24.1.4 圆周角

一.复习引入:1.圆心角的定义?.OBC在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等。答:顶点在圆心的角叫圆心角2.上节课我们学习了一个反映圆心角、弧、弦三个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？∠ACB与∠AOB有何异同点？你知道∠ACB这一类的角名字吗？顶点在圆上，两边与圆相交的角,叫圆周角。圆周角的概念：BACO归纳：一个角是圆周角的条件：①顶点在圆上；②两边都和圆相交.顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角．试一试：什么叫做圆周角？你能找出下图中的圆周角吗？·ABCDEO练习一：判断下列各图中，哪些是圆周角，为什么？探究·CDABO同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．三、分别量一下图中所对的两个圆周角的度数，比较一下，再变动点C在圆周上的位置，圆周角的度数有没有变化？你能发现什么规律吗？再分别量出图中所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你什么发现？ABAB圆周角.gsp为了进一步探究上面的发现，如图在⊙O任取一个圆周角∠BAC，将圆对折，使折痕经过圆心O和∠BAC的顶点A．由于点A的位置的取法可能不同，这时折痕可能会:（1）在圆周角的一条边上；·COAB四、同弧所对圆周角与圆心角的关系BOCA21即∵OA=OC，∴∠A=∠C．又∠BOC=∠A+∠C∴∠BOC=2∠A结论：在同圆或等圆中,一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.（2）在圆周角的内部．圆心O在∠BAC的内部，作直径AD，利用（１）的结果，有12BADBOD12DACDOC1()2BADDACBODDOC12BACBOC·COABD结论：在同圆或等圆中,一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.（3）在圆周角的外部．12BADBOD12DACDOC1()2DACDABDOCDOB12BACBOC圆心O在∠BAC的外部，作直径AD，利用（１）的结果，有·COABD结论：在同圆或等圆中,一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.如图所示，∠ADB、∠ACB、∠AOB分别是什么角？它们有何共同点？∠ADB与∠ACB有什么关系？同弧所对的圆周角相等.(等弧)思考:相等的圆周角所对的弧相等吗?在同圆或等圆中圆周角定理:结论：在同圆或等圆中,一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对弧一定相等吗？为什么？在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等．六、1、如果∠A=44°,则∠BOC=____.如果∠BOC=44°,则∠A=____.如果∠A=35°,则∠BDC=____.OABCDABCO2、已知,⊙O的弦AB长等于圆的半径,求该弦所对的圆心角和圆周角的度数,OABC3、AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使AD=AB，如果∠ADB=35°，求∠BOC的度数。∠BOC=140°350700·ABC1OC2C3五、定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．定理半圆（或直径）所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径．推论1.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？ABCD12345678∠1=∠4∠5=∠8∠2=∠7∠3=∠6练习2.如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少种方法？与同学交流一下．DABCOOO方法一方法二方法三方法四练习3.如图，∠A是圆O的圆周角，∠A=40°，求∠OBC的度数。4,如图，已知圆心角∠AOB=100°,求圆周角∠ACB、∠ADB的度数？5,一条弦分圆为1：4两部分，求这弦所对的圆周角的度数？DAOCB6,已知：△ABC的三个顶点在⊙O上,∠BAC=50°,∠ABC=47°,求∠AOB．解：有题意知：∠A、∠B、∠C是圆周角，∠AOB是圆心角．又∵∠BAC=50°，∠ABC=47°∴∠ACB=180°-(∠A＋∠B)=180°-(50°＋47°)=83°．∴∠AOB＝2∠ACB＝2×83°＝166°.BACOAOBACB21又例如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．86102222ACABBC又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，221052(cm)22ADBDAB解：∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°．在Rt△ABC中，∵CD平分∠ACB，∴AD=BD..ACDBCD七、例题OABCD1.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.）·ABCO求证：△ABC为直角三角形.证明：CO=AB,12以AB为直径作⊙O，∵AO=BO，∴AO=BO=CO.∴点C在⊙O上.又∵AB为直径,∴∠ACB=×180°=90°.12已知：△ABC中，CO为AB边上的中线，12且CO=AB∴△ABC为直角三角形.练习练习:如图AB是⊙O的直径,C,D是圆上的两点,若∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿＿＿.ABOCD40°1、在⊙O中，∠CBD=30°,∠BDC=20°,求∠A1、在⊙O中，∠CBD=30°,∠BDC=20°,求∠A1.圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.3.在同圆(或等圆)中，同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等。2.半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°90°的圆周角所对的弦是圆的直径小结:如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形就叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆.·ABCDO如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形ABCD的外接圆。思考：∠A+∠C=?∠A+∠C=180°且∠ABC+∠ADC=180°结论：圆内接四边形的对角互补。能用圆周角定理证明你的结论吗？BAD连接OB、OD.同理∠B+∠D=180°又∵∴∠A+∠C==180°.证明：·ABCDO∵∠A所对的弧为，BCD∠C所对的弧为.BADBCDBAD和所对的圆心角的和是周角036021.如图,⊙O中,∠A0B=80º,则∠ACB=____.140ºAOCBD随堂练习小结:定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。利用圆周角定理解题应注意哪些问题？