2014届高三数学(理)第一轮《函数y=Asinωx+φ的图象及简单三角函数模型的应用》

3．6函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及简单三角函数模型的应用考纲点击1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.考点梳理1.y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点．如下表所示.x－φωπ2－φωπ－φω3π2－φω2π－φωωx＋φ④______⑤______⑥______⑦______⑧______y＝Asin(ωx＋φ)0A0－A03.函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的步骤答案：①2πω②1T③ω2π④0⑤π2⑥π⑦32π⑧2π⑨|φ|⑩1ω⑪A⑫1ω⑬|φω|⑭A考点自测1.已知函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)在区间[0,2π]的图象如下：那么ω＝()A．1B．2C.12D.13解析：由图象可知，函数周期T＝π，ω＝2πT＝2，故选B.答案：B2．要得到函数y＝sin2x－π3的图象，只需将y＝sin2x的图象()A．向右平移π6个单位B．向左平移π6个单位C．向右平移π3个单位D．向左平移π3个单位解析：∵y＝sin2x－π3＝sin2x－π6∴向右平移π6个单位．故选A.答案：A3．若动直线x＝a与函数f(x)＝sinx和g(x)＝cosx的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为()A．1B.2C.3D．2解析：|MN|＝|sinα－cosα|＝|2sina－π4|，∴|MN|max＝2，故选B.答案：B4．把函数y＝sin2x＋π4的图象向右平移π8个单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的12，则所得图象的解析式为__________．解析：将y＝sin2x＋π4的图象向右平移π8个单位，得：y＝sin2x－π8＋π4，即y＝sin2x的图象，再将y＝sin2x的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，就得到函数y＝sin4x的图象．答案：y＝sin4x5．将函数y＝sin(ωx＋φ)π2＜φ＜π的图象，仅向右平移4π3.或仅向左平移2π3，所得到的函数图象均关于原点对称，则ω＝__________.解析：注意到函数的对称轴之间距离是函数周期的一半，即有T2＝4π3－－2π3＝2π，T＝4π，即2πω＝4π，ω＝12.答案：12疑点清源1.作图时应注意的两点(1)作函数的图象时，首先要确定函数的定义域．(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象．2．图象变换的两种方法的区别由y＝sinx的图象，利用图象变换作函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)(x∈R)的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时原图象沿x轴的伸缩量的区别．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位，而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是|φ|ω个单位．为什么会有这个区别呢？其原因是，我们所说的平移多少(即平移量)是相对于x来说的，与x的系数ω无关，因而应写成y＝Asinωx＋φω＋B的形式．故平移量为|φ|ω个单位.题型探究题型一作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象例1已知函数y＝2sin2x＋π3，(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y＝2sin2x＋π3的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变换而得到．解析：(1)y＝2sin2x＋π3的振幅A＝2，周期T＝2π2＝π，初相φ＝π3.(2)令x′＝2x＋π3，则y＝2sin2x＋π3＝2sinx′.列表：x－π6π12π37π125π6x′0π2π3π22πy＝sinx′010－10y＝2sin2x＋π3020－20描点连线得函数图象：(3)把y＝sinx的图象上所有的点向左平移π3个单位，得到y＝sinx＋π3的图象，再把y＝sinx＋π3的图象上的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y＝sin2x＋π3的图象，最后把y＝sin2x＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin2x＋π3的图象．点评：①作三角函数图象的基本方法就是五点法，此法注意在作出一个周期上的简图后，应向两端伸展一下，以示整个定义域上的图象；②变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx＋φ＝ωx＋φω来确定平移单位．变式探究1已知函数y＝3sin12x－π4.(1)用五点法作出函数的图象；(2)说明此图象是由y＝sinx的图象经过怎么样的变化得到的；(3)求此函数的振幅、周期和初相；(4)求此函数图象的对称轴方程、对称中心．解析：(1)列表：xπ232π52π72π92π12x－π40π2π32π2π3sin12x－π4030－30描点、连线，如图所示：(2)方法一：“先平移，后伸缩”．先把y＝sinx的图象上所有点向右平移π4个单位，得到y＝sinx－π4的图象；再把y＝sinx－π4的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin12x－π4的图象，最后将y＝sin12x－π4的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y＝3sin12x－π4的图象．