Z变换

实验五z变换1、学会运用MATLAB求离散时间信号的z变换和z反变换；2、学会运用MATLAB分析离散时间系统的系统函数的零极点分布与时频特性分析；一、实验目的二、实验设备2、MATLAB6.5软件1、计算机三、实验原理0)()]([)(nnznxnxZzX(1)序列的正反Z变换其中，符号表示取z变换，z是复变量。相应地，单边z变换定义为：nnznxnxZzX)()]([)(三、实验原理a.使用ztrans和iztransMATLAB符号数学工具箱提供了计算离散时间信号单边z变换的函数ztrans和z反变换函数iztrans，其语句格式分别为Z=ztrans(x)x=iztrans(z)上式中的x和Z分别为时域表达式和z域表达式的符号表示，可通过sym函数来定义。1.求z变换【例1】试用ztrans函数求下列函数的z变换。x=sym('a^n*cos(pi*n)');Z=ztrans(x);simplify(Z)ans=z/(z+a))()cos()(nunanxn%simplify(S)对表达式S进行化简【例2】试用iztrans函数求下列函数的z反变换。Z=sym('(8*z-19)/(z^2-5*z+6)');x=iztrans(Z);simplify(x)ans=-19/6*charfcn[0](n)+5*3^(n-1)+3*2^(n-1)3||65198)(2zzzzzXcharfcn[0](n)是(n)函数在MATLAB符号工具箱中的表示，反变换后的函数形式为：)()2335()(619)(11nunnxnn三、实验原理如果信号的z域表示式是有理函数，进行z反变换的另一个方法是对X(z)进行部分分式展开，然后求各简单分式的z反变换.如果X(z)的有理分式表示为：)()(1)(221122110zAzBzazazazbzbzbbzXnnmmrkkikrMkkknNMnnzzCzzAzBzX11110]1[1)(b.使用部分分式展开求逆z变换三、实验原理MATLAB信号处理工具箱提供了一个对X(z)进行部分分式展开的函数residuez，其语句格式为：[R,P,K]=residuez(B,A)其中:B，A分别表示X(z)的分子与分母多项式的系数向量，分子与分母多项式按照升幂排列，从z0的系数开始R为部分分式的系数向量；P为极点向量；K为多项式的系数。若X(z)为有理真分式，则K为零。1z1111()11nnRRXzKPzPz三、实验原理例3用MATLAB命令进行部分分式展开，并求出其z反变换。解：MATLAB源程序为B=[18];A=[18,3,-4,-1];[R,P,K]=residuez(B,A)5.0||431818)(321zzzzzXB，AX(z)的分子与分母多项式的系数向量R为部分分式的系数向量；P为极点向量；K为多项式的系数。P=0.5000-0.3333-0.3333K=[]从运行结果可知32pp表示系统有一个二重极点。所以，X(z)的部分分式展开为2111)3330.314.03333.0124.05.0136.0)(zzzzX（)(])3333.0)(1(4.0)3333.0(24.0)5.0(36.0[)(nunnxnnn三、实验原理R=0.36000.24000.40002()341zXzzz13z例4用部分分式法求逆z变换：1212()34134zzXzzzzzb=[0,1];%初始输入分子多项式的项数a=[3,-4,1];%初始输入分子多项式的项数[r,p,k]=residuez(b,a);MATLAB程序：得到r=[0.5,-0.5]’p=[1,1/3]’k=[]110.50.5()11(13)Xzzz()0.5(1)0.5(1/3)(1)nxnunun结合其ROC，可以得到信号为三、实验原理2()(2)(1)zXzzz31222()1(2)(1)21(1)cccXzzzzzzz12()(2)1zXzczz221121()1(1)1(21)!(2)zzdXzczdzzz23111()1(1)1(22)!(2)zzXzczzz2()21(1)zzzXzzzz例5用部分分式法求逆z变换：解：即()[21]()nxnnun三、实验原理22121()(2)(1)(1)(12)zzXzzzzzb=[0,0，1];%初始输入分子多项式的项数a=poly([1,1,2]);%初始输入分子多项式的项数[r,p,k]=residuez(b,a);%求三个系数[r,p,k]得到r=1.0000-0.0000+0.0000i-1.0000+0.0000ip=2.00001.0000+0.0000i1.0000-0.0000ik=[]1112101()(12)1(1)Xzzzz对比一下两种分解方式，二者是等价的。用matlab求其部分分式MATLAB中提供了多项式乘法和除法函数：conv(b,a)和deconv(b,a)C=conv(b,a)：其中b、a是两个向量。如果是两个多项式的系数，则完成多项式的乘法；如果是任意两个数组，则完成的是卷积b*a；返回结果c。[q,r]=deconv(b,a)：其中b、a是两个向量。如果是一个有理分式的分子、分母多项式的系数，则完成多项式的除法b/a；如果是任意两个数组，则完成的是解卷积b/a；返回结果q为商，r为余数。c.用长除法法求逆Z变换在z变换应用时，要求[b,a]是X(z)中按照z-1的升幂排列的分子分母的系数。