经典易错题会诊与试题预测10

第1页经典易错题会诊与试题预测（十）考点10空间直线与平面►空间直线与平面的位置关系►空间角►空间距离►简单几何体►利用三垂线定理作二面角的平面角►求点到面的距离►折叠问题经典易错题会诊命题角度1空间直线与平面的位置关系1．（典型例题）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F.（1）证明：PA//平面EDB；（2）证明：BP⊥平面EFD；（3）求二面角C—PD—D的大小.[考场错解]第（2）问证明：∵PD=DC，E为PC的中点，∴DE⊥PC，∴DF在平面PBC上的射影为EF，又由已知EF⊥PB，所以根据三垂线定理可得：DF⊥PB，又EF⊥PB，∴PB⊥平面EFD。[专家把脉]直线在平面上的射影的概念理解错误，只有DE⊥PC，不能得出EF为DF在面PBC上的射影，应先证明DE⊥平面PBC，才能得出EF为DF在面PBC上的射影，再利用三垂线定理。[对症下药]（1）如图，连接AC、AC交BD于O，连接EO。∵底面ABCD为正方形，∴O为AC的中点，在△PAC中，EO是中位线，∴PA//EO，又EO平面EDB，且PA平面EDB，所以PA//平面EDB；（2）∵PD⊥平面ABCD，∴平面PDC⊥平面ABCD，又底面ABCD为正方形，∴BC⊥CD，∴BC⊥平面PCD，∴BC⊥DE，又DE⊥PC，∴DE⊥平面PBC，∴DF在平面PBC上的射影为EF，又EF⊥PB，∴DF⊥PB，又PB⊥EF，∴PB⊥平面DEF；（3）由（2）知，PB⊥DF，故∠EFD是二面角C—PB—D的平面角。由（2）知，DE⊥EF，PD⊥DB，设正方形ABCD的边长为a则PD=DC=a，BD=2a，PB=3a，PC=2a,DE=21PC=a22,在Rt△PDBk,OF=aPBBDPD36.在Rt△EFD中，sin∠EFD=23DFDE,∴∠EFD=.3所以二面角C—PB—D的大小为.32．（典型例题）下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥面MNP的图形的序号是_________.(写出所有符合要求的图形序号)[考场错解]由于l在MN、NP、MP所在的面内的射影分别为各面正方形的对角线，由正方形的性质第2页可得l⊥MN，l⊥MP，l⊥NP，∴（1）中l⊥面MNP；（2）中l在下底面的射影与MP垂直，∴l⊥MP，∴l⊥面MNP；（3）中取AB的中点E，连接ME、NE，∵l在下底面的射影垂直于EN，∴l⊥EN，∴l⊥面MEN，∴l⊥MN，同理l⊥MP，∴l⊥面MNP；（4）中l在面ADD1A1上的射影与MP垂直，∴l⊥MP，∴l⊥面MNP；（5）中取AA1中点E，连接ME，EP，l在面ADD1A1、面ABB1A1内的射影分别与ME，EP垂直，∴l⊥ME，∴l⊥面MP，得l⊥面MPN；综合知，本题的答案是（1）、（2）、（3）、（4）、（5）[专家把脉]直线与平面垂直的判定有误，证一条直线与一个面垂直，应该证明这条直线与该平面内的两条相交直线垂直，而错解中只证一条垂直，所以出错。[对症下药]（1）中l在面ADD1A、A1B1C1D1，内的射影分别为AD1，B1D1，而AD1⊥MN，B1D1⊥MP，∴l⊥MN，l⊥MP,∴l⊥面MNP；（2）中若l⊥MN,则取AA1的中点E，连接ME、NE，l在面ADD1A1内的射影为AD1而AD1⊥ME，∴l⊥ME，结合l⊥MN，得l⊥面MEN，∴l⊥NE,这显然不可能，∴l与MN不可能垂直，∴l与面MNP不垂直；（3）类似（2）的证明，可得l与面MNP不垂直；（4）中l⊥MP易证，而MN∥AC，l⊥AC，∴l⊥MN，∴l⊥面MNP；（5）中取AA1中点E，连接ME，PE，可证得l⊥面MEP，∴l⊥MP，同理可证l⊥NP，∴l⊥面MNP，综上知，本题的正答案是（1）、（4）、（5）。3．（典型例题）如图10-4所示，在正三棱锥A—BCD中，∠BAC=30°，AB=a，平行于AD、BC的截面EFGH分别交AB、BD、DC、CA于E、F、G、H。