2014届中考数学压轴题精讲：因动点产生的等腰三角形问题(含2013试题,含详解)

YDXSZX1.2因动点产生的等腰三角形问题例32012年临沂市中考第26题如图，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．YDXSZX1.2因动点产生的等腰三角形问题例32012年临沂市中考第26题（3）抛物线的对称轴是直线x＝2，设点P的坐标为(2,y)．①当OP＝OB＝4时，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得23y．当P在(2,23)时，B、O、P三点共线（如图1）．②当BP＝BO＝4时，BP2＝16．所以224(23)16y．解得1223yy．③当PB＝PO时，PB2＝PO2．所以22224(23)2yy．解得23y．综合①、②、③，点P的坐标为(2,23)，如图1所示．图1YDXSZX1.2因动点产生的等腰三角形问题例32012年临沂市中考第26题考点伸展如图2在本题中，设抛物线的顶点为D，那么△DOA与△OAB是两个相似的等腰三角形．由23323(4)(2)663yxxx，得抛物线的顶点为23(2,)3D．因此23tan3DOA．所以∠DOA＝30°，∠ODA＝120°．图2YDXSZX1.2因动点产生的等腰三角形问题例42013年上海市虹口区中考模拟第25题如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．（1）求ED、EC的长；（2）若BP＝2，求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．YDXSZX1.2因动点产生的等腰三角形问题例42013年上海市虹口区中考模拟第25题解：（1）在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，所以BC＝10．在Rt△CDE中，CD＝5，所以315tan544EDCDC，254EC．（2）如图1，过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，那么DM、DN是△ABC的两条中位线，DM＝4，DN＝3．由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN．因此△PDM∽△QDN．所以43PMDMQNDN．所以34QNPM，43PMQN．图1YDXSZX1.2因动点产生的等腰三角形问题例42013年上海市虹口区中考模拟第25题（2）①如图2，当BP＝2，P在BM上时，PM＝1．此时3344QNPM．所以319444CQCNQN．②如图3，当BP＝2，P在MB的延长线上时，PM＝5．此时31544QNPM．所以1531444CQCNQN．图2图3YDXSZX1.2因动点产生的等腰三角形问题例42013年上海市虹口区中考模拟第25题（3）如图4，如图，在Rt△PDQ中，3tan4QDDNQPDPDDM．在Rt△ABC中，3tan4BACCA．所以∠QPD＝∠C．由∠PDQ＝90°，∠CDE＝90°，可得∠PDF＝∠CDQ．因此△PDF∽△CDQ．当△PDF是等腰三角形时，△CDQ也是等腰三角形．①如图4，当CQ＝CD＝5时，QN＝CQ－CN＝5－4＝1．此时4433PMQN．所以45333BPBMPM．图4YDXSZX1.2因动点产生的等腰三角形问题图4例42013年上海市虹口区中考模拟第25题（3）②如图5，当QC＝QD时，由cosCHCCQ，可得5425258CQ．所以QN＝CN－CQ＝257488（如图所示）．此时4736PMQN．所以725366BPBMPM．③不存在DP＝DF的情况．这是因为∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ（如图4，图5所示）．图5YDXSZX1.2因动点产生的等腰三角形问题例42013年上海市虹口区中考模拟第25题考点伸展如图6，当△CDQ是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到△BDP也是等腰三角形，PB＝PD．在△BDP中可以直接求解256BP．图6