方法二：“先伸缩，后平移”先把y＝sinx的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin12x的图象；再把y＝sin12x图象上所有的点向右平移π2个单位，得到y＝sin12x－π2＝sinx2－π4的图象，最后将y＝sinx2－π4的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y＝3sin12x－π4的图象．(3)周期T＝2πω＝2π12＝4π，振幅A＝3，初相φ＝－π4.(4)令12x－π4＝π2＋kπ(k∈Z)，得x＝2kπ＋32π(k∈Z)，此为对称轴方程．令12x－π4＝kπ(k∈Z)得x＝π2＋2kπ(k∈Z)．对称中心为2kπ＋π2，0(k∈Z).题型二由图象确定解析式例2如图为y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一段，求其解析式．解析：方法一：以N为第一个零点，则A＝－3，T＝25π6－π3＝π，∴ω＝2，此时解析式为y＝－3sin(2x＋φ)．∵点N－π6，0，∴－π6×2＋φ＝0，∴φ＝π3，所求解析式为y＝－3sin2x＋π3.①方法二：由图象知A＝3，以Mπ3，0为第一个零点，P5π6，0为第二个零点．列方程组ω·π3＋φ＝0，ω·5π6＋φ＝π，解之得ω＝2，φ＝－2π3.∴所求解析式为y＝3sin2x－2π3.②点评：(1)首先确定A.若以N为五点法作图中的第一个零点，由于此时曲线是先下降后上升(类似于y＝－sinx的图象)，所以A＜0；若以M点为第一个零点，由于此时曲线是先上升后下降(类似于y＝sinx的图象)，所以A＞0.而ω＝2πT，φ可由相位来确定．(2)根据y＝Asin(ωx＋φ)＋k的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：①A的确定：根据图象的最高点和最低点，即A＝最高点－最低点2；②k的确定：根据图象的最高点和最低点，即k＝最高点＋最低点2；③ω的确定：结合图象，先求出周期T，然后由T＝2πω(ω＞0)来确定ω；④φ的确定：由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k最开始与x轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－φω(即令ωx＋φ＝0，x＝－φω)确定φ.变式探究2已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(|φ|＜π2，ω＞0)的图象的一部分如图所示．(1)求f(x)的表达式；(2)试写出f(x)的对称轴方程．解析：(1)观察图象可知：A＝2且点(0,1)在图象上，∴1＝2sin(ω·0＋φ)，即sinφ＝12.∵|φ|＜π2，∴φ＝π6，又∵1112π是函数的一个零点，且是图象递增穿过x轴形成的零点，∴11π12ω＋π6＝2π，∴ω＝2.∴f(x)＝2sin2x＋π6.(2)设2x＋π6＝A，则函数y＝2sinA的对称轴方程为A＝π2＋kπ，k∈Z，即2x＋π6＝π2＋kπ(k∈Z)，解上式得x＝kπ2＋π6(k∈Z)，∴f(x)＝2sin2x＋π6的对称轴方程为x＝kπ2＋π6(k∈Z).题型三函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质例3已知函数f(x)＝12sin2xsinφ＋cos2xcosφ－12sinπ2＋φ(0＜φ＜π)，其图象过点π6，12.(1)求φ的值；(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在0，π4上的最大值和最小值．解析：(1)∵f(x)的图象过点π6，12，∴12＝12sinπ3sinφ＋cos2π6cosφ－12sinπ2＋φ.化简32sinφ＋12cosφ＝1，即sinφ＋π6＝1.∵0＜φ＜π，∴π6＜φ＋π6＜7π6，因此φ＝π3.(2)由(1)知f(x)＝34sin2x＋12cos2x－14＝34sin2x＋14cos2x＝12sin2x＋π6.将f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，得函数y＝g(x)的图象．∴g(x)＝12sin4x＋π6.∵0≤x≤π4，∴π6≤4x＋π6≤76π.因此当4x＋π6＝π2时，g(x)有最大值12；当4x＋π6＝76π时，g(x)有最小值－14.故g(x)的最大、最小值分别为12与－14.点评：①解决此类问题时，一般先将函数解析式化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后在此基础上把ωx＋φ看作一个整体，结合题目要求进行求解．②解决图象变换问题时，要分清变换的对象及平移(伸缩)的大小，避免出现错误．变式探究3已知函数f(x)＝sinx2cosx2＋cos2x2－2.(1)将函数f(x)化简成Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，φ∈[0,2π))的形式，并指出f(x)的周期；(2)求函数f(x)在π，17π12上的最大值和最小值．解析：(1)f(x)＝12sinx＋1＋cosx2－2＝12(sinx＋cosx)－32＝22sinx＋π4－32，故f(x)的周期为2kπ(k∈Z且k≠0)．(2)由π≤x≤1712π，得54π≤x＋π4≤53π，因为f(x)＝22sinx＋π4－32在π，5π4上是减函数，在5π4，17π12上是增函数，故当x＝5π4时，f(x)有最小值－3＋22；而f(π)＝－2，f1712π＝－6＋64＜－2，所以当x＝π时x有最大值－2.题型四函数y＝Asin(ωx＋φ)模型的应用例4如图为一个观光缆车示意图，该缆车半径为4.8米，圆上最低点与地面距离为0.8米，每60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面的距离是h.(1)求h与θ间的函数关系式；(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的时间．解析：(1)过O作地面平行线ON，过点B作ON的垂线BM交ON于M点(如图)，当θ＞π2，∠BOM＝θ－π2，h＝|