泛函分析答案(完整版)

11.}{.1的极限是唯一的中的收敛列证明距离空间nxX*.**0*)**,()(0*)*,(*),(*)**,(0)(***xxxxnxxxxxxnxxxxnnnn==∞→→+≤≤∞→→→，即所以，则，设ρρρρ第七章距离空间、赋范线性空间2.*}{*}{.2xxXxxXnn的任一子列收敛于收敛于中的序列试证距离空间⇔∈.*0*),(0*),(}{}{)(*xxxxxxxxnxxkkknnnnnn→→→∞→→，所以，故的任一子列，依条件，是，设ρρ.*}{.*}{*),(}{}{*),(0*}{*}{000xxxxxxxxxxNnNxxxxnnnnnnnnkkk收敛于此与假设矛盾，故不收敛于显然使的一个子列，于是可选取，使，都存在，使对任意的自然数则必存在，不收敛于，如果的任一子列收敛于反之，设ερερε≥≥3),(),(|),(),(|)ii(),(|),(),(|)i(.3wzyxwyzxyxzyzxXwzyxρρρρρρρ+≤−≤−：中的任意四个点，证明是距离空间、、、设),(|),(),(|)2()1()2(),(),(),(),(),(),()1(),(),(),(),(),(),()i(yxzyzxyxzxzyzxxyzyyxzyzxzyyxzxρρρρρρρρρρρρρρρ≤−≤−+≤≤−+≤即得：、结合得再由得由),(),(|),(),(|)4()3()4(),(),(),(),(),(),(),(),()3(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),()ii(wzyxwyzxwzyxzxwywzzxxywywzyxwyzxzwwyyxzyyxzxρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρ+≤−+≤−++≤+≤−++≤+≤即得：、结合得再由得由4距离吗？是定义在实数集合上的2)(),(.4yxyx−=ρ.,24120),(),(),(),(.)(),(2上式就不成立时，，，比如取满足、、不能对所有的因为的距离不是定义在实数集合上===+≤⋅⋅−=zyxyzzxyxzyxyxyxρρρρρ.),(}{}{.5收敛中的基本列，证明是距离空间、设nnnnnyxXyxρα=.Cauchy}{),(),(|),(),(|||),(0),(),(0),(数列，故收敛是即知再由依条件：nmnmnmmnnmnmnmnyyxxyxyxmnyymnxxαρρρρααρρ+≤−=−∞→→∞→→5的闭包是闭集。中的任一集合试证距离空间X.6A.,''0)',(')),,(,2min(),'(''',2),(,0'是闭集所以即，故是任意的，，因且所以且，使于是有，，则必如果，因为且，存在，则对任意设AAAAAxxxxxxxxxxxAxAxAxAxxxxxAxAx⊂⊂∈≠≠∈∈∉∈≠∈∈εερρερερεεεεεεεεεε6是闭集。是开集，，试证：，是距离空间，设}),(|{}),(|{0XX.7ερερε≤∈=∈=⊂AxXxFAxXxGA.)2,(.)(21),(),(),()2,(),()i(0000000000是开集，故所以时，，则当，令，则设GGxBAxxyAyxByAxGx⊂+−+≤∈−==∈δεεεερρρδεεδερε.),(1),()',(),(),(1)',('')ii(0000000是闭集，所以，故即得令，则，满足，取对每个，，，则存在设FFxAxnnxxxxxxAxnxxAxnxxFxFxnnnnnnnnn∈≤∞→+++≤+∈→∈∈ερερρρρερ27.),(1),(),(~),(.8上元素间的距离也定义了上的距离，则是距离空间设XyxyxyxXyxρρρρ+=.),(~),(~),(~),(1),(),(1),(),(),(1),(),(),(1),(),(),(111),(111),(1),(),(~),(),(),(iii)),(~),(~ii