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当前位置:首页 > 中学教育 > 高中教育 > 2014届高三数学(理)一轮专题复习 指数函数及其性质(一)
2.1.2(一)2.1.2指数函数及其性质(一)【学习要求】1.了解指数函数模型的实际背景,理解指数函数的概念,掌握指数函数的图象;2.初步学会运用指数函数解决问题.【学法指导】通过了解指数函数模型的实际背景,认识数学与现实生活及其他学科的联系;通过展示函数图象,用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.1.2(一)填一填·知识要点、记下疑难点1.指数函数的概念一般地,叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域是.函数y=ax(a0,且a≠1)R本课时栏目开关填一填研一研练一练2.1.2(一)填一填·知识要点、记下疑难点2.指数函数y=ax(a0,且a≠1)的图象和性质a10a1图象定义域R值域(0,+∞)过定点过点,即x=时,y=函数值的变化当x0时,;当x0时,.当x0时,;当x0时,.性质单调性是R上的是R上的(0,1)01y10y1y10y1增函数减函数本课时栏目开关填一填研一研练一练2.1.2(一)研一研·问题探究、课堂更高效问题情境:印度的舍罕国王打算重赏国际象棋的发明人.这位聪明的大臣说:“陛下,请你在这张棋盘的第一个小格内,赏给我一粒麦子,在第二个小格内给两粒,在第三个小格内给四粒,照这样下去,每一小格内都比前一小格加一倍.直到摆满棋盘上64格”,国王说:“你的要求不高,会如愿以偿的”.于是,下令把一袋麦子拿到宝座前,计算麦粒的工作开始了.还没到第二十小格,袋子已经空了,一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来,但是,麦粒数一格接一格地增长得那样迅速,很快看出,即使拿出来全印度的粮食,国王也兑现不了他对象棋发明人许下的诺言.想一想,共需要多少粒麦子?本课时栏目开关填一填研一研练一练2.1.2(一)研一研·问题探究、课堂更高效探究点一指数函数的概念问题1在教材2.1的开头有两个问题,问题(1)中时间x与GDP值的关系y=1.073x(x∈N*,x≤20)与问题(2)中时间t与碳14含量P的对应关系P=,请问这两个函数有什么共同特征?答把P=变成P=,从而得出这两个关系式中的底数是一个正数,自变量为指数.573012t()1573012t()573012t()本课时栏目开关填一填研一研练一练2.1.2(一)研一研·问题探究、课堂更高效问题2在两问题关系式中,如果用字母a代替P=和1.073,那么以上两个函数的解析式都可以表示成什么形式?1573012()答表示成y=ax的形式,其中自变量x是指数,底数a是一个大于0且不等于1的常量.小结指数函数的定义:一般地,函数y=ax(a0,且a≠1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.1.2(一)研一研·问题探究、课堂更高效问题3指数函数定义中为什么规定了a0且a≠1?答将a如数轴所示分为:a0,a=0,0a1,a=1和a1五部分进行讨论:(1)如果a0比如y=(-4)x,这时对于x=14,x=12等,在实数范围内函数值不存在;(2)如果a=0,当x0时,ax恒等于0,当x≤0时,ax无意义.(3)如果a=1,y=1x=1,是个常数函数,没有研究的必要;(4)如果0a1或a1,即a0且a≠1,x可以是任意实数.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.1.2(一)研一研·问题探究、课堂更高效例1在下列的关系式中,哪些是指数函数,为什么?(1)y=2x+2;(2)y=(-2)x;(3)y=-2x;(4)y=πx;(5)y=x2;(6)y=(a-1)x(a1,且a≠2).解只有(4),(6)是指数函数,因它们满足指数函数的定义;(1)中解析式可变形为y=2x·22=4·2x,不满足指数函数的形式;(2)中底数为负,所以不是;(3)中解析式中多一负号,所以不是;(5)中指数为常数,所以不是;(6)中令b=a-1,则y=bx,b0且b≠1,所以是.小结根据指数函数的定义,a是一个常数,ax的系数为1,且a1,a≠1.指数位置是x,其系数也为1,凡是不符合这个要求的都不是指数函数.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.1.2(一)研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练1指出下列函数哪些是指数函数:(1)y=4x;(2)y=x4;(3)y=(-4)x;(4)y=xx;(5)y=(2a-1)xa12,且a≠1.解(1)、(5)为指数函数;(2)自变量在底数上,所以不是;(3)底数-40,所以不是;(4)底数x不是常数,所以不是.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.1.2(一)研一研·问题探究、课堂更高效探究点二指数函数y=ax(a0,且a≠1)的图象与性质导引分别用在同一坐标系内画出y=2x与y=(12)x的图象及y=3x与y=(13)x的图象,如何通过观察具体的指数函数的图象,归纳、抽象出y=ax(a>0,且a≠1)的图象与性质.问题1图象分布在哪几个象限?这说明了什么?答图象分布在第一、二象限,说明值域为{y|y0}.