条件分布律条件分布函数条件概率密度

•条件分布律•条件分布函数•条件概率密度第三章随机变量及其分布§3条件分布退出前一页后一页目录一、离散型随机变量的条件分布律设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为,2,1,}{1ippxXPjjiii,2,1,}{1jppyYPijijj(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律分别为：第三章随机变量及其分布§3条件分布P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,...退出前一页后一页目录由条件概率公式定义：设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的j,}{},{jjiyYPyYxXP为在Y=yj条件下随机变量X的条件分布律。第三章随机变量及其分布}|{jiyYxXP若P{Y=yj}0,则称)()()|(BPABPBAP自然地引出如下定义：§3条件分布,jijpp,2,1i退出前一页后一页目录第三章随机变量及其分布条件分布律具有分布律的以下特性：10P{X=xi|Y=yj}0；10}|{2ijiyYxXP.1jjpp1ijijpp同样对于固定的i,若P{X=xi}0,则称,2,1,}{},{}|{jppxXPyYxXPxXyYPiijijiij为在X=xi条件下随机变量Y的条件分布律。§3条件分布即条件分布率是分布率。退出前一页后一页目录第三章随机变量及其分布例1一射手进行射击，击中目标的概率为p，射击到击中目标两次为止。设以X表示首次击中目标所进行的射击次数，以Y表示总共进行的射击次数，试求X和Y的联合分布律以及条件分布律。解：§3条件分布退出前一页后一页目录，，，的取值是21X；，，，的取值是432Y的联合分布律为YX,{}nYmXP，pqpqmnm×××---11()pq-1其中22pqn×-.1,,2,1-nm;,3,2n．并且YX第三章随机变量及其分布,1112---mmpqqqp,2,1mmnYmXP},{,3,2n-22nqp}{nYP,)1(22--nqpn§3条件分布例1（续）1mn1m1-n退出前一页后一页目录{}nnYmXP，的边缘分布律为X{}mXP-×22nqp的边缘分布律为Y{}1,2,1;,3,2,22--nmnpqnYmXPn，在Y=n条件下随机变量X的条件分布律为}|{nYmXP当n=2,3,…时，第三章随机变量及其分布;1,,2,1-nm,11)1(2222----nqpnpqnn,3,2,)1(}{22--nqpnnYPn§3条件分布}{},{nYPnYmXP退出前一页后一页目录{}1,2,1;,3,2,22--nmnpqnYmXPn，,2,1mmn在X=m条件下随机变量Y的条件分布律为当m=1,2,3,…时，第三章随机变量及其分布}|{mXnYP}{},{mXPnYmXP,1122----mnmnpqpqqp§3条件分布退出前一页后一页目录{}1,2,1;,3,2,22--nmnpqnYmXPn，{},2,1,1-mpqmXPm第三章随机变量及其分布例2)0(),10(pp（1）在发车时有n个乘客的条件下，中途有m个人下车的概率；（2）二维随机变量（X,Y)的概率分布。解：}|{)1(nXmYP,)1(mnmmnppC--.,2,1,0,,,1,0nnm且中途下车与否相互独立。以Y表示在中途下车的人数，求：设某班车起点站上车人数X服从参数为的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为§3条件分布退出前一页后一页目录第三章随机变量及其分布联合分布率为)2(},{mYnXP}{}|{nXPnXmYP,!)1(---enppCnmnmmn,2,1,0,,1,0nnm二、条件分布函数设(X,Y)是二维连续型随机变量，由于.}|{,0}{无意义所以yYxXPyYP因此我们利用极限的方法来引入条件分布函数的概念。§3条件分布退出前一页后一页目录定义：给定y，设对于任意固定的正数，}|{lim0-yYyxXP存在，第三章随机变量及其分布}{},{lim0--yYyPyYyxXPP{y-Yy+}0,若对于任意实数x，极限则称为在条件Y=y下X的条件分布函数，写成P{Xx|Y=y}，或记为FX|Y(x|y).§3条件分布退出前一页后一页目录第三章随机变量及其分布.)(),(yfduyufYx-}{},{lim)|(0|--yYyPyYyxXPyxFYX)(),(yFdydyyxFY)()(),(),(lim0----yFyFyxFyxFYY2/)]()([lim2/)],(),([lim00----yFyFyxFyxFYY)(),(yfdudvvufyYyx--§3条件分布退出前一页后一页目录,)(),()|(|-xYYXduyfyufyxF)(),()|(|yfyxfyxfYYX第三章随机变量及其分布§3条件分布称为在条件Y=y下X的条件分布函数.退出前一页后一页目录的条件下的在称为随机变量yYX.条件密度函数()()()xfyxfxyfXXY，的条件下的在称为随机变量xXY.