，而}{xXyuV是一个可数集，矛盾.从而X不满足第一可数性公理.共6页，第3页共6页，第4页|||||||||密|||||||||封|||||||||线线||||||||||3、设Y是拓扑空间X的一个连通子集,证明:如果A和B是X的两个无交的开集使得BAY,则或者AY,或者BY.证明：因为BA,是X的开集，从而YBYA,是子空间Y的开集.又因BAY中，故)()(YBYAY由于Y是X的连通子集,则YBYA,中必有一个是空集.若YB,则AY;若YA,则BY共6页，第5页共6页，第6页