第八讲-DFT性质-圆周卷积

•第1章离散时间信号、系统和z变换•第2章DFT及其快速算法•第3章数字滤波器设计•第4章离散随机信号的处理目录第2章DFT及其快速算法•2-1周期序列•2-2离散傅立叶级数•2-3离散傅立叶变换•2-4频率采样理论•2-5快速傅立叶变换•2-6离散傅立叶反变换（IDFT)的运算意义：频域内离散化---快速算法（FFT）--易于计算机实现DFS变换对10[()]()()NnkNnDFSxnxnWXk101[()]()()NnkNkIDFSXkXkWxnNknjknNNeW2周期卷积102121)(~)(~)(~)(~Nmmnxmxnxnx两个N点的周期序列进行周期卷积，其结果仍为周期为N的周期序列。性质：)()(NnkNnNkNknN周期性：共轭奇对称－共轭偶对称)()()()(**nxnxnxnx)()(*nNkNnkNNknNknN）＝（共轭对称性：－nrrNnNWNkknN其他为整数正交性：,010是一个周期复序列因子：knjknNNeWDFS2)()]([kXnxDFT)(])([10kRWnxNNnnkN)()]([nxkXIDFT)(])(1[10nRWkXNNNknkNDFT变换对DFT是一种数学上的映射关系，反映了时域上的N点与频域上的N点之间的对应关系2jNNWe的关系与问的序列加长补零为长度为把点点例：)()(1100)()()()()()(kXkYrNnNNnnxnynyrNnxkXNnxN注意长度N)rk(X)k(YN点2．DFT与DFS（1）DFT与DFS的关系时域频域DFTDFSx(n)—有限长序列(N)=)()(~nRnxN—周期序列)(~nx取主值区间X(k)—有限长序列(N)=)()(~kRkXN—周期序列)(~kX取主值区间)(~nx—周期序列(N)=Nnx))((—有限长序列x(n)的周期延拓)(~kX—周期序列(N)=NkX))((—有限长序列X(k)的周期延拓2.3.4DFT与Z变换（1）DFT与Z变换的关系对于有限长序列x(n)（0nN1）10)()(NnnznxzX10()[()]()NnkNNnXkxnWRk显然，)(zXkNjezzXkX2)()(在Z平面的单位圆上采样？2()()kNjXkXe4．例用封闭形式表示下列有限长序列的N点DFT[x(n)]（a）)1)(()(NMnRnxM解：（a）)(])([)(10kRWnRkXNNnnkNM)(][10kRWNMnnkN)(11kRWWNkNMkN)(sinsin)1(kRekNMkNNkMNj)(kXk0N2.3.2DFT的性质（1）线性时域)()()(213nbxnaxnx1N2NN},max{21NNNNNN频域)()()(213kbXkaXkX（2）圆周移位若)())(()(nRmnxnfNN，称f(n)为x(n)的m点圆周移位序列。步骤：ⅱ）移位m点；ⅲ）取主值序列。ⅰ）将x(n)以N为周期进行周期延拓；0312)(nxnn03123123124))((nx123n03121234))2((nx)())2((44nRnx若)()]([kXnxDFT则)()]())(([kXWnRmnxDFTmkNNN且)()]())(([nxWkRlkXIDFTnlNNN101011100[(())()](())()(()),(())()N(())()()NnkNNNNNnNnkNNnNmmknkNNNnmnkNNNNmknkmknkmkNNNNNNnnDFTxnmRnxnmRnWxnmWmnnWxnWxnWWxnWWxnWWXk令以为周期，在任意周期上的求和相同证明：（3）圆周卷积—周期卷积取主值序列若则N)n(y)n(x)n(R)mn(y)mn(y)m(y~)n(y~)n(y)n(xNNNn卷积与取主值序列右移反转周期延拓）（）（)k(Y)n(y),k(X)n(x)k(Y)k(X)k(F1N0mNN)n(R))mn((y)m(x)]k(F[IDFT)n(f圆周卷积—频域若则N)k(Y)n(y),k(X)n(x)n(y)n(x)n(f1N0lNN)k(R))lk((Y)l(XN1)]n(f[IDFT)k(F1N0lNN)k(R))lk((X)l(YN1＝NN2.3.3有限长序列的圆周卷积和线性卷积（1）圆周卷积与线性卷积的区别由卷积表达式可知，f(n)的非零区间应满足m)mn(y)m(x)n(y)*n(x)n(fN:)n(yM:)n(x＝线性卷积：点序列点序列，2NMn0)n(x补0到L)n(y补0到LN,MmaxL1L0mLLc)n(R))mn((y)m(x)n(f1M0mLL1L0mLLc)n(R))mn((y)m(x)n(R))mn((y)m(x)n(f10MmLr)n(R)rLmn(y)m(xrLr1M0mL)n(R)rLn(y)*n(x)n(R)rLmn(y)m(x)n(R)n(f~)n(R)rLn(fLrL圆周卷积是线性卷积以L为周期延拓后，取（0,L-1)间的主值序列圆周卷积＝＝线性卷积时，1MNL例：)()(4nRnx)()(3nRnh分别求)()(nhnx)()(nhnx(L=4)……m11023)(mx……m)(mh10n11023…m)1(mh1…04523321)()(nhnx)(mx…m11023…n102333)()(nhnx…mNmh))((10……mNmh))1((10…33…（2）用圆周卷积实现线性卷积∵L是可以人为选择的，∴可通过选择适当的L值，使)()()()(nhnxnhnx……m11023)(mx……mNmh))((10…mNmh))1((1…0……n110234523321…67)()(nhnx例如选L=8。)