点集拓扑试题

1、设{,,}Xabc，下列集族中,X上的拓扑是…………………（）.①{,,{},{,},{}}XaabcT②{,,{},{,},{,}}XaabacT③{,,{},{},{,}}XabacT④{,,{},{},{}}XabcT2、已知{,,,}Xabcd，拓扑{,,{}}XaT,则}{b=………………（）①φ②X③{}b④{,,}bcd3、设{,,}Xabc，拓扑{,,{},{,}}XabcT,则X的既开又闭的非空真子集的个数为…………………………………………（）①1②2③3④44、在实数空间中，有理数集Q的边界()Q是…………………（）①②Q③R-Q④R5、在实数空间中，区间[0,1)的内部是………………………（）①②[0,1]③{0,1}④(0,1)6、设X是一个拓扑空间，A,B是X的子集,则下列关系中错误的是（）①()()()dABdAdB②ABAB③()()()dABdAdB④AA7、设{1,2,3}X,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X是X的拓扑，{2,3}A,则X的子空间A的拓扑为………………………………………()①{,{3},{2,3}}T②{,,{2},{3}}TA③{,,{2},{3},{2,3}}TX④{,,{3}}TX8、设126XXXX是拓扑空间126,,,XXX的积空间.1P是X到1X的投射，则1P是………………………………………（）①单射②连续的单射③满的连续闭映射④满的连续开映射9、离散空间的任一子集为………………………………………()①开集②闭集③即开又闭④非开非闭10、在实数空间R中，下列集合是开集的是…………………………（）①整数集Z②有理数集③无理数集④整数集Z的补集Z二、填空题1、设{,}Xab,则X的平庸拓扑为;2、若拓扑空间X有一个可数稠密子集，则称X是一个；3、正则的1T空间称为；4、若任意1n个拓扑空间12,,,nXXX,都具有性质P,则积空间12nXXX也具有性质P，则性质P称为;5、:fXY是拓扑空间X到Y的一个映射，如果它是一个满射，并且Y的拓扑是对于映射f而言的商拓扑，则称f是一个;四、证明题1、设:fXY是从连通空间X到拓扑空间Y的一个连续映射.则()fX是Y的一个连通子集.2、设X是一个含有不可数多个点的可数补空间.证明X不满足第一可数性公理.3、设{}ix是2T空间X的一个收敛序列,证明：{}ix的极限点唯一.4、证明4T空间中任何一个连通子集如果包含着多于一个点，则它一定是一个不可数集.5、设X是一个正则空间，A是X的一个紧致子集，XY.证明：如果AYA,则Y也是X的一个紧致子集.拓扑试题1卷一、单项选择题1、②2、④3、②4、④5、④6、③7、②8、④9、③10、④二、填空题1、{,}TX2、可分空间3、3T空间4、有限可积性质5、商映射三、证明题1、证明：如果()fX是Y的一个不连通子集，则存在Y的非空隔离子集,AB使得()fXAB……………………………………………3分于是11(),()fAfB是X的非空子集，并且：111111111(()())(()())(()())(()())(()())fAfBfBfAfAfBfBfAfABAB所以11(),()fAfB是X的非空隔离子集此外，1111()()()(())fAfBfABffXX，这说明X不连通，矛盾.从而()fX是Y的一个连通子集.…………………………6分2、证明：若X满足第一可数公理，则在Xx处,有一个可数的邻域基，设为Vx,因为X是可数补空间，因此对xyXy,,}{yX是x的一个开邻域，从而xyVV,使得}{yXVy.于是yVy}{,…………………………………………………3分由上面的讨论我们知道：}{}{}{}{yXyyxXyVyxX因为}{xX是一个不可数集，而}{xXyuV是一个可数集，矛盾.从而X不满足第一可数性公理.………………………………6分3、证明：若极限点不唯一，不妨设1limiixy,2limiixy,其中12yy，由于X是2T空间，故1y和2y各自的开邻域,UV，使得UV.因1limiixy，故存在10N，使得当1iN时，ixU；同理存在20N，使得当2iN时，ixV.…………………………………………3分令12max{,}NNN,则当iN时，ixUV，从而UV,矛盾，故{}ix的极限点唯一.………………………………6分4、证明：设C是4T空间X中的一个连通子集，如果C不只包含一个点，任意选取,,xyCxy.对于4T空间X中的两个无交的闭集{},{}xy，应用Urysohn引理可见，存在一个连续映射:[0,1]fX，使得()0fx和()1fy.………………………………………3分由于C是X的一个连通子集，从而()fC连通，由于0,1()fC，所以()[0,1]fC，由于[0,1]是一个不可数集，所以C也是一个不可数集.……………………………………………………………6分5、证明：设A是任意一个由X中的开集构成的Y的覆盖，因此A也是A的一个覆盖，由于A是X的紧致子集，从而A有有限个成员nAA,,1使得niiAA1.…………………………………3分由于A是正则空间的紧致子集，从而A有一个开邻域U，使得niiAU1,从而有YAAnii1,从而A有有限子覆盖},,{1nAA，因此Y是X的一个紧致子集.………………6分