条件分布与随机变量的独立性

第2章随机变量及其概率分布1一、离散型随机变量的条件分布二、连续型随机变量的条件分布四、小结§2.5条件分布与随机变量的独立性三、随机变量的独立性第2章随机变量及其概率分布2问题考虑一大群人，从其中随机挑选一个人，分别用X和Y记此人的体重和身高，则X和Y都是随机变量，它们都有自己的分布。现在如果限制Y取值从1.5m到1.6m，在这个限制下求X的分布。第2章随机变量及其概率分布3设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为,,2,1,,},{jipyYxXPijji(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律分别为,,2,1},{,,2,1},{11jyYPppixXPppjiijjijiji一、离散型随机变量的条件分布第2章随机变量及其概率分布4设考虑在事件已发生的条件下事件发生的概率，即求下列事件的概率,0jp}{jyY}{ixX,,2,1},|{iyYxXji}yYxXP{ji由条件概率公式,,2,1i}yP{Y}yY,xP{Xjji,ppjij第2章随机变量及其概率分布5,pp}yP{Y}yY,xP{X}yYxXP{jijjjiji.,2,1,ji其中定义设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的j，若P{Y=yj}0，则称为在Y=yj条件下随机变量X的条件分布律。对于固定的i，若P{X=xi}0，则称为在X=xi条件下随机变量Y的条件分布律,,pp}xP{X}yY,xP{X}xXyYP{iijijiij第2章随机变量及其概率分布6XY3210010.0020.0030.0840.0002.0008.0010.0060.0001.0004.0005.0010.0210900.0080.0020.0013.0032.0045.0910.0000.1}{iXP}{jYP:),(.,.2,3.,具有分布律资料知据积累的数目表示焊点焊接得不良的以目数表示螺栓紧固得不良的以处焊点焊接其二是只螺栓其一是紧固由机器人完成的一辆汽车有两道工序是在一汽车工厂中YXYX例1第2章随机变量及其概率分布7.,0)2(;,1)1(的条件分布律的条件下求在的条件分布律的条件下求在XYYX解}1{}0,1{}10{XPYXPXYP,045.0030.0}1{}1,1{}11{XPYXPXYP,045.0010.0}1{}2,1{}12{XPYXPXYP,045.0005.0由上述分布律的表格可得第2章随机变量及其概率分布8的条件分布律为的条件下即在YX,1kY}1{XkYP210919296的条件分布律为的条件下同理可得在XY,0kX}0{YkXP32109019029039084第2章随机变量及其概率分布9例2一射手进行射击,击中目标的概率为p(0p1),射击到击中目标两次为止.设以X表示首次击中目标所进行的射击次数,以Y表示总共进行的射击次数.试求X和Y的联合分布律及条件分布律.解有时取且取由题意知,nYmX)1()1()1(ppppp个)2(n的联合分布律为和即得YX,},{22nqpnYmXP.1,,2,1;,3,2,1nmnpq其中},{nYmXP第2章随机变量及其概率分布10现在求条件分布律．1},{mnnYmXP122mnnqp122mnnqpqqpm112,1mpq,,2,1m}{nYP1122nmnqp,)1(22nqpn.,3,2nn},YmXP{m},XnYP{}{mXP11},{nmnYmXP第2章随机变量及其概率分布11,,3,2时所以当n2222)1(nnqpnqp}{},{nYPnYmXP,11n,1,,2,1时当nm}{},{mXPnYmXP122mnqpqp,1mnpq.,2,1mmn}{nYmXP}{mXnYP第2章随机变量及其概率分布12例3设某班车起点站上客人数X服从参数为的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率均为p(0p1)，且中途下车与否相互独立，以Y表示在中途下车的人数，求：)0(（1）在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率；（2）二维随机变量(X,Y)的概率分布。第2章随机变量及其概率分布13解)|()1(nXmYPmnmmnppC)1(,...2,1,0,0nnm),()2(mYnXPmnmmnppC)1(,...2,1,0,0nnm)()|(nXPnXmYP,!enn第2章随机变量及其概率分布14二、连续型随机变量的条件分布?}{yYxXP}{},{yYPyYxXP0}{yYP)0(}{yYyxXP有问题，第2章随机变量及其概率分布15,0}{yYyP设则有}{yYyxXP}{},{yYyPyYyxXPyyYxyydyyfdxdyyxf)(),()(),(yfdxyxfYxxYdxyfyxf)(),(第2章随机变量及其概率分布16.)(),()(,)(),(,0)(,).