11121110000012111计算，商的精度要求达到4位若要求序列x(n)的长度为Nq即商的长度为Nq当分子的长度b小于分母a的长度时，补0的长度为(Na-Nb)+(Nq-1)计算序列x(n)的长度：例6用长除法求逆z变换：P53例2-6111()1410.25XzzzNq=7;%待求解x(n)的项数b=[-1];%初始输入分子多项式的系数Nb=length(b);%分子多项式的项数a=poly([4,0.25]);%poly()求解多项式的系数，Na=length(a);%分母多项式的项数b=[b,zeros(1,Nq+Na-Nb-1)];%将b补零成为长度为Nq+Na-1的多项式Nb=length(b);%分子多项式的项数[q,r]=deconv(b,a)%求二个系数[q,r]stem([0:Nq-1],q);title('x(n)');xlabel('n');ylabel('x(n)');例7用长除法求逆z变换：2111()10.910.7XzzzNq=100;%待求解x(n)的项数b=[1];%初始输入分子多项式的系数Nb=length(b);%分子多项式的项数a=poly([0.9,0.9,-0.7]);%poly()可以求解多项式的系数，初始输入分母多项式的项数Na=length(a);%分母多项式的项数b=[b,zeros(1,Nq+Na-Nb-1)];%将b补零成为长度为Nq+Na-1的多项式Nb=length(b);%分子多项式的项数[q,r]=deconv(b,a)%求二个系数[q,r]stem([0:Nq-1],q);xlabel('n')ylabel(‘x(n)')三、实验原理2、系统函数的零极点分析离散时间系统的系统函数定义为系统零状态响应的z变换与激励的z变换之比:)()()(zXzYzH如果系统函数)(zH的有理函数表示式为11211121)(nnnnmmmmazazazabzbzbzbzH三、实验原理在MATLAB中系统函数的零极点就可通过函数roots得到，也可借助DSP工具箱中的函数tf2zp得到，tf2zp的语句格式为：[R,P,K]=tf2zp(B,A)其中，B与A分别表示分子与分母多项式的系数向量。它的作用是将H(z)的有理分式表示式转换为零极点增益形式：)())(()())(()(2121nmpzpzpzzzzzzzkzHMATLAB实现三、实验原理例8已知一离散因果LTI系统的系统函数为：16.032.0)(2zzzzH试用MATLAB命令求该系统的零极点。三、实验原理2121216.0132.016.032.0)(zzzzzzzzHB=[1,0.32];A=[1,1,0.16];[R,P,K]=tf2zp(B,A)R=-0.3200P=-0.8000-0.2000K=10.32z极点为：10.8p20.2p因此，零点为：三、实验原理若要获得系统函数的零极点分布图，可直接应用zplane函数，其语句格式为：zplane(B,A)其中，B与A分别表示的分子和分母多项式的系数向量。它的作用是在Z平面上画出单位圆、零点与极点。三、实验原理例9已知一离散因果LTI系统的系统函数为：试用MATLAB命令绘出该系统的零极点分布图。68.052.136.0)(22zzzzH21210.36()11.520.68zHzzzB=[1,0,-0.36];A=[1,-1.52,0.68];[R,P,K]=tf2zp(B,A)zplane(B,A),gridon;legend('零点','极点');title('零极点分布图');MATLAB源程序为：在离散系统中，z变换建立了时域函数与z域函数之间的对应关系。因此，z变换的函数从形式可以反映的部分内在性质。我们通过讨论H(z)的一阶极点情况，来说明系统函数的零极点分布与系统时域特性的关系。三、实验原理)(zH3、系统函数的零极点分布与其时域特性的关系)(zH)(nh)(nh三、实验原理MATLAB求解单位抽样响应可利用函数filter，filter函数的常用语句格式为：y=filter(b,a,x)表示由向量b和a组成的系统对输入x进行滤波，系统的输出为y;)(nh三、实验原理MATLAB另一种求单位抽样响应的方法是利用控制系统工具箱提供的函数impz来实现。impz函数的常用语句格式为impz(b,a,N)其中，参数N通常为正整数，代表计算单位抽样响应的样值个数。)(nh三、实验原理例10试用MATLAB命令画出系统函数的零极点分布图、以及对应的时域单位抽样响应的波形。)(nh18.0118.0)(ZzzzHb1=[1];a1=[1,-0.8];subplot(121)zplane(b1,a1)title('极点在单位圆内的正实数')subplot(122)impz(b1,a1,30);gridon;三、实验原理三、实验原理4、离散时间LTI系统的频率特性分析离散时间系统的频率响应定义为：)(|)(|)(jjjeeHeH|)(|jeH)(其中:称为离散时间系统的幅频特性称为离散时间系统的相频特性(z)()jjzeHHe是关于的以2为周期的连续信号()jHe三、实验原理MATLAB提供了求离散时间系统频响特性的函数freqzfreqz的调用格式1:其中:B与A表示系统函数的分子和分母多项式的系数向量；N为正整数，表示对频域离散化的点数，默认值为512；返回值w:包含范围内的N个频率等分点；返回值H:是离散时间系统频率响应。~0格式2：2~0[H,w]=freqz(B,A,N)[H,w]=freqz(B,A,N,’whole’)与第一种方式不同之处在于角频率的范围扩展到三、实验原理例11试用MATLAB命令绘制以下系统的频率响应曲