彭家贵微分几何前五章定理回顾定理补充与习题提示

彭家贵《微分几何》前五章定理回顾,定理补充与习题提示熊锐2018年1月24日1Contents1欧式空间31.1定理回顾..............................31.2定理补充..............................31.3习题提示..............................32曲线的局部理论42.1定理回顾..............................42.2定理补充..............................52.3习题提示..............................63曲面的局部理论83.1定理回顾..............................83.2定理补充..............................103.3习题提示..............................154标架与曲面论基本定理184.1定理回顾..............................194.2定理补充..............................244.3习题提示..............................255曲面的内蕴几何学295.1定理回顾..............................295.2定理补充..............................315.3习题提示..............................3321欧式空间向量空间,向量分析,Lagrange恒等式,散度,梯度,Nabla算子,向量场,坐标,坐标变换,合同变换,欧式变换,刚体运动,反向刚体运动.1.1定理回顾命题1.1设v1;v2;v3;v4是R2的四个向量.(1)v1∧(v2∧v3)=⟨v1;v3⟩v2−⟨v1;v2⟩v3.(2)⟨v1∧v2;v3∧v4⟩=⟨v1;v3⟩⟨v2;v4⟩−⟨v1;v4⟩⟨v2;v3⟩.(3)[v1;v2;v3]=[v2;v3;v1]=[v3;v1;v2].1.2定理补充命题1.2(Jacobi)设v1;v2;v3是R2的三个向量.则v1∧(v2∧v3)+v3∧(v1∧v2)+v2∧(v3∧v1)=01.3习题提示1.通过复合平移,可以假设将原点映成原点.先证明,T将三角形映成全等三角形,从而保持角度,从而保持线段的比例.且将平行四边形映成平行四边形,从而保持和,从而是线性的.又因为保持距离,所以是正交变换.2.求导.3.即e=a(t)|a(t)|是常向量,而已经有e⊥e′,故e′=0⇐⇒e∧e′=0,带入计算即可.4.略.5.计算置换矩阵的行列式.6.Tv∧Tw=(detT)T(v∧w).32曲线的局部理论平面曲线,空间曲线,弧长参数,切向量,曲率,曲率向量,挠率,法向量,法平面,主法向量,从切平面,Frenet标架,Frenet公式,圆柱螺旋线,曲线论基本定理.2.1定理回顾定理2.1每条正则曲线都可以写成单位速率曲线.单位速率曲线⇐⇒弧长参数曲线,且s(t)=∫tcdrdt()ds′(t)=drdt(t)定义2.2(Fernet标架)考虑单位速率曲线r(s),我们定义(1)t(s)=drds(s).(切向量)(2)(s)=dtds(s).(曲率)在曲率0时,再定义(3)n(s)=1κ(s)dtds(s).(主法向量)(4)b(s)=t(s)∧n(s).(次法向量)(5)(s)=−⟨dbds;n⟩.(挠率)nbtrt4定理2.3(Fernet公式)考虑单位速率曲线r(s),假设{t(s);n(s);b(s);(s);(s)}为其Fernet标架.则_t(s)=(s)n(s)_n(s)=−(s)t(s)+(s)b(s)_b(s)=−(s)n(s)写成矩阵形式ddstnb=−−tnb定理2.4正则曲线r的曲率0,则r落在某个平面上的充要条件是=0.定理2.5(曲线论基本定理)若R3中的两条曲线r1;r2定义在同一个参数区间(a;b)上,满足1(s)=2(s)0;1(s)=2(s)则存在R3的一个刚体运动把r2变为r1.2.2定理补充补充2.6(非单位速率曲线)已知一般正则曲线r(t),假设{^T;^N;^S;^;^}是其化为单位速率曲线后的Fernet标架,则drdt(t)d2rdt2(t)d3rdt3(t)=drdt∗^drdt2∗∗^^drdt3^T^N^B5作为推论^T=drdtdrdt^N=^B∧^T^B=drdt∧d2rdt2drdt∧d2rdt2^=drdt∧d2rdt2drdt3^=[drdt;d2rdt2;d3rdt3]drdt∧d2rdt22证明设{T;N;B;;}为p(s)=r(t(s))的一副Fernet标架.注意到s′(t)=drdt(t).通过计算drdt(t)=dpds(s(t))s′(t)=T(s(t))s′(t)=drdt(t)^T(t)d2rdt2(t)=dTds(s(t))(s′(t))2+T(s(t))s′′(t)=s′′(t)^T(t)+drdt(t)2^^N(t)d3rdt3(t)=:::=(s′′′−^2s′3)^T(t)+(^s′s′′+(^s′2)′)^N+^^drdt(t)3^B得证.2.3习题提示1.计算,并运用2.2.参见(2.6).3.带入2.4.计算,并运用5.5.参见(2.6).6.计算,运用(2.6).7.在0处,Fernet标架发生了突变.8.不妨假设P0在原点,从而⟨r;r⟩取极值,其导数为2⟨r′;r⟩.69.