(),(),,(),(yfyxfyxfXyYyfyxfyfyyfYYXyxfYXYYYYYX记为的条件概率密度的条件下为在则称若对于固定的的边缘概率密度为关于的概率密度为设二维随机变量条件概率密度及分布函数的定义第2章随机变量及其概率分布17.d)(),(}{)(),(}{,,d)(),(d)(xyfyxfyYxXPyxFyxFyYxXPXyYxyfyxfxyxfxYYXYXxxYYX即或记为的条件分布函数条件下的为在称的条件概率密度为的条件下同理定义在YxX.d)(),(}{)(yxfyxfxXyYPxyFyXXY第2章随机变量及其概率分布18答.}{)(,,yYxXPyxFYX　　　　即另一个随机变量的分布的条件下机变量取某个确定值条件分布是指在一个随?)(yxFYX件分布函数的定义来直接定义条为什么不能用条件概率请同学们思考由于P{Y=y}可能为0（连续型时一定为0）。故直接使用条件概率来定义时无法克服分母为0的现象。第2章随机变量及其概率分布19.d])(),([d)()(xYxYXYXxyfyxfxyxfyxF.d])(),([d)()(yXyXYXYyxfyxfyxyfxyF说明联合分布、边缘分布、条件分布的关系如下联合分布条件分布函数与条件密度函数的关系边缘分布条件分布联合分布第2章随机变量及其概率分布20).(,1),(22yxfyxYXYX求条件概率密度上服从均匀分布在圆域设解的概率密度为由题意知随机变量),(YX,,0,1,π1),(22其它yxyxf例4则xyxfyfYd),()(第2章随机变量及其概率分布21有时于是当,11y.,0,11,1211)π2(π1)(2222其他yxyyyyxfYX.,0,11,1π2dπ1)(21122其他yyxyfyyY第2章随机变量及其概率分布22).(.)1,(,)10(,)1,0(yfYxYxxXXY的概率密度求值上随机地取在区间数时当观察到上随机地取值在区间设数解具有概率密度由题意知X.,0,10,1)(其它xxfX),10(xx对于任意给定的值,的条件下在xX的条件概率密度为Y.,0,10,11)(其它yxxxyfXY例5第2章随机变量及其概率分布23的联合概率密度为和因此YX)()(),(xfxyfyxfXXY.,0,10,11其它yxx的边缘概率密度故得YxyxfyfYd),()(.,0,10),1ln(d110其它yyyxx第2章随机变量及其概率分布24例6已知;,;,~),(222211NYX求)(yxfYX解)(yxfYX)(),(yfyxfY222222222121212122)(2)())((2)()1(2122121121yyyxxee第2章随机变量及其概率分布2522211221)()()1(2121121yxe同理)(xyfXY)1(),(~2221122xN)1(),(~2212211yN)(yxfYX二维正态分布的两个条件分布均为一元正态分布第2章随机变量及其概率分布26即则称随机变量X和Y是相互独立的。y},x}P{YP{Xy}Yx,P{X三、随机变量的相互独立性1.二维随机变量间的相互独立性定义设F(x,y)及FX(x),FY(y)分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数。若对于所有x,y有(y),(x)FFy)F(x,YX第2章随机变量及其概率分布27说明(1)若对任意的x,y成立，则{,}(,)(,)(,)(,)PaXbcYdFbdFadFbcFac()()()()()()()()XYXYXYXYFbFdFaFdFbFcFaFc[()()][()()]XXYYFbFaFdFc{}{}PaXbPcYd证明dYcbXaP,dYcPbXaP由于(y),(x)FFy)F(x,YX(y),(x)FFy)F(x,YX第2章随机变量及其概率分布28},{}{},{jijiyYPxXPyYxXP相互独立和YX(2)若离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为.,2,1,,},{jipjYiXPij.jiijppp即).()(),(yfxfyxfYX相互独立和YX则有边缘概率密度分别为的联合概率密度为设连续型随机变量),(),(),,(),()3(yfxfyxfYXYX第2章随机变量及其概率分布29),(YXijp)1,1()2,1()3,1()1,2()2,2()3,2(619118131解的分布律改写为将),(YX例7的分布律为已知),(YX.,(2);)1(的值与求相互独立与若应满足的条件与求YX第2章随机变量及其概率分布30(1)由分布律的性质知,0,0,132.310,0:且应满足的条件是与故XY32112619118131}{iixXPp3131}{jjyYPp219118132第2章随机变量及其概率分布31)3,2,1;2,1(,jipppjiij特别有2112ppp913191,92又,31.91得(2)因为X与Y相互独立,所以有第2章随机变量及其概率分布32因为X与Y相互独立,解所以求随机变量(X,Y)的分布律.例8设两个独立的随机变量X与Y的分布律为XXP317.03.0YYP424.06.0.}{}{},{jijiyYPxXPyYxXP}4{}1{}4,1{YPXPYXP4.03.0,12.0}2{}1{}2,1{YPXPYXP6.03.0,18.0第2章随机变量及其概率分布33}2{}3{}2,3{YPXPYXP6.07.0,42.0}4{}3{}4,3{YPXPYXP4.07.0.28.0的联合分布律为因此)