高等数学下12.1常数项无穷级数的概念与性质

无限！再没有其他的问题如此深刻地打动过人类的心灵。希尔伯特（德国数学家）数学和诗歌都具有永恒的性质。历史上，诗歌使得通常的交际语言完美，而数学则在创造描述精确思想的语言中起了主要作用。卡迈克尔（美国数学家）一、问题的提出1.计算圆的面积AR正六边形的面积正十二边形的面积1a21aa正n23naaa21A即A第十二章无穷级数§1.常数项无穷级数的概念与性质12naaa12naaa形的面积1nnu(常数项)无穷级数一般项部分和数列ns级数的部分和1s2s3sns1.数项级数的定义二、常数项级数的概念12nuuu1niiu1,u12,uu123,uuu12,nuuu123nuuuu2.13310310031000310n2.级数的收敛与发散s123uuussnnlimn当无限增大时,s有极限即1nnu则称无穷级数收敛,1nnuns的部分和数列如果级数的和.1nnu叫做级数s这时极限并写成1nnu123nuuuu(常数项)无穷级数部分和数列1s2sns1,u12,uu12,nuuu2.级数的收敛与发散s123uuussnnlimn当无限增大时,s有极限即1nnu则称无穷级数收敛,1nnuns的部分和数列如果级数的和.1nnu叫做级数s这时极限并写成1nnu123nuuuunnslim即常数项级数收敛(发散)存在(不存在)ns1nnu如果则称无穷级数发散.没有极限,余项nr21nnuu1iinu(limnnr无穷级数收敛性举例：2.级数的收敛与发散s123uuunss0)ssnnlims有极限即1nnu则称无穷级数收敛,1nnuns的部分和数列如果级数ssnnr误差为当级数收敛有ssnnlimKoch雪花.观察雪花分形过程13,P播放播放做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形．如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了面积有限而周长无限的图形——“Koch雪花”．设有一个三角形，周长为：面积为：13;4A第一次分叉：2P依次类推2A14,3P1113;9AA观察雪花分形过程13,P设有一个三角形，周长为：面积为：13;4A第一次分叉：2P依次类推2A14,3P1113;9AA观察雪花分形过程13,P设有一个三角形，周长为：面积为：13;4A第一次分叉：2P依次类推2A14,3P1113;9AA观察雪花分形过程13,P设有一个三角形，周长为：面积为：13;4A第一次分叉：2P依次类推2A14,3P1113;9AA观察雪花分形过程13,P设有一个三角形，周长为：面积为：13;4A第一次分叉：2P依次类推2A14,3P1113;9AA观察雪花分形过程13,P设有一个三角形，周长为：面积为：13;4AnPnA1121211)91(43)91(43913AAAAnn,3,2n周长为面积为]})94(31)94(31)94(3131[1{221nA第n次分叉：114(),3nP211113{4[()]}9nnnAA2P2A14,3P1113;9AA13,P周长为：面积为：13;4A1,2,n于是有limnnPlimnnA.532)531(1A结论：雪花的面积存在极限（收敛）．,2,1)34(11nPPnn]})91[(4{31121AAAnnnn周长为面积为113(1)419A]})94(31)94(31)94(3131[1{221nA2.级数的收敛与发散雪花的周长是无限的，而面积有限．例1讨论等比级数(几何级数)nnnaqaqaqaaq20)0(a的收敛性.解1q如果nsqaqan1,11qaqqan21naaqaqaq即常数项级数收敛(发散)nnslim存在(不存在),1时当qlimnnqlimnns,1时当qlimnnqlimnns收敛发散1aq0,1时当q,1时当q收敛发散时如果1q,1时当q,1时当qns发散aaaa级数变为limnns原级数发散综上0nnaqna不存在1,1qq发散收敛例1讨论等比级数(几何级数)nnnaqaqaqaaq20)0(a的收敛性.例2判别无穷级数11232nnn的收敛性.解nu,3441n已知级数为等比级数，q公比||1,q发散时当收敛时当,1,10qqaqnn2123nn4,3原级数发散例3判别无穷级数)12()12(1531311nn的收敛性.解nu),121121(21nnns)121121(21)5131(21)311(21nn),1211(21nlimnns,211(21)(21)nn1111335(21)(21)nn11lim(1)221nn即常数项级数收敛(发散)nnslim存在(不存在)原级数收敛，和为12例4试把循环小数3171717.2173.2表示成分数的形式.例5解173.23172.3103172.310等比级数1100q公比3172.310.4951147发散时当收敛时当,1,10qqaqnn01100nn5717171010111100三、收敛级数的基本性质级数收敛.0limnnu证明snulimnnuss.0nu性质1注意1.1123(1)2341nnn1limlimnnnnss1,nnu1,nnss如果级数收敛，则级数发散;当n无限增大时，它的一般项（级数收敛的必要条件）:趋于0例如：如果级数的一般项不趋于零,2.0,111123n1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;1limlimnnnun有但级数不收敛级数收敛.0limnnunu性质1如果级数收敛，当n无限增大时，它的一般项（级数收敛的必要条件）:趋于0必要条件非充分.例如调和级数讨论2nnss2lim()nnnssss,01nnu即111122nnn1,22nnss1,22lim()nnnss与级数收敛矛盾,00,111123n1limlimnnnun有例如调和级数但级数不收敛2.级数收敛.0limnnu必要条件非充分.2nn设调和级数收敛，和为S级数发散0nu收敛结论:结论:三、收敛级数的基本性质1nnu1nnku性质2收敛,则亦收敛.如果级数级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.1,nnsu1nnv1)(nnnvus性质3则级数收敛,设两收敛级数其和为收敛级数可以逐项相加与逐项相减，新级数收敛例5求级数121)1(5nnnn的和.解121)1(5nnnn1)1(5nnn121nn15(1)nnn11151nkkk),111(5n11151nnnng令limnng15lim(1)1nn5,,5)111(lim5limngnnn112nnq公比112nn151(1)2nnnn12112121)1(5nnnn1)1(5nnn121nn51limnnh1,11lim1nnqaq例5求级数121)1(5nnnn的和.是等比级数，121,首项是126.)发散?v(u都发散,v和u(1)如果:问题n1nn?1nn1nn)发散.v(u发散,v收敛,u(2)如果n1nn1nn1nn111(1)(1)nnnn,,1()nnnuv11[(1)(1)]nnn1[(1(1)]nnn)10n12(1)nn,nv3n11nnu1[()]nnnnuvu考察级数0收敛发散收敛，设也收敛则收敛，矛盾性质4若级数1nnu收敛,则1knnu也收敛)1(k.且其逆亦真.证明nkkkuuu21n,kknsslimnn.kss类似地可以证明在级数前面加上有限项limlimnkknnss12kkknuuu即常数项级数收敛(发散)nnslim存在(不存在)不影响级数的敛散性.性质5收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和.证明123456789()()()uuuuuuuuu1limmm23,,nms2,s5,slimnns.s9,s推论：如果加括弧后所成的级数发散,则原来级数也发散.)21221121()16110191()81716151()4131()211(1mmm8项4项2项2项项m212由性质5推论,推论如果加括弧后所成的级数发散,则原来级数也发散.注意111123n121m122mm112m例如调和级数每项均大于所以级数发散。调和级数发散.收敛级数去括弧后所成的级数例如1111收敛发散注意性质5收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和推论如果加括弧后所成的级数发散,则原来级数也发散.不一定收敛.(11)(11)1.由定义,若ssn,则级数收敛;2.当0limnnu,则级数发散;常数项级数的基本概念基本审敛法要点