数学必修四1.4.2正弦余弦函数的性质(二)奇偶性和单调性

正弦函数和余弦函数的奇偶性和单调性xyOy=cosx，x∈Rx1Oyy=sinx，x∈R1.复习：（一）正弦函数和余弦函数的图像（二）正弦函数和余弦函数的性质(1)定义域正弦函数和余弦函数的定义域都是实数集R.•(2)值域：•正弦函数和余弦函数的值域都是[-1，1].，时取得最大值当且仅当正弦函数1,22sinZkkxxy.1,22时取得最小值当且仅当Zkkx，时取得最大值当且仅当余弦函数1,2cosZkkxxy.1,)12(时取得最小值当且仅当Zkkx(3)周期性：正弦函数和余弦函数都是周期函数，2k(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，最小正周期是2.•(4)正弦函数和余弦函数的奇偶性对于正弦函数y=sinx，x1Oyy=sinx，x∈R设(x，y)即(x，sinx)为y=sinx(xR)图像上任一点，它关于原点的对称点是(x，y)，也就是(x，sinx),而由诱导公式，sin(x)=sinx，所以，图象上任一点关于原点的对称点是(x，sin(x))，它也在y=sinx(xR)图象上.所以,正弦曲线关于原点对称.定义：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做这一定义域内的奇函数.奇函数的图象关于原点对称.所以，正弦函数是奇函数，其图像关于原点对称.•对于余弦函数y=cosx(xR),xyOy=cosx，x∈R设(x，y)即(x，cosx)为y=cosx(xR)图像上任一点，它关于y轴的对称点是(x，y)，也就是(x，cosx),而由诱导公式，cos(x)=cosx，所以，图象上任一点关于y轴的对称点是(x，cos(x)),它也在y=cosx(xR)的图象上.所以，余弦曲线关于y轴对称.定义：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做这一定义域内的偶函数.偶函数的图像关于y轴对称.所以，余弦函数是偶函数，其图像关于y轴对称.•定义：如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.•特别注意：（1）根据奇函数和偶函数的定义，如果一个函数是奇函数或偶函数，那么这个函数的定义域一定关于原点对称.反过来，如果函数的定义域关于原点不对称，那么这个函数就不具有奇偶性.•（2）我们知道，函数单调性是针对某个区间来说的，是函数的局部性质；而函数的奇偶性是对函数的整个定义域来说的，因而奇偶性是函数的整体性质.•判断函数奇偶性的方法：•先考察一下它的定义域，如果定义域关于原点不对称，则可得结论函数不具有奇偶性，如果定义域关于原点对称，再继续利用函数奇偶性的定义进行判断.•由上面的讨论，因为sin(x)=sinx，cos(x)=cosx，所以•正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.•所以，正弦曲线关于坐标原点O对称，余弦曲线关于y轴对称.•下面我们将验证正弦曲线和余弦曲线的对称性，请点击下面的按钮正、余弦曲线的对称性•(5)正弦函数和余弦函数的单调性•正弦函数的单调性x1Oyy=sinx，x∈R2223xsinx23202-1010-1y=sinx，(x∈R)增区间为其值由-1增大到1；减区间为其值由1减小到-1.,2,2,23,2Z)(22,22kkkZ)(223,22kkk余弦函数的单调性y=cosx，(x∈R)增区间为其值由-1增大到1；减区间为其值由1减小到-1.,0,,,0,Z)(2,)12(kkk,Z)()12(,2kkkxyOy=cosx，x∈Rxcosx202-1010-1.417cos523cos)2(;10sin18sin(1):001还是小于各式大于不通过求值，指出下列例例2求下列函数的单调区间：y=2sin(-x).)(22,22单调递减函数在Zkkk.)(223,22单调递增函数在答案：Zkkk例3求下列函数的单调区间：(1)y=3cos(2x-)4(2)y=-|sin(x+)|4；单调增区间为：答案)(],4,43[)2(Zkkk.)(,]4,4[Zkkk单调减区间为；单调增区间为)(]8,83[Zkkk.)(]85,8[Zkkk单调减区间为答案：(1)