三角函数专题——函数图像的平移

三角函数专题——函数图像的平移（敖东）三角函数图像的平移问题是高考考试中的一个重要考点，在历年高考中几乎都出现了，同样对于广大考生来说也是一个必须重点掌握的内容，那么我们要任何才能完全掌握这一类型的考题呢！下面我们把此类问题做归纳以下三种类型：类型一：简单→复杂即由最基本的xAysin（或者xAycos）的函数图像，如何平移到bxAy)sin(（或者bxAy)cos(）的函数图像。例11)32sin(xy的函数图像，需要由xysin如何平移的到？解：（方法一）由xysin先向右平移6得到)6sin(xy，再横向压缩到原来得到21倍得到)32sin(xy，再将图像向上平移1个单位，即得1)32sin(xy。（方法二）由xysin先横向压缩到原来的21倍得到xy2sin，再向右平移6得到)32sin(xy，再将图像向上平移1个单位，即得1)32sin(xy。例2.(2009山东卷理)将函数sin2yx的图象向左平移4个单位,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是().A.cos2yxB.22cosyxC.)42sin(1xyD.22sinyx【解析】:将函数sin2yx的图象向左平移4个单位,得到函数sin2()4yx即sin(2)cos22yxx的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为21cos22cosyxx,故选B.类型二：复杂→简单即由bxAy)sin(（或者bxAy)cos(）的函数图像，如何平移到xAysin（或者xAycos）的函数图像。例3、xysin的函数图像，需要由1)32sin(xy如何平移的到？方法就是例1中反方向平移，其中左移、右移相应的改为右移、左移，向上平移改为向下平移，压缩改为伸长。类型三：复杂→复杂即由bxAy)sin(（或者bxAy)cos(）的函数图像，如何平移到1111)sin(bxAy（或者1111)cos(bxAy）的函数图像。一、三角函数名称不变的函数平移（正弦→正弦，余弦→余弦）例4、将)3sin(xy的图像如何平移后的到)32sin(xy的图像。解：由)3sin(xy先横向压缩到原来的21倍得到)32sin(xy，再向右平移3得到)32sin(xy练习：（2006江苏）为了得到函数Rxxy),63sin(2的图像，只需把函数Rxxy,sin2的图像上所有的点（A）向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）（B）向右平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）（C）向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）（D）向右平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）二、三角函数名称改变的函数平移（余弦→正弦，正弦→余弦）例5、要得到Rxxy),62sin(的函数图像，需要将xy2cos的函数图像如何平移？解：化成同名三角函数（反诱导）))4(2sin()22sin(2cosxxxy，))34(2sin())12(2sin()62sin(xxxy所以将xy2cos向右平移3即得到Rxxy),62sin(。练习：1、要得到Rxxy),3cos(的函数图像，需要将xysin的函数图像如何平移？2、（2005天津理）要得到函数xycos2的图象，只需将函数)42sin(2xy的图象上所有的点的(A)横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8个单位长度(B)横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4个单位长度(C)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4个单位长度(D)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8个单位长度3、．（2004全国Ⅰ卷文、理）为了得到函数)62sin(xy的图象，可以将函数xy2cos的图象（）A．向右平移6个单位长度B．向右平移3个单位长度C．向左平移6个单位长度D．向左平移3个单位长度由复杂→复杂的变换步骤总结：\1、异名化同名（反诱导）→2、压缩→3、平移四、三角函数按向量平移例6、(2007湖北理科)将π2cos36xy的图象按向量π24，a平移，则平移后所得图象的解析式为（）Ａ．π2cos234xyＢ．π2cos234xyＣ．π2cos2312xyＤ．π2cos2312xy答案：Ａ练习：（2006安徽文、理）将函数sin(0)yx的图象按向量,06a平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（）A．sin()6yxB．sin()6yxC．sin(2)3yxD．sin(2)3yx小结：三角函数按向量的平移、平移、压缩公式）、同名化异名（反诱导数平移三角函数名称改变的函数平移三角函数名称不变的函复杂复杂过程互逆简单复杂复杂简单三角函数平移321