黄金椭圆及黄金双曲线的几个性质

高中版高中版2014年7月众所周知，5摇姨-12称为黄金分割数，亦可简称黄金数.何为黄金椭圆与黄金双曲线？离心率等于黄金数的椭圆叫做黄金椭圆，离心率等于黄金数的倒数的双曲线叫做黄金双曲线.黄金椭圆与黄金双曲线有一些十分有趣的性质.性质1：黄金椭圆的短轴是长轴与焦距的等比中项.性质2：黄金双曲线的虚轴是实轴与焦距的等比中项.性质1与性质2的证明相仿，这里仅证明性质1.证明：设黄金椭圆的方程为x2a2+y2b2=1（ab0），离心率为e.因为e=5摇姨-12，所以e2+e-1=0，故b2=a2-c2=a2（1-e2）=a2·e=ac.性质1证完.性质3：过黄金椭圆两焦点作长轴的垂线，与椭圆交于四点，顺次连接这四点所得的四边形是正方形.性质4：过黄金双曲线两焦点作实轴的垂线，与双曲线交于四点，顺次连接这四点所得的四边形是正方形.性质3与性质4的证明相仿，此处仅证明性质4.证明：设F1（-c，0）、F2（c，0）是黄金双曲线x2a2-y2b2=1（a0，b0）的左、右焦点，过F2作直线l垂直于x轴，与双曲线交于C、D两点.不失一般性，设D点在x轴上方，易得Dc，b2a姨姨.欲证结论成立，也就是要证明b2a=c.由性质2有b2a=c.性质4证完.性质5：顺次连接椭圆四个顶点所得的四边形是一个菱形.以黄金椭圆的中心为圆心，半焦距长为半径的圆正好是这个菱形的内切圆.性质6：顺次连接双曲线的虚顶点和焦点的四边形也是一个菱形.以黄金双曲线的中心为圆心，半实轴长为半径的圆也恰好是此菱形的内切圆.这里仅证性质5.证明：设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1（ab0），则椭圆的四个顶点顺次为A（a，0）、B（0，b）、C（-a，0）、D（0，-b），焦点为F1（-c，0）、F2（c，0）.由题意得e=ca=5摇姨-12，则a=5摇姨+12c.b=a2-c2摇姨=5姨+12姨姨2c2-c2姨=5姨+12姨c.由椭圆的对称性，欲证结论成立，只需证明椭圆中心（0，0）到直线AB的距离等于c即可.直线AB的方程为xa+yb=1，即bx+ay-ab=0，故（0，0）到直线AB的距离d=aba2+b2摇姨=5姨+12c·5姨+12姨c5姨+12姨姨2c2+5姨+12c2姨=5摇姨+12姨姨32·c5摇姨+12姨姨125姨+12+1姨=c.性质5证完.过曲线上一点的切线的垂线称为曲线上这一点的法线.性质7：过黄金椭圆上异于其顶点的任一点P作椭圆的法线l，分别连接点P与椭圆的两焦点，得直线l1、l2，l与椭圆短轴所在直线交于M，过M作平行于椭圆长轴的直线，与l1、l2分别交于D1、D2，则D1、D2之间的距离恰好与椭圆的长轴相等.性质8：过黄金双曲线上异于其顶点的任一点P作双曲线的法线l，分别连接点P与双曲线的两焦点，得直线l1、l2，l与双曲线虚轴所在直线交于M，过M作平行于双曲线实轴的直线，与l1、l2分别交于D1、D2，则D1、D2之间的距离恰好与双曲线的实轴相等.此处仅证性质8.证明：设黄金双曲线的方程为x2a2-y2b2=1（a0，b0），黄金椭圆及黄金双曲线的几个性质筅江苏省如皋市第二中学王晓红数坛在线教育纵横53高中版高中版2014年7月F1（-c，0）、F2（c，0），再设P（x0，y0）.因为双曲线过P点的切线的斜率为b2x0a2y0，而双曲线过P点的切线与法线相互垂直，故法线l的斜率为-a2y0b2x0，所以l的方程为y-y0=-a2y0b2x0（x-x0）.令x=0，得点M0，c2y0b2.而直线l1的方程可令其为y-y0=y0x0+c（x-x0），与过M且与x轴平行的直线方程y=c2y0b2联立，解之，得点D1a2（x0+c）b2+x0，c2y0b2.同理，点D2a2（x0-c）b2+x0，c2y0b2.|D1D2|=2a2cb2=2a·acb2.由性质2得|D1D2|=2a.性质8证完.性质9：设F1、F2是黄金椭圆C1与黄金双曲线C2的公共焦点，A是C1、C2的一个公共点，若令∠F1AF2=α，则tanα=2.证明：设C1、C2的方程分别是x2a2+y2b2=1及x2a′2-y2b′2=1，F1（-c，0）、F2（c，0），不失一般性，可设A在第一象限，则由椭圆、双曲线的定义，可得|AF1|+|AF2|=2a，|AF1|-|AF2|=2a′，所以|AF1|=a+a′，|AF2|=a-a′.|F1F2|=2c.由余弦定理，可得cosα=|AF1|2+|AF2|2-|F1F2|22|AF1||AF2|=（a+a′）2+（a-a′）2-（2c）22（a+a′）（a-a′）=a2+a′2-2c2a2-a′2=ac2+a′c2-2ac2-a′c2.设C1、C2的离心率分别为e1、e2，则cosα=e21+e22-2e21e22e22-e21由题意得e1=5摇姨-12，e2=5摇姨+12，代入上式，得cosα=15摇姨.所以tanα=2.性质9证完.若椭圆C1的顶点是双曲线C2的焦点，而双曲线C2的顶点又恰是椭圆C1的焦点，则称椭圆C1与双曲线C2焦顶点互置.性质10：若黄金椭圆C1与双曲线C2焦顶点互置，椭圆C1的焦点为F1、F2，双曲线C2的焦点为F1′、F2′，A为C1、C2的一个公共点，设∠F1AF2=α，∠F1′AF2′=β，则cosα·cosβ=-111.证明：设椭圆C1的方程为x2a2+y2b2=1（ab0），F1（-c，0）、F2（c，0）.由题意知双曲线C2的方程为x2c2-y2b2=1.联立C1、C2的方程，解之，得x=±2摇姨aca2+c2摇姨，y=±b2a2+c2摇姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨.不失一般性，可设A在第一象限，所以点A2摇姨aca2+c2摇姨，b2a2+c2摇姨.|AF1′|=2姨aca2+c2姨+a2+b2a2+c2姨2姨=1a2+c2摇姨（2摇姨c+a2+c2摇姨）2a2+b4摇姨.同理，|AF2′|=1a2+c2摇姨（2摇姨c-a2+c2摇姨）2a2+b4摇姨.|F1′F2′|=2a.|AF1′|2+|AF2′|2-|F1′F2′|2=2c2（c2-a2）a2+c2.|AF1′|·|AF2′|=（a2-c2）（2a2+c2）a2+c2.cosβ=|AF1′|2+|AF2′|2-|F1′F2′|22|AF1′||AF2′|=-c22a2+c2.设C1的离心率为e1，则cosβ=-e21e21+2.同理，若设C2的离心率为e2，则cosα=e22e22+2.cosα·cosβ=-e21e22（e21+2）（e22+2）.易证若C1为黄金椭圆，则C2必为黄金双曲线.则e1=5摇姨-12，e2=5摇姨+12.所以cosα·cosβ=-111.性质10证完.黄金椭圆与黄金双曲线，令人着迷的曲线，一定还有未被人们发现的神奇性质，请有兴趣的读者继续探究吧.WG数坛在线教育纵横54