（1）判定四边形EFGH的形状，并说明理由；（2）设P是棱AD上的点，当AP为何值时，平面PBC⊥平面EFGH，请给出证明。[考场错解]（1）∵AD∥平面EFGH，又平面ACD平面EFGH=HG，∴AD∥HG，同理AD∥EF，∴EF∥HG，同理EH∥FG，∴四边形EFGH为平行四边形；（2）取AD中点P，连接BP、CP，∵ABCD为正棱锥，所以BP⊥AD，CP⊥AD，∴AD⊥面BCP，又由（1）知HG∥AD，∴HG⊥面BCP，∴P为所求，此时AP=2a.[专家把脉]正三棱锥的性质不熟悉而出错，正三棱锥的相对的棱互相垂直；正三棱锥的三个侧面是等腰三角形不是等边三角形。[对症下药]（1）∵AD∥面EFGH，面ACD面EFGH=HG，∴AD∥HG，同理EF∥AD，所以HG∥EF，同理EH∥FG，∴EFGH为平行四边形。又A—BCD为正三棱锥，∴A在底面BCD上的射影O是△BCD的中心，∴DO⊥BC，根据三垂线定理，AD⊥BC，∴HG⊥EH，四边形EFGH为矩形；（2）作CP⊥AD于P点，连接BP，∵AD⊥BC，∴AD⊥面BCP，∴HG∥AD，∴HG⊥面BCP，又HG面EFGH，∴面BCP⊥面EFGH，在Rt△APC中，∠CAP=30°，AC=a,∴AP=a23.专家会诊解线面位置关系的题目，首先要熟悉各种位置关系的判定方法及性质，其次解题时应将判定与性质结合起来，多用分析法，如要证a∥α则过a作一平面β，使βα=b，再证a∥b；第三要善于转化，如两条羿面直线是否垂直，要用三垂线定理将其转化为两相交直线是否垂直。线面的位置关系是立体几何的基础，学习时应予以重视。考场思维训练第3页1如图10-5所示的四个正方体图形中，A、B为正方体的四个项点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是____________.(写出所有符合要求的图形序号)答案：①③解析：①中平面MNP//平面AB，∴AB//平面MNP；②中取下底面中心O，MP的中点C，连接NO，NC，则由已知AB//NO，AB■NC．∴AB■面MNP；③中AB//MP,∴AB//平面MNP；④中AB■面MNP．∴填①③．2如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，E是棱BB1的中点。（1）求证：平面A1EC⊥平面AA1C1C；答案：连接A1C与AC1交于点F，则由条件可得EC1=EA1，则EF⊥AC1，同理EC1=EA，则EF⊥A1C所以EF上平面AA1C1C，而EF平面A1EC，所以平面A1EC⊥平面AA1C1C.（2）若把平面A1EC与平面A1B1C1所成锐二面角为60°时的正三棱柱称为“黄金棱柱”，请判断此三棱柱是否为“黄金棱柱”，并说明理由。答案：延长CE交C1B1的延长线于点H，则有C1B1=B1H=A1R1,故∠HA1C1=90°且∠CA1H=90°，所以∠CA1C为平面A1EC与平面A1B1C1所成的锐二面角的平面角，若此棱柱为“黄金棱柱”，则∠CA1=60°,应有CC1=113CA与条件AB=AA1矛盾．∴此三棱柱不为“黄金棱柱”．（3）设AB=a，求三棱锥A-A1EC的体积。答案：VA1-A1EC=VE-AA1C=31·EF·21·AA1·AC3已知正三棱锥P-ABC的三条侧棱两两互相垂直，G是侧面△PAB的重心，E是BC上的一点，且BE=31BC，F是PB上一点，且PF=31PB，如图（1）求证：GF⊥平面PBC；答案：连接BG并延长交AP于M，由C为APAB的重心，则MG=31BM，又由PF=，∴GF//MP∵AP⊥BP,AP⊥CP．∴AP⊥平面PBC，∴GF⊥平面PBC（2）求证：EF⊥BC；答案：在侧面PBC内作FD//PC交BC于D．∵PF=31PB,∴DC=31BC.又BE=31BC,∴DE=31BC.故BE=DE，E为BD的中点，由△PBC为等腰三角形，得△FBD也为等腰三角形．∴FB=FD．∴EF⊥BC．（3）求证：GE是异面直线PG与BC的公垂线。