数列的求和方法

数列的求和方法湖北省团风中学一：公式法：（1）等差数列的求和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(11（2）等比数列的求和公式)1(1)1()1(11qqqaqnaSnn.（3）常用公式：222221(1)(21)1236nknnnknL2333331(1)1232nknnknL1.数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n+1,则a4+a5+a6+…+a10等于（）A.171B.21C.10D.161【答案】D【解析】原式=S10-S3=2×102-3×10-(2×32-3×3)=161.2.数列{an}的通项公式为an=4n-1,令bn=12naaanL,则数列{bn}的前n项和为（）A.n2B.n(n+2)C.n(n+1)D.n(2n+1)【答案】B【解析】∵an=4n-1,∴数列{an}是等差数列，且a1=4-1=3,∴bn=12(341)2naaannnnL=2n+1.显然数列{bn}是等差数列，且b1=2+1=3，它的前n项和Sn=b1+b2+…+bn=2)123(nn=n(n+2).二:倒序相加法：1.求和12323nnnnnnSCCCnCL解法一：12323nnnnnnSCCCnCLSn又可写成1211(1)2nnnnnnnSnCnCCCL012nnnnnSnCnCnCL12nnnS解法二：11kknnkCnCQ011111nnnnnSnCnCnCL011111()nnnnnCCCL12nn2.求和：2222sin1sin2sin3sin89ooooL．解：设2222sin1sin2sin3sin89SooooL，又∵2222sin89sin88sin87sin1SooooL，∴289S，892S．三：裂项相消法：把数列通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾等项。常见拆项公式：111)1(1nnnn；1111()(2)22nnnn)121121(21)12)(12(1nnnn!)!1(!nnnn1.数列{an}的通项是an=11nn，若前n项和为10，则项数n为（）A.11B.99C.120D.121【答案】C【解析】因an=nnnn111，故Sn=(2-1)+(3-2)+…+(nn1)=1n-1,由Sn=10,故n=120.2.Sn=1+3211211+…+1123nL等于()A.1nnB.12nnC.12nnD.122nn【答案】B【解析】an=12112()123(1)1nnnnnL,∴Sn=2［(1-21)+(21-31)+…+(111nn)］=2(1-11n)=12nn.3.求和22224(2)1335(21)(21)nnSnnL解:)121121(211)12)(12(11)12)(12(11)2()12)(12()2(22kkkkkkkkkkak12111111112(1)[(1)()()](1)2335212122121nnnnSaaannnnnnLL4.等差数列{an}是递增数列，前n项和为Sn,且a1,a3,a9成等比数列，S5=a52;(1)求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足bn=121nnaann,求数列{bn}的前99项的和.【解析】(1)设数列{an}公差为d(d＞0),∵a1,a3,a9成等比数列,∴a32=a1a9,(a1+2d)2=a1(a1+8d),d2=a1d.①∵d≠0,∴a1=d.∵Sn=a52,∴5a1+245·d=(a1+4d)2.②由①②得：a1=53d=53,∴an=53+(n-1)×53=53n.bn=2212512511(1)339(1)91(1)55nnnnnnnnnn.∴b1+b2+b3+…+b99=925［99+(1-21)+(21-31)+…+(1001991)］=925(100-1001)=41111.四：验证法1.数列1，（1+2），（1+2+22），…，（1+2+22+…+2n-1）,…的前n项和等于（）A.2nB.2n-nC.2n+1-n-2D.n·2n【答案】C【解析】令n=1,排除A、D，又令n=2，排除B.选C.2.已知数列{an}满足an=*),,(,)2(2*),,(,NnnnnNnnn为奇数为偶数则{an}2k-1项的和为()A.k2-k+1-121kB.k2+k+1-121kC.2111232kkkkD.2111232kkkk【答案】A【解析】取k=1，S1=32，排除B、C；取k=2,S3=514,排除D。五：错位相减法：,,,.nnnnnnabcabc等差等比求的前n项的和1.数列1，223，324，425，…，nn21的前n项和等于()A.Sn=3-nn21－121nB.Sn=3-nn21-221nC.Sn=3-nn21－221nD.Sn=3-n2n-221n【答案】A【解析】令Sn=1+223+324+…+nn21,①则21Sn=21+432423+…+121nn.②①-②得∴21Sn=1+322121+…+12121nnn=1+11221211)211(21nnn=1212123nnn.∴Sn=3-nn21-121n,故选A.2.求和nS=135212482nnL解：nS=23135212222nnL132212232232121nnnnnS两式相减：21112221(1)22222nnnnSL∴nS21=21+1121221121)211(nnn∴nnnS23233.求a+2a2+3a3+…+nan.【解析】设S=a+2a2+3a3+…+nan.若a=0,则S=0；若a=1,则S=2)1(nn;若a≠0,且a≠1,则S=a+2a2+3a3+…+nan,①aS=a2+2a3+…+(n-1)an+nan+1②①-②得：（1-a）S=a+a2+…+an-nan+1=aaan1)1(-nan+1.∴S=anaaaann1)1()1(12.六:分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。1.已知数列{an}的前n项和Sn=1-5+9-13+17-21+…+(-1)n-1(4n-3),那么S15+S22-S31的值为_________________.【答案】-76【解析】S15=1-5+9-13…+57=1+(9-5)+(17-13)+…+(57-53)=29,同理可得：S22=-44，S31=61,∴S15+S22-S31=-76.2.求和：①{111111111nnSLL个②22222111()()()nnnSxxxxxxL③求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n项和nS解：①{211111101010(101)9kkkkaLL个2211[(101)(101)(101)][(101010)]99nnnSnLL8110910]9)110(10[911nnnn②242242111(2)(2)(2)nnnSxxxxxxL242242111()()2nnxxxnxxxLL（1）当1x时，nxxxxnxxxxxxSnnnnnn2)1()1)(1(21)1(1)1(22222222222（2）当nSxn4,1时③2[(21)(32)]53(21)2(21)[(21)(1)]222kkkkakkkkkkkL22212535(1)(21)3(1)(12)(12)222622nnnnnnnSaaannLLL)25)(1(61nnn3.求和：5，55，555，5555，…，5(101)9n，…；解：555555555nnS个6447448LL5(999999999)9n个6447448LL235[(101)(101)(101)(101)]9nL235505[10101010](101)9819nnnnL七．其它求和方法（奇偶法求和）1.已知数列nnnnSnaa求],)1([2,。解：nnna)1(22，若2212,2(1232)2(1)mknmknmSSmL则2(1232)(21)2(1)nSmmmnnL2212221,(21)22[2(1)](21)22(21)mnmmmnmSSSammmmmm若则22)1()1(224222nnnnmm)(2)()1(2为正奇数为正偶数nnnnnnSn