()()(nhnxny利用计算机运算时补零至L求FFT补零至L求FFT)()()(kHkXkY求IFFT1LNM补0IDFTM)n(x：DFTL)k(X：N:)n(y1MNL补0DFTL)k(Y：圆周卷积线性卷积(4).共轭对称性•定义其他，定义对，长度为互为、1100)()0()())(()(1)-N(0,NDFT)()(NnnnNxxnRnNxnNxkXnxNN)()(~)(~)(NnNxnNxnxnx取主值右移周期延拓后，反转其他1100)()0()())(()(NkNkkNXXnRkNXkNXNNNnN1)1())((nRnNxNN3共轭对称性•复共轭序列的DFTNkN110**)()]([NnnkNWnxnxDFT证明：*10)(NnnkNWnx)(*kX)()(**10)(kNXWnxNnkNnN？)0(X)N(X)()(**kNXnxDFT10Nk)kN(X)nN(xDFT)k(X)nN(xDFT**共轭对称与共轭反对称61)(),()(1))(),()(1))(nxnxnxnxnxnxnxoe则称为共轭反对称序列序列满足则称为共轭对称序列序列满足为复序列，则如果)()(21)()()(21)()()()()(**nxnxnxnxnxnxnxnxnxnxoeoe和一个共轭反对称序列之轭对称序列和，总可以表示为一个共任意一个序列)()()()(**nxnxnxnxooee关于原点的纵坐标的对称性)()(21)()()()(21)()(****nNxnxnNxnxnNxnxnNxnxopopepep•圆周共轭偶（奇）对称序列N-1)(nxop*****)()()()(**nxnxnxnxooee)()(21)()()(21)(**nxnxnxnxnxnxoeN-1)n(xep*****关于N/2点的纵坐标的对称性120)2()2(120)2()2(**NnnNxnNxNnnNxnNxopopepep)()(21)()()()(21)()(****kNXkXkNXkXkNXkXkNXkXopopepep频域：)()()(kXkXkXopep)(Re)(RekXkNXoo)(Im)(ImkXkNXoo)()()(nxnxnxopep)()(nNxnxepep)(arg)(argnNxnxepep•DFT的共轭特性)()()(21)()(21)]([kXkNXkXnxnxDFTnxDFTepr)()()(21)()(21)]([kXkNXkXnxnxDFTnjxDFTopi)()()(kXkXkXopep)(Re)(kXnxDFTep)(Im)(kXjnxDFTop共轭对称性—实虚部讨论1212()()()N()()()()()NDFTepkopxnxnxnxnjxnXkXXk点和为两个点实序列，构造新序列时域x(n)频域X(k)DFTx(n)圆周共轭偶部)(nxepx(n)圆周共轭奇部)(nxopx(n)实部)(nxrx(n)虚部)(njxiX(k)共轭偶部)(kXepX(k)共轭奇部)(kXopX(k)实部)(kXrX(k)虚部)(kjXi)()(21)(;)()(21)(kNXkXkXkNXkXkXopep（5）.帕赛瓦尔定律1N0k21N0n21N0k*1N0n*)k(XN1)n(x)k(Y)k(XN1)n(y)n(x证明Parseval定理1N0n1N0k*knN1N0n*)W)k(YN1)n(x)n(y)n(x（1N0k*1N0nknN1N0k*)k(Y)k(XN1W)n(x)k(YN1等的。与在频域计算能量是相计算的能量表明：一个序列在时域即：则若令1N0k21N0n21N0k*1N0n*|)k(X|N1|)n(x|)k(X)k(XN1)n(x)n(x),n(x)n(y例1（pp.902-7）设DFT[x(n)]=X(k),求证：DFT[X(k)]=Nx(N-n)nkN)nN(kNWW证明：1N0kn)kN(N1N0knkNW)k(X)nN(NxW)k(XN1x(n))]k(X[DFTW)k(X)nN(Nx1N0knkN1N0knkN1-N0n'kn'N1N0knkN1W)Wx(n'X(k)W)n(x1-N0k)n'k(nN1-N0n'W)x(n'其他0Nl'nnNW1-N0k)n'k(nN)n(R))n((NxNl)Nx(-n)n(xNN1N0n'1例2.X(k)n),-x(Nx(n),x(n):为实偶对称也则即为实偶对称若证明证明：1N0nk)-n)(N-(NN1N0n(-n)(-k)N1N0nnkNn