条件密度函数条件密度函数的性质第三章随机变量及其分布§3条件分布退出前一页后一页目录，有对任意的性质x1()0yxfYX()12-dxyxfYX性质()是密度函数．简言之，yxfYX()也有类似的性质．对于条件密度函数xyfXY第三章随机变量及其分布§3条件分布例3的概率密度为设随机变量),(YX.,0,10,||,1),(其它xxyyxf;)|(),|()2(;)(),(1||xyfyxfyfxfXYYXYX）（试求：}.0|21{)3(YXP解：xy01xyxy--dyyxfxfX),()()1(,10x-xxxdy,2.,0其它退出前一页后一页目录第三章随机变量及其分布-dxyxfyfY),()(-.,01|||,|1其它yy-其它。,01||,||11xyy)(),()|()2(|yfyxfyxfYYX,10y-1,1yydx,01-y.,0其它-1,1yydx例3（续）§3条件分布,1||y当.,0,10,||,1),(其它xxyyxfxy01xyxy-退出前一页后一页目录第三章随机变量及其分布-其它。,0,,21xyxx431121221)211()(),()|(|xfyxfxyfXXY}0|21{)3(YXP}0{}0,21{YPYXP例3（续）,10x当.,010,2)(其它xxxfX.,0,10,||,1),(其它xxyyxfxy01xy21退出前一页后一页目录例4()()()()()()--------22222121212122212121exp121yyxrxrryxf，第三章随机变量及其分布§3条件分布退出前一页后一页目录()()rNYX，，，，，222121~()的联合密度函数为，则YX()服从二元正态分布：，设二维随机变量YX的边缘密度函数为又随机变量Y()()()---yeyfyY22222221()，，因此，对任意的0yfyY第三章随机变量及其分布§3条件分布()()()-----xyrxr22211221121exp()()()yfyxfyxfYYX，()221121r-即布条件分布是一元正态分结论：二元正态分布的,()()--22122111ryrN，退出前一页后一页目录例5解：第三章随机变量及其分布§3条件分布退出前一页后一页目录()()的密度函数．机变量上的均匀分布．试求随，服从区间的条件下在时，随机变量布，当上的均匀分，服从区间设随机变量YxxXYxX11010().,0,10,1其它xxfX的密度函数为随机变量X下的条件密函数为在条件时，随机变量又由题设知，当xXYx10()-.,0,1,11其它yxxxyfXY()()()xfyxfxyfXXY，第三章随机变量及其分布§3条件分布例5（续）()()()xyfxfyxfXYX，xy011得退出前一页后一页目录所以，由公式时，当10y-.,0,10,11其它yxx()()-dxyxfyfY，所以，的密度函数为所以，随机变量Y()()--.,0,10,1ln其它yyyfY-ydxx011().1lny--第三章随机变量及其分布§3条件分布1条件分布律；2条件分布函数；3条件概率密度。小结：难点：求条件分布时如何确定条件分布率和条件密度不为零的范围。退出前一页后一页目录第三章随机变量及其分布§4随机变量的独立性•随机变量的独立性•离散型随机变量的独立性•连续型随机变量的独立性•正态随机变量的独立性退出前一页后一页目录一、随机变量的独立性()()()()．的分布函数为随机变量，的分布函数为，又随机变量，合分布函数为是二维随机变量，其联，设yFYxFXyxFYXYX第三章随机变量及其分布§4随机变量的独立性，有，如果对于任意的yx()()()yFxFyxFYX，．是相互独立的随机变量，则称YX退出前一页后一页目录说明(){}yYxXPyxF，，由于(){}(){}yYPyFxXPxFYX，以及：相互独立，实际上是指与可知，随机变量YX{}{}相互独立．与，随机事件，对于任意的yYxXyx第三章随机变量及其分布§4随机变量的独立性()()()yFxFyxFYX，()()()()唯一确定．与可由其边缘分布函数，的联合分布函数，二维随机变量yFxFyxFYXYX结论：在独立的条件下有退出前一页后一页目录例1第三章随机变量及其分布§4随机变量的独立性退出前一页后一页目录()的联合分布函数为，设二维随机变量YX()÷÷10arctan25arctan212yxyxF，()--yx，是否相互独立？与试判断YX的边缘分布函数为X解：()()-，x第三章随机变量及其分布§4随机变量的独立性退出前一页后一页目录÷÷10arctan25arctan21lim2yxy÷5arctan21x()，xF()xFX的边缘分布函数为Y()()yFyFY，÷÷10arctan25arctan21lim2yxx()()-，y()()yFxFYX第三章随机变量及其分布§4随机变量的独立性退出前一页后一页目录÷10arctan21y，有，所以，对于任意的实数yx()÷÷10arctan25arctan212yxyxF，÷×÷10arctan215arctan21yx．是相互独立的随机变量与所以YX二、离散型随机变量的独立性()，其联合分布律为是二维离散型随机变量，设YX{}jiijyYxXPp，的分布律为又随机变量X()，，，21ji{}iixXPp()，，21i的分布律为随机变量Y{}jjyYPp()，，