本课时栏目开关填一填研一研练一练动画展示2.1.2(一)研一研·问题探究、课堂更高效问题2猜想图象的上升、下降与底数a有怎样的关系?对应的函数的单调性如何?答它们的图象都在x轴上方,向上无限伸展,向下无限接近于x轴;当底数大于1时图象上升,为增函数;当底数大于0小于1时图象下降,为减函数.问题3图象过哪些特殊的点?这与底数的大小有关系吗?答不论底数a1还是0a1,图象都过定点(0,1).问题4函数y=2x与y=12x的图象及函数y=3x与y=(13)x的图象有什么关系?答通过图象看出y=2x与y=12x的图象关于y轴对称,y=3x与y=13x的图象也关于y轴对称.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.1.2(一)研一研·问题探究、课堂更高效问题5你能根据具体函数的图象抽象出指数函数y=ax的哪些性质?(定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性)答定义域为R,值域为{y|y0},过(0,1)点,a1时为增函数,0a1时为减函数,没有最值,既不是奇函数也不是偶函数.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.1.2(一)研一研·问题探究、课堂更高效例2已知指数函数f(x)=ax(a0且a≠1)的图象过点(3,π),求f(0),f(1),f(-3)的值.解将点(3,π),代入f(x)=ax,得到f(3)=π,即a3=π,解得:a=,13于是f(x)=,3x所以f(0)=π0=1,f(1)==3π,13f(-3)=π-1=1π.小结要求指数函数f(x)=ax(a0且a≠1)的解析式,只需要求出a的值,要求a的值,只需一个已知条件即可.跟踪训练2已知指数函数y=(2b-3)ax经过点(1,2),求a,b的值.解由于函数y=(2b-3)ax是指数函数,所以2b-3=1,即b=2.将点(1,2)代入y=ax,得a=2.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.1.2(一)研一研·问题探究、课堂更高效例3求下列函数的定义域与值域:(1)y=;(2)y=23-|x|;(3)y=4x+2x+1+1.142x解(1)令x-4≠0,得x≠4.∴定义域为{x|x∈R,且x≠4}.∵1x-4≠0,∴≠1,∴y=的值域为{y|y0,且y≠1}.142x142x(2)定义域为x∈R.∵|x|≥0,∴y=23-|x|=32|x|≥320=1,故y=23-|x|的值域为{y|y≥1}.(3)定义域为x∈R.由y=4x+2x+1+1=(2x)2+2·2x+1=(2x+1)2,且2x0,∴y1.故y=4x+2x+1+1的值域为{y|y1}.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.1.2(一)研一研·问题探究、课堂更高效小结函数y=af(x)(a0且a≠1)与函数f(x)的定义域相同,求与指数函数有关的函数的值域时,要达到指数函数本身的要求,并利用好指数函数的单调性.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.1.2(一)研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练3求下列函数的定义域、值域:(1)y=;(2)y=.110.3x513x解(1)由x-1≠0得x≠1,所以函数定义域为{x|x≠1}.由1x-1≠0得y≠1,所以函数值域为{y|y0且y≠1}.(2)由5x-1≥0得x≥15,所以函数定义域为{x|x≥15}.由5x-1≥0得y≥1,所以函数值域为{y|y≥1}.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.1.2(一)练一练·当堂检测、目标达成落实处1.下列各函数中,是指数函数的是()A.y=(-3)xB.y=-3xC.y=3x-1D.y=13x解析只有y=13x符合指数函数y=ax(a>0且a≠1)的形式.D2.函数f(x)=1-2x的定义域是()A.(-∞,0]B.[0,+∞)C.(-∞,0)D.(-∞,+∞)解析由1-2x≥0得2x≤1,根据y=2x的图象可得x≤0,选A.A本课时栏目开关填一填研一研练一练2.1.2(一)练一练·当堂检测、目标达成落实处3.数f(x)=xax|x|(a>1)的图象的大致形状是()解析当x>0时,f(x)=ax,由于a>1,函数是增函数;当x<0时,f(x)=-ax,与f(x)=ax(x<0)关于x轴对称,只有选项C符合.C本课时栏目开关填一填研一研练一练2.1.2(一)练一练·当堂检测、目标达成落实处1.判断一个函数是否是指数函数,关键是看解析式是否符合y=ax(a>0且a≠1)这一结构形式,即ax的系数是1,指数是x且系数为1.2.指数函数y=ax(a>0且a≠1)的性质分底数a>1,0<a<1两种情况,但不论哪种情况,指数函数都是单调的.本课时栏目开关填一填研一研练一练2.1.2(一)练一练·当堂检测、目标达成落实处3.由于指数函数y=ax(a0且a≠1)的定义域为R,即x∈R,所以函数y=af(x)(a>0且a≠1)与函数f(x)的定义域相同.4.求函数y=af(x)(a>0且a≠1)的值域的方法如下:(1)换元,令t=f(x),并求出函数t=f(x)的定义域;(2)求t=f(x)的值域t∈M;(3)利用y=at的单调性求y=at在t∈M上的值域.本课时栏目开关填一填研一研练一练
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