4章答案

习题4.1求相干BPSK接收器连续工作一天出现的期望误比特数。已知数据速率为5000比特/秒，输入信号波形为s1(t)=Acosω0t和s2(t)=-Acosω0t，其中A=1mV，单边带噪声功率谱密度为N0=10-11W/Hz。假定信号功率和单位比特能量已经归一化到1Ω的单位负载上。解;2002()()bBEATPQQNN这里21()exp()22xQxx11011,,10/5000AmVTsNWHz61110()(20)4.47500010BPQQQ10614.051040BPe一天中平均错误比特数=65000/864004.05101750bitssbit4.2假定相干BPSK系统连续工作一天平均产生100个错误。已知数据速率为1000比特/秒，单边带噪声功率谱密度为N0=10-10W/Hz。（a）如果系统是各态遍历的，求平均误比特率。（b）如果接收的平均信号功率调整到10-6W，则此接收功率能否使系统维持（a）中所得的错误概率？解：（a）每天遍历的比特总数=71000/864008.6410bitssbit671001.16108.6410BP（b）10022()()10bBESTPQQN这里6110,1000SWTs610210()(20)4.47100010BPQQQ4.3假定用误比特率作为衡量系统的主要性能指标，则以下两种调制方式中的哪种可选用于AWGN信道？列出计算过程。Eb/N0=13dB的二进制非相干正交FSKEb/N0=8dB的二进制相干PSK解：非相干BFSK:：0/1319.95bENdB011exp(/2)exp(19.95/2)22BbPEN52.3210BP相干BPSK：02()bBEPQN0/86.31bENdB4(26.31)3.351exp(12.6/2)2.0710212.6BPQQ所以无法维持（a）中的错误概率，应选择非相干的BFSK。4.4以DPSK调制方式发送比特流101010111101010100001111。给出能表示上述数据流的4种不同的差分编码序列，并说明产生每种序列的算法。解：根据方程4.43当是比特1时1001100101001100111110101当是比特0时0110011010110011000001010上一序列取反根据方程4.44当是比特1时1100110000011001101011111当是比特0时00110011111001100101000004.5（a）计算非相干正交二进制FSK系统所需的最小带宽。最高调制频率为1MHz，码元持续时间为1ms。（b）求相同码元周期的非相干MFSK系统所需的最小带宽。解：（a）12311100010fffHzTB=212mfff最小带宽=12TT=1kHz+2kHz=3kHz（b）非相干MFSK的最小带宽=121(1)1MMMTTTkHz4.6考虑发送波形为等概s1(t)=cosω0t和s2(t)=-cosω0t的BPSK系统。假定接收到的Eb/N0=9.6dB，在同步性能良好时引起的误比特率为10-5。由于通过PLL恢复出的载波其相位估计中有固定的相位误差Ф，故参考信号可表示为cos(ω0t+Ф)和-cos(ω0t+Ф)。注意固定的相位偏差产生的误差性能恶化程度可由本章中的关系式计算得到。但是，若相位误差是随机的，则计算它的误差性能下降程度需要用到统计方法。（见第10章）（a）当Ф=25°时，误比特率变化了多少？（b）多大的相位误差会使误比特率达到10-3？解：02()cosbiEAtwtTZ(t)=()iAt+0Mt10002coscosbTatEwtwtdtT=0021coscos(2)2bTEwtdtT=cosbE2at=cosbE当01a和2a代表了匹配滤波器的信号响应，无相位失真。1202BaaPQ其中20=02N=000222222bbbbEEEEQQQNNN当不为0时匹配滤波器的输出信号响应变为11coscosbbaEaE（A）当接收端出现相位错误，匹配滤波器信号响应为1cosa和2cosa此时，02cosbBEPQN因为0BEN=9.6dB=9.120cos25=0.906318.240.90633.87BPQQ当X3INQ（x）我们可以用近似值22311(3.87)expexp5.8102223.872BxPX（B）当多大时，bP=310?023110exp223.115252cos3.115253.11525cos0.72956718.2443BboxPXXEN4.7求相干匹配滤波器检测等概二进制FSK信号的误比特率PB。s1(t)=0.5cos2000πt，s2(t)=0.5cos2020πt，其中双边带AWGN信道的噪声功率谱密度为N0/2=0.0001。假定码元周期T=0.01s。解：2b0.5EST0.010.001252120b1ETttdt0b10.5cos210000.521010ETttdt0.0100.251cos210cos220100.001252ttdt0.010sin210sin22010100204020tt0.9350.0050.94010.001250.06P0.0002bBEQQN0.1612QP0.27B如果是连续正交双边带信号，频率由10Hz变为20Hz，那么误差也会大大增加。