插值法和拟合实验报告(数值计算)

插值法和拟合实验报告一、实验目的1.通过进行不同类型的插值，比较各种插值的效果，明确各种插值的优越性；2.通过比较不同次数的多项式拟合效果，了解多项式拟合的原理；3.利用matlab编程，学会matlab命令；4.掌握拉格朗日插值法；5.掌握多项式拟合的特点和方法。二、实验题目1.、插值法实验将区间[-5,5]10等分，对下列函数分别计算插值节点kx的值，进行不同类型的插值，作出插值函数的图形并与)(xfy的图形进行比较：;11)(2xxf;arctan)(xxf.1)(42xxxf(1)做拉格朗日插值；(2)做分段线性插值；(3)做三次样条插值.2、拟合实验给定数据点如下表所示：ix-1.5-1.0-0.50.00.51.01.5iy-4.45-0.450.550.05-0.440.544.55分别对上述数据作三次多项式和五次多项式拟合，并求平方误差，作出离散函数),(iiyx和拟合函数的图形。三、实验原理1.、插值法实验jijjiiiiiniinnjijjnjijjiinjijjniiiniinnnoiniinxxxxxyxlxLxxcnixxcxxxcxxxxxxxxcyxlxLyxlyxlyxlxL,00,0,0,0110000)(l)()()(1,1,0,1)()(l)()())(()()()()()()()(，故，得再由，设2、拟合实验四、实验内容1.、插值法实验1.1实验步骤：打开matlab软件，新建一个名为chazhi.m的M文件，编写程序（见1.2实验程序），运行程序，记录结果。1.2实验程序：x=-5:1:5;xx=-5:0.05:5;y1=1./(1+x.^2);L=malagr(x,y1,xx);L1=interp1(x,y1,x,'linear');S=maspline(x,y1,0.0148,-0.0148,xx);holdon;plot(x,y1,'b*');plot(xx,L,'r');plot(x,L1,'g');plot(xx,S,'k');figurex=-5:1:5;xx=-5:0.05:5;y2=atan(x);L=malagr(x,y2,xx);L1=interp1(x,y2,x,'linear');S=maspline(x,y2,0.0385,0.0385,xx);holdon;plot(x,y2,'b*');plot(xx,L,'r');plot(x,L1,'g');plot(xx,S,'k');figurex=-5:1:5;xx=-5:0.05:5;y3=x.^2./(1+x.^4);L=malagr(x,y3,xx);L1=interp1(x,y3,x,'linear');S=maspline(x,y3,0.0159,-0.0159,xx);holdon;plot(x,y3,'b*');plot(xx,L,'r');plot(x,L1,'g');plot(xx,S,'k');1.3实验设备：matlab软件。2、拟合实验2.1．实验步骤：新建一个名为nihe.m的M文件，编写程序（见2.2实验源程序），运行程序，记录结果。2.2实验程序：x=[-1.5-1.0-0.500.51.01.5];y=[-4.45-0.450.550.05-0.440.544.55];a1=mafit(x,y,3)x1=[-1.5:0.05:1.5];y1=a1(4)+a1(3)*x1+a1(2)*x1.^2+a1(1)*x1.^3;holdonplot(x,y,'b*');plot(x1,y1,'r');p1=polyval(a1,x);s1=norm(y-p1)figurea2=mafit(x,y,5)x2=[-1.5:0.05:1.5];y2=a2(6)+a2(5)*x2+a2(4)*x2.^2+a2(3)*x2.^3+a2(2)*x2.^4+a2(1)*x2.^5;holdonplot(x,y,'b*');plot(x2,y2,'r');p2=polyval(a2,x);s2=norm(y-p2)2.3实验设备：matlab软件。五、实验结果1.、插值法实验（1）（2）（3）2、拟合实验（1）平方误差：s1=0.0136输入程序得到：a1=2.0000-0.0014-1.50070.0514s1=0.0136（2）平方误差：s2=0.0069输入程序得到：a2=0.01200.00481.9650-0.0130-1.48200.0545s2=0.0069六、实验结果分析1.、插值法实验结果分析：（1）由插值结果曲线图可见，拉格朗日插值在节点附近误差很小，但在两端有振荡现象；分段线性插值具有良好的收敛性，但在节点处不光滑；而三次样条插值在直观上与原函数曲线吻合得最好；（2）分析可知，均匀插值时（拉格朗日插值），会出现多项式插值的Runge现象，当进行非等距节点插值时（分段线性插值、三次样条插值），其近似效果明显要比均匀插值要好，原因是非均匀插值时，在远离原点处的插值节点比较密集，所以其插值近似效果要比均匀插值时的效果要好。2、拟合实验结果分析：可能是原始数据太少的问题，在拟合结果曲线图看不出三次和五次有什么差别，但由于三次多项式拟合的平方误差大于五次多项式拟合的平方误差，因此五次多项式拟合比三次多项式拟合效果要好。