高三数学培优专题5-三角形中的最值(或范围)问题

高三数学培优专题5：三角形中的最值（或范围）问题解三角形问题，可以较好地考察三角函数的诱导公式，恒等变换，边角转化，正弦余弦定理等知识点，是三角，函数，解析几何和不等式的知识的交汇点，在高考中容易出综合题，其中，三角形中的最值问题又是一个重点。其实，这一部分的最值问题解决的方法一般有两种：一是建立目标函数后，利用三角函数的有界性来解决，二是也可以利用重要不等式来解决。类型一：建立目标函数后，利用三角函数有界性来解决例1．在△ABC中，,,abc分别是内角,,ABC的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC.(1)求角A的大小；（2）求sinsinBC的最大值.变式1：已知向量(,)macb，(,)nacba，且0mn，其中,,ABC是△ABC的内角，,,abc分别是角,,ABC的对边.(1)求角C的大小；（2）求sinsinAB的最大值.解：由mn()ac()()0acbba，得a2+b2—c2=ab=2abcosC所以cosC=21，从而C=60故sinsinsinsin(120)OABAA=3sin(60+A)所以当A=30时，sinsinAB的最大值是3变式2．已知半径为R的圆O的内接⊿ABC中，若有2R（sin2A—sin2C）=（2a—b）sinB成立，试求⊿ABC的面积S的最大值。解：根据题意得：2R(224Ra—224Rc)=(2a—b)*Rb2化简可得c2=a2+b2—2ab,由余弦定理可得：C=45,A+B=135S=21absinC=212RsinA*2RsinB*sinC=2sinAsin(135—A)=22R(2sin(2A+45)+1∵0A135∴452A+45315∴当2A+45＝90即A=15时，S取得最大值2212R＋。类型二：利用重要不等式来解决例2（13年重庆中学）在ABC中，角A,B,C的对边分别为cba,,且4,41cosaA.（1）若6cb，且bc，求cb,的值．（2）求ABC的面积的最大值。解（1）由余弦定理Abccbacos2222，∴bcbccb212)(162∴8bc，又∵,6cbbc，解方程组86bccb得4,2cb或2,4cb(舍)．∴4,2cb（2）由余弦定理Abccbacos2222，∴bccb211622∵bccb222∴332bc，又415sinA∴3154sin33221sin21AAbcSABC即cb时三角形最大面积为3154变式3．在⊿ABC中，角A,B,C的对边是a,b,c,⊿ABC的外接圆半径R=3,且BCcoscos＝BCAsinsinsin2—（1）求B和b的值；（2）求⊿ABC面积的最大值解：由已知BCcoscos＝BCAsinsinsin2—，整理可得：sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB即sin(B+C)=2sinAcosB∵A+B+C=π∴sinA=2sinAcosB∵sinA≠0∴cosB=21∴B=60。∵R=3,∴b=2RsinB=23sin60=3,故角B=60,边b=3由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB即9＝a2+c2-2accos60∴9＋ac=a2+c2≥2ac(当且仅当a=b时取等号)即ac=9(当且仅当a=b=3时取等号)∴三角形得面积s=21acsinB≤21*9*sin60=349∴三角形得面积的最大值是349变式4：⊿ABC中，若AB=1,BC=2,则角C的取值范围是答案：解法1.由a=2,c=1,∴a=2c∴2sinA=4sinC∴sinC=21sinA≤21∵0CA∴0C≤30解法2.cosC=abcba2222－＋=bb4142－＋=41(b+b3)≥23,故0C≤30