答案：∵GF⊥平面PBC，且EF⊥BC，∴GE⊥BC，连PG交AB于H，则GH=31PH，过C作GN//AB交PB于N，则BN=31PB．∵PH⊥AB，∴PG⊥AB，∴PG⊥GN．第4页∵BN=31PB，BE=31BC，∴NE//PC，而PC上平面PAB，∴NE⊥平面PAB，又PG面PAB，∴NE⊥PG，又PG⊥GN，∴PG⊥平面GEN，而GEC平面GEN．∴PG⊥GE，又由GE⊥BC，∴GE是异面直线PG与BC的公垂线．命题角度2空间角1．（典型例题）如图10-8，在三棱锥S—ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=23，M、N分别为AB、SB的中点。（1）证明：AC⊥SB；（2）求二面角N—CM—B的大小；（3）求点B到平面CMN的距离。[考场错解]第（2）问：过N作NF⊥CM，过F作FE⊥CM交BC于E点，则∠NFE为二面角N—CM—B的平面角。（此题只做到此处，因为不知E、F的位置，∠NFE等于多少计算不出来）。[专家把脉]求二面角的大小时，只顾用定义作出二面角的平面角，给计算千百万麻烦或根本就算不出来，所以一般用三垂线定理来作二面角的平面角，就是便于计算。[对症下药]（1）如图10-9，取AC中点D，连接SD，DB，∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SD，且AC⊥BD，∴AC⊥平面SDB。又SB平面SDB，∴AC⊥SB。（2）取BD的中点E，连接NE，过E作EF⊥CM于F，连续NF，∵平面SAC⊥平面ABCD，SD⊥AC，∴SD⊥面ABCD，又N、E分别为SB、BD的中点，∴NE∥SD，NE⊥面ABC，又EF⊥CM，∴NF⊥CM，∴∠NFE为二面角N—CM—B的平面角。NE=21SD=2，在正△ABC中，由平面几何知识可求得EF=41MB=21，在Rt△NEF中，tan∠NEF=22EFEN,∴二面角N—CMB的大小是arctan22；（3）在Rt△NEF中，NF=,2322ENEF∴S△CMN=21CM·NF=323，S△CMB=21BM·CM=23.设点B到平面CMN的距离为h,∵VB—CMN=VN-CMB,NE⊥平面CMB，∴31S△CMN·h=31S△CMB·NE，∴h=.324即点B到平面CMN的距离为324。2．（典型例题）在长方体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2，E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=FB=1。（1）求二面角C—DE—C1的正切值（2）求直线EC1与FD1所成角的余弦值。[考场错解]第（2）问：∵D1F∥DE，∴∠C1ED为EC1与FD1所成的角，DE=32，C1D=25，C1E=14，∴cos∠C1EE=,142823142201814∴EC1与FD1所成角的余弦值为1428。[专家把脉]缺少空间想象能力，题中的D1F与DE不平行，实际上D1F与DE是异面直第5页线。[对症下药]正解一：（1）如图过C作CG⊥DE，垂足为G，连接C1G。∵CC1⊥平面ABCD，∴CG是C1G在平面ABCD上的射影，由三垂线定理得DE⊥C1G。∴∠CGC1是二面角C—DE—C1的平面角。在△ADE中，AE=AD=3，∠DAE=90°，∴∠ADE=45°，得∠CDG=45°，∴CG=CD·sin∠CDG=2.2∴tan∠CGC1=.221CGCC∴二面角C—DE—C1的正切值为22（2）延长BA至点E1，使AE1=1，连接DE1有D1C1∥E1E，D1C1=E1E，∵四边形D1E1EC1是平行四边形。∴E1D1∥EC1，于是∠E1D1F为EC1与FD1所成的角。在Rt△BE1F中，E1F=26，在Rt△D1DE1中，D1E1=14，在Rt△D1DF中，FD1=24，所以在△E1FD1中，由余弦定理得：cos∠E1D1F=.142124142262414正