不妨假设定点在原点.则r(s)=(s)t.若0,则求导数知t=′(s)t+(s)n,从而′(s)=1;=0.矛盾.不妨假设定点在原点.则r(s)=(s)n.求导t(s)=′(s)n−(s)t+(s)b,则=−1/;′=0;=0.从而是圆.10.略.11.略.12.略.13.使用角参数,设t=(cos;sin).则利用dtds=dθds=,可以直接解出=∫s0aa2+σ2d.然后带入得到t,再计算r=∫s0t()d.14.参见(2.6).15.为常数是平凡的.不妨假设球心在原点,从而⟨r;r⟩为常数,则⟨T;r⟩=0,于是⟨N;r⟩+1=0,即⟨N;r⟩=−1κ,再求导⟨−T+B;r⟩+⟨B;T⟩=dds(1κ),得⟨B;r⟩=−1τdds(1κ),从而r=−1κN−1τdds(1κ)B.结合⟨r;r⟩为常数,(1κ)2+(1τdds(1κ))2为常数.反之,受之启发,构造曲线p=−1N−(1dds(1))B在不是常数时p是正则的,经过直接的计算,⟨p′;T⟩=1⟨p′;N⟩=0根据⟨p;p⟩为常数,故⟨p;p′⟩=0,而(1τdds(1κ))̸=0,从而p′=T,从而p是单位速率正则曲线,且与r之间只相差平移得证.16.运用L’hôptal法则.17.这样的曲线被称为螺线,是那些切向量和给定向量夹角为常数的曲线.螺线可以利用旋转轴u描述,此时⟨T;u⟩为常数.7无妨假设u是单位向量,螺线r,设⟨T;u⟩=cos为常数,求导得⟨N;u⟩=0,从而⟨N;u⟩=0.从而u=cosT+sinB,两边同时求导有0=cosN−sinN,从而=cot.反之,受之启发,记使得cot=/,作u=cosT+sinB.直接求导得u是常向量,以及⟨T;u⟩=cos,命题得证.18.由于平面曲线定义的法向量与空间曲线不同,故曲率在符号上略微不同.在平面上的结果为−(−s),空间中的结果为(−s);(−s).19.设v(s)=xt+yn+zb,带入求解.20.化为单位速率曲线后计算曲率挠率.21.略.3曲面的局部理论空间曲面,正则曲面,切平面,法向量,第一基本形式,第二基本形式,法曲率,Weingarten变换,抛物点,椭圆点,双曲点,渐进方向,抛物点,平点,Gauss映射,平均曲率,Gauss曲率,脐点,主方向,主曲率,Euler公式,球极投影坐标,旋转曲面,螺旋面,悬链面,柱面,直纹面,可展曲面,全脐点曲面.3.1定理回顾@r@u@r@vnM:r(u;;v)rR28定义3.1对于正则曲面r(u;v),在每一点的切空间TP上定义•第一基本形式I=⟨dr;dr⟩=ds2=Edu2+2Fdudv+Gdv2其中E=⟨ru;ru⟩=||ru||2F=⟨ru;rv⟩G=⟨rv;rv⟩=||rv||2•第二基本形式II=−⟨dr;dn⟩=Ldu2+2Mdudv+Ndv2其中L=⟨ruu;n⟩F=⟨ruv;n⟩G=⟨rvv;n⟩•Weingarten变换W:TP→TPxru+yru7→−xnu−ynu定义Gauss曲率K和平均曲率HK=detWH=12trW定义主曲率k1;k2为W的两个特征值,对应的主方向为对应的单位特征向量e1;e2.定义3.2对于正则曲面M上的弧长参数曲线r(s),定义•曲率向量为d2rdt2.•kn=⟨d2rdt2;n⟩.即,曲率向量的法向分量.(法曲率)•kg=⟨d2rdt2;n∧drdt⟩.即,曲率向量的切平面分量.(测地曲率)9命题3.3沿着切向量X的法曲率,为kn(X)=II(X;X)I(X;X)定理3.4Weingarten变换W是自伴的,且对于切向量X;Y⟨WX;Y⟩=⟨X;WY⟩=II(X;Y)命题3.5通过计算知Gauss曲率K和平均曲率H满足(实际上,根据(3.9))K=LN−M2EG−F2H=12LG−2MF+NEEG−F2定理3.6(Euler公式)设k1;k2是某一点的主曲率,e1;e2为相应的的主方向,若切向量X与e1夹角为,则kn(X)=k1cos2+k2sin2故,主曲率是主方向的法曲率,且主曲率是法曲率的极大极小值.命题3.7设直纹面r(u;v)=a(u)+vℓ(u),则r是可展曲面当且仅当[a′;ℓ;ℓ′]=0当且仅当沿着直母线,直纹面法向量不变,即n(u;v1)=n(u;v2).并且有如下分类结果可展曲面在局部上是柱面,锥面,切线面的一种.命题3.8一个曲面若所有点都是脐点,则是球面或是平面的一部分.3.2定理补充命题3.9Weingarten变换在自然坐标下的矩阵可以被写出来.对于切向量X=aru+brv,若WX=xru+yrv,有(xy)=(EFFG)−1(LMMN)(ab)10证明假设nu=Aru+Brvnv=Cru+Drv通过与ru;rv作内积得−L=AE+BF−M=CE+DF−M=AF+BG−N=CF+DG即−(LMMN)=(ABCD)(EFFG)故(ABCD)=−(LMMN)(EFFG)−1从而WX=−anu−bnv=−(aA+bC)ru−(aB+bD)rv从而(xy)=(ACBD)(ab)=(EFFG)−1(LMMN)(ab)证毕.命题3.10X=aru+brv是主方向(不必单位)当且仅当a2−abb2EFGLMN=0证明根据上命题,即有k满足k(ab)=(EFFG)−1(LMMN)(ab)即k(EFFG)(ab)=(LMMN)(ab)11这是两个方程,消去k得La+MbEa+FbMa+NbFa+Gb=0即LEMFa2+LENGab+MFNGb2=0即a2−abb2EFGLMN=0命题得证.定理3.11在某个曲面r(s;t)的某一点P,必然存在新的参数(u;v)使得ru;r