)0),(~0),(~i)上的距离也定义了所以，则，，设＝＝，且由定义显然有：XyzzxyzyzzxzxyzzxyzyzzxzxyzzxyxyxyxyxyzzxyxXzyxxyyxyxyxyx⋅⋅+=+++≤+++++=++−≤+−=+=+≤∈=⇔≥ρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρ8..9完备的试证任一离散空间必是..0),(,1),(,}{10),(NnNnmnmnnxxxxNnxxNmnxxNmnNXxyxyxyxX→=≥≥≥⎩⎨⎧≠==，故时，即当＝时，，从而当时，使当中任一基本列，则存在是当当是离散空间，设ρρρ9.1)(0)()(1)(0)(.10=⇒∈=⇒∈∈∀≤≤xfBxxfAxXxxfxfXBAXBAX，且，满足：上的连续泛函试证必有定义在全空间不相交，、中闭集，且是、是距离空间，设.)()()(0),(),(),(),(),(),(.1)(0)(1)(0)(),(),(),()(0),(),(上连续泛函是，所以故有，且，时，此外，当，且显然满足：，作函数中至少有一个不等于、，任一且是不相交的闭集，故对、因为XxfxfxfBxAxBxBxAxAxXxxxfBxxfAxXxxfxfBxAxAxxfBxAxXxBAnnnn→+→→∈→=⇒∈=⇒∈∈∀≤≤+=∈ρρρρρρρρρρρ10)()(:.11ALALEA=的有限子集，证明是赋范线性空间设).()()(,,}{}{)()()(}{)(}{)()(,,,},,,{2121ALALALxyxixyjyyyyALyALALyxyALyALxnEALxxxExxxAiiiiiiinnjj=∈=∞→→∞→→∈→⊂∃∈⊂=由此可知，，即故，但，使，的一个子列及是局部紧的，故存在中的有界序列，但是，从而使，则维子空间，设的是则线性无关，，不妨设设11.],[)1(],[],[.14的非闭子空间是中的范数，试证按baCmbaCbaCm≥.],[],[],[],[],[],[],[)(],[],[的非闭子空间是，即＝，故），显然，中稠密（即在逼近，故多项式的全体都可以多项式序列一致一连续函数的线性子空间，因为任显然是baCbaCbaCbaCbaCPbaCPbaCPtxbaCbaCmmmm⊂=12..17中的单位球是凸集试证任一赋范线性空间.)1,0()1,0()1,0()1(1)1()1()1,0()1,0()1,0(也是凸集类似地是凸集，，即所以，则，，设BBByxyxyxByBx∈−+−+≤−+∈∈∈λλλλλλλ313..18范数都是等价的试证有限维空间上所有.21)2(||)1(||maxmax||,||00},,{211121221222111111212111221111121121等价与）可知）、（由（，则记都有，使对任意，的一个基，取是上的两个范数，设是及维线性空间，是设⋅⋅≤≤=≤≤===≤≤=⋅⋅∑∑∑∑∑∑∑====≤≤≤≤===xMmmexxMmmexememxMxMexMMEeeEnEniiniiiniiniiiiniininiiniiniiinααααααα14)(inf)''(',,'},,{.1911,,11111nnnnnnxxxxxxnExExxEnλλλλλλλλ++−=++−∈，使得个实数，证明存在中线性无关元，是是实线性空间，设{}{}{}.lim*)''('*.*)2,1(,),()(inf},,{1110000011,,0101dxxxxxxxxxExxxxEExdxxiExdExxxxnEExxLEjjjnijnnniiiiiiiiinnn=−=−=++−=∈→→−=∈==++−=∞→=∑λλλρλλλλ，则设，中有收敛子列是有限维的，故因中有界序列，是，则使取维子空间，令的是，则记15.\X.20XAXAXA=⊂是内点）的充分必要条件没有是稀疏集（即是距离空间，试证：设.\\)\(),(0XXAXXxAXxAXxBAx=∈∈≠∀∈是任意的，所以，即因，所以，没有内点，故，因设必要性，ϕεε∩.)