4.8在AWGN信道中，采用图4.7b的相关接收机检测等概信号tTEts01cos2)(和)cos(21)(02tTEts，求最优（具有最小错误率）门限值γ0。假定参考信号为tTt01cos2)(。解：10202cos2cosStETtStETt由公式（4.21）到（4.23），我们可以使用基函数102costtT描述这些波形。11tEt2112tEt12012224EEaaE02E4.9在AWGN信道上，系统采用匹配滤波器检测等概BPSK信号，tTEts01cos2)(和)cos(21)(02tTEts，接收信号的Eb/N0为6.8dB。假定ETzE)(。（a）求上述信号集在已知的Eb/N0下最小误比特率。（b）已知判决门限为E1.0，求PB。（c）最优门限值E1.0是在特定的先验概率P(s1)和P(s2)下得到的，试求P(s1)和P(s2)。解：(a)02PbBEQN06.84.786bENdBP24.7863.09BQQ由表B.13P10B(b)0.1120.120.10020.10011P||z22111exp222111exp222EBEEpzRdzpzRdzEdzzEdz令1010;zEududz，令2020;zEududz2212000.9221.1121111P2222uuEEBeduedu由对称高斯公式2222uuxxeduedu，得：002211P0.91.122bbBEEQQNN06.84.786bENdB11P0.93.091.13.0922BQQ311P0.93.091.13.0922112.783.422110.00270.0003221.410BQQQQ(c)由公式（8.8）到（8.12）1212121221221212222001201||ln22ln2HHHHHHpgSPSpgSPSaazaaPSPSzEPSNPS0010.911.1()()22BEEPQQ因为bEE，2002N002211(0.9)(1.1)22bbBEEPQQNN06.84.786bEdBN11(0.93.09)(1.13.09)22BPQQ11(2.78)(3.4)22BPQQ11(0.0027)(0.0003)2231.410从等式8.8到8.12121221(|)()(|)()HHpzspspzsps12122201()()ln[]()HHzaaPsPs12201()(2)ln[]()2HHPszENPs12021()2ln[]()2HHNPszPsE021()0.1ln[]()4NPsEPsE210()0.4ln[]0.44.7861.914()PsEPsN22()exp(1.914)6.7821()PsPs22()6.7826.782()PsPs26.782()0.877.782Ps12()1()0.13PsPs4.10（a）描述检测图P4.1所示离散信号的匹配滤波器的冲激响应。画出滤波器在此输入信号下，输出的信号函数。忽略噪声的影响，最大输出值是多少？图P4.1（b）在匹配滤波器（MF）中，信号与信号的时间反转函数相卷积，得到匹配滤波器的冲激响应。卷积运算中时间反转函数再进行一次反转，这样通过MF就得到信号和它本身的相关（虽然认为MF是卷积运算）。假设实现MF时，我们设计的电路是为了获得信号和它时间反转函数的相关，画出其输出的时间函数，并求最大输出值。注意（a）中最大输出发生的时刻和（b）中是不一样的。（c）观察（b）错误电路的滤波器输出值，并与（a）的正确值比较，你能找出预测输出序列是有效的匹配滤波器输出的依据吗？（d）如果信号中加入噪声，比较相关器和卷积器的信噪比。然后在输入仅有噪声的情况下比较相关器和卷积器的信噪比。解：（a）匹配滤波器被定义为是冲击响应好h（t）是一个时间轴可翻转，并根据输入信号的延时而延时的相匹配的滤波器。因此，对于一个接收到的忽略了噪声信号的信号s(t),冲击响应h(t)的形式是h(t)=s(T-t),这里，T是信号波形匹配的时间。为了让滤波器可以实现，输出也必须延时整个输入信号被接收的时间T。如图4.1中的离散信号波形，被分析性地描述为()0(0)10(1)20(2)30(3)sk。因为信号s(k)的延时是三倍的时间间隔，我们现在用离散的形式重现和s(k)匹配的滤波器的脉冲响应()(3)0(30)10(31)20(32)30(33)hksk30(0)20(1)10(2)0(3)对于连续波形，它的形式是0()()*()()()tztsthtshtd当滤波器是匹配滤波器时，卷积积分如下tTstTsth且tdtTsstz0在积分时，时间t相当于一个常量，我们对虚拟变量做积分。这个卷积表示了在匹配滤波器检测过程中的第二个时间反转步骤。对tz在Tt时刻进行采样，我们得到与检测信号dssTzT0。噪声已被忽略。卷积的离散形式可以被写成nkhnskhkskzNn10在这个问题中，对匹配滤波器来说