\(),(0\X\是稀疏集没有内点，所以的内点，不是，即＝，所以，，，，则设充分性，AAAxAXxBxxAXxxXAXnnϕεε∩∀→∈∃∈∀=16..21的试证全有界集必是可分.},{111是可分的中稠密，故在至多可数，显然且，则，然后令网，的一个有限，存在然数是全有界集，对每个自设MMAAMAAAMAxxnMnMnnnkn⊂=⊂=−∞=∪17].1,0[]1,0[)1(]1,0[.22CCmCm的距离的完备化空间是按试证≥].1,0[]1,0[]1,0[]1,0[]1,0[]1,0[]1,0[]1,0[CCCCPCPCPCPCmmm的完备化空间是，从而，故，但中稠密，即在的全体致逼近，所以，多项式都可以用多项式序列一每一连续函数是完备的距离空间，且我们已经知道⊂⊂⊂=18.],[Banach],[|)(|max.250)(）一致收敛（此函数列及其各阶导数素列依范数收敛等价于中元空间，且是下所成的赋范线性空间数次连续函数的全体在范mbaCbaCtxxmmmmiibta≤=∑=≤≤.],[,,1,0)()(,,1,00|)()(|max)(0|)()(|max)(],[],[}{1)()()()(0)()(o收敛数列及其各阶导数一致中依范数收敛等价于函即一致收敛于，则，设baCmitxtxmitxtxntxtxxxnxxbaCxbaCxmiiniinbtamiiinbtannmmn=⇔=→−⇔∞→→−=−⇔∞→→∈⊂≤≤=≤≤∑419.Banach],[],[],[1].,[),,1,0(Banach],[],[),,1,0(],[}{20o0)(0)()(o空间是是完备的，即，故中依范数收敛于在的结论，即知中所证再利用，故得，我们可间可以交换顺序，因此求导运算与极限运算之敛，那么数列及其导数都一致收微的函数列，如果此函已知事实：一个连续可，再根据数学分析中的续函数｝都一致收敛于某连，｛空间，故对每个是中的基本列，而｝是，｛，对每个中的基本列，由上所证是设baCbaCybaCxbaCymiyyyxibaCbaCxmiibaCxmmmnmiiiininmn∈===.2520.Banach)(||sup.26空间是所成之赋范线性空间范数试证有界数列的全体依mxxiiiξξ==.Banach0||sup,2,1||,2,1||,,0.)(}{supsup)(}{0||sup),(}{)()()()()()()()()(空间故是是完备的，，即是任意的，故因为时，所以，当，时，，即得当令，时，从而当时，，使当，取任给，则是一有界数列，令而基本列，，因序列，设是收敛，可知对每个由＝是一基本列，记设mmxxxxNniNnmiNmnxxNmnNmxxxxnixxxmxniniininiminimninnniiiininiminiimnninn∈→≤−=−≥=≤−≥∞→=≤−≥≤−≥∈=≤≤∞→→→−=−⊂εεξξεξξεξξεεξξξξξξξξξ21..29子空间也是完备的试证完备距离空间的闭.}{.0000000完备的是中都有极限，所以中任一基本列在，即所以的闭子集，是，但，使完备，故本列，因是一基设的闭子空间是是完备距离空间，设XXXXxXXxxXxXXxXXXnn∈→∈∃⊂..30空间是闭的试证距离空间的完备子.***}{}{}{}{000000000000是闭的，，所以，即由极限的唯一性得，使中收敛，即存在在所以是完备的，中基本列，也是，故但中基本列，中收敛列，从而是既是，使，则存在的完备子空间，是设XXXXxxxxxXxXxXXxXxXXxxxXxXxXXnnnnnnn=∈=→∈⊂→∈∈22φρ≠⇒→=⊂∞=∈+∩1,10),(sup,.31nnAyxnnnnAyxdAAAXn满足：是：闭集串是完备的充分必要条件试证距离空间.*),2,1(}{**}{),(0),max(),(111φρ≠∈=⊂→∈∃∞→→≤∈∞=∞=+∩∩nnnnnnnnmnmnnnAAxnAxxxXxXXxmn