导数在经济学中的简单应用

12020/5/1913.5导数在经济学中的简单应用随着我国市场经济的不断发展，应用数学知识定量分析经济及管理领域中的问题，已成为经济学理论中一个重要组成部分．把经济活动中一些现象归纳到数学领域中，用我们所学的数学知识进行解答，对很多经营决策起到了非常重要的作用．导数是微积分中一个重要概念，它是函数关于自变量的变化率．在经济学中，也存在变化率问题，如：边际问题和弹性问题．导数在经济领域中的应用非常广泛，其中“边际”和“弹性”是导数在经济分析应用中的两个重要概念．本节主要介绍导数概念在经济学中的两个应用——边际分析与弹性分析．2边际概念是经济学中的一个重要概念，通常指经济变量的变化率．利用导数研究经济变量的边际变化的方法，即边际分析法．边际分析法是经济理论中的一个重要分析方法，它的提出不仅为我们作出决策提供了一个有用的工具，而且还使经济学能运用数学工具．因此边际分析法对推动经济学本身的发展和解决实际经济问题起到了重大作用．1、边际分析法3yfxfxxf(),()()设是一个经济函数其导数称为的00(())fxfxx在点的边边。际称际数为函函数值。说明：(1)导数与边际的关系：边际概念是将导数的概念经济化。因此，经济学中的边际和数学中的导数是一个概念。这不仅丰富了导数的含义，也给经济学中边际的计算问题提供了更直接、简便的方法。(2)边际成本、边际收益、边际利润是经济学中最常见的几个重要边际经济量，常用于分析生产状况、制定生产计划。一、边际与边际分析42020/5/1940()fxxx对于经济函数，设经济变量在点有一个改变00()yyfxx，则经济变量在处量有相应的改变量00()()yfxxfx0()fxx如函数在点可微，则00(d)|xxyxxyf0,1()xyfx假如则0xyx在点改变“一个这说明当时，相应的单位”近似改变fx0()个单位。边际函数值描述了()fx在点0x处的变化速度.一、边际与边际分析3、边际分析52020/5/195yxx2312求函数在处的边际例函数值。6yx解22612xxyx232yxx函数在处的边际函数值为1262020/5/1964、边际成本00,,()()()CCQQQQQCC1定义总成本函数边际成本时的边际成本设为产量称它的导数为,简称．称为当产量为．边际成本在经济学中被定义为产量增加一个单位时所增边加际成本函数的成本．00QCQ2经济意义：当产量为的基础上，如果再多生产1个单位的产品，则总成本将增加个单位．72设总例成本函数21()500060,20CQQQ1000Q求边际成本函数和单位时的边际成本，并解释后者的经济意义。1()60,10CQQ100010001()604010QQCQQ1140000再多其经济意义为：当产量达到单位时，如果单位产品,则成本将相生产个增加应个单位。801()()CCCQQ固定成本可变成本一般情况下，总成本由和01()(),CQCCQ组成，即011()[()](),CQCCQCQ而边际成本可见，边际成本与固定成本无关。(3)边际成本仅与可变成本有关，与固定成本无关。(4)在经营决策分析中，通过分析边际成本，可以制定现有成本基础上的最佳产量。9320.020.46100CQQQQ万元(1)1020QQ问:当这种产品的产量万件时，从降低平均成本的角度来看，是否可以继续提高产量?当万件时呢？2如果你是生产管理者，在现有成本基础上，你会怎么制定生产计划，使得生产资源得到最有利的利用，增加盈利。例3、假设某企业生产某种产品的总成本（万元）与产量（万件）之间的函数关系式为CQ10①在产量的基础上，我们除了能计算总成本外，还能计算哪些与”成本”有关的量？②它们有什么实际（经济）意义？10Q万件11322210100.02100.41061010014010140101414101010140.060.8610100.06100.81064QCCCQCQQQC1解：当产量万件时，总成本为万元平均成本为万元万件元件即在产量万件时，每件产品的成本为元.根据边际成本理论得，于是生产万件产品时的边际成本是元件从这里可以看出，在生产水平为10万件的基础上，再多生产1件产品，总成本将增加4元，比14元/件的成本要低.因此，单纯从降低平均成本的角度来看，应该提高产品的生产产量.1232220200.02200.4206201002202022020112020201120200.06200.820614QCCCQC类似地，当产量万件时，总成本为万元平均成本为元件即在产量万件时，每件产品的成本为元.于是生产万件产品时的边际成本是元件从这里可以看出，在生产水平为20万件的基础上，再多生产1件产品，总成本将增加14元，比11元/件的成本要高.因此，单纯从降低平均成本的角度来看，不能提高产品的生产产量，而应降低产量.130000000000,CQCQQCQCQCQCQQCQCQ2解:由1的讨论可知，若，则在产量为万件的基础上，再多生产1件产品，总成本增加元，比当前每件产品的成本元低，此时应提高产量，以降低平均成本；若则在产量为万件的基础上，再多生产1件产品，总成本增加元，比元/件的成本高，此时，应减少产量，以降低平均成本.即：当边际成本小于平均成本时，继续生产；当边际成本大于平均成本时，应停止生产.CQCQ由此可见，当时，平均成本最低.因此企业管理者应该把生产规模调整到平均成本的最低点处，才能使生产资源得到最有效的利用，增加盈利.此时的产量就是现有成本基础上的最佳产量.0=0=100CC固定成本万元，如果不生产产品，生产资源（厂房、设备、管理人员等）就严重浪费，而生产产品，又要消耗新的生产资源原材料、燃料、劳动力等.使生产资源得到最充分的利用，也就是产品的平均成本最低?142020/5/191400()()).(QRQ2：当销售量达到时，如果或销售一个单位产品，则总收益将相通过分少减析边多增际收经济益，应或个单位.挖掘市场最意义少3大潜力加5、边际收益00()()(())()RRQRQRQQQQQPRQQPQPQ1定义：设，为销售量，称它的导数为，简称.称为销售量为时的.销售单位产品的总收益为销售量与价格之积总收益函数边边际收益际收益注：，即函数边际收益15410511030PQQPQQ例、设某产品的价格万元与销售量吨的关系式为，求：当这种产品的销售量吨时，从增加收益的角度来看，是否可以继续提高销售量？当产品的销售量吨时呢？2如果你是该公司的销售经理，你该怎么制定该产品的销售计划？提问：①已知价格函数，怎么求总收益函数？②边际收益的经济意义是什么？162110105521052101010106/51016..230301030-2/53QQRRQQPQQQRQQQRQR解：由题可知销售该产品的总收益为：则边际收益为销售量吨时的边际收益为万元吨即在销售量为吨的基础上，再多销售吨产品，总收益增加万元因此，应该继续提高销售量增加收益销售量吨时的边际收益为万元吨即在销售量为012..吨的基础上，再多销售吨产品，总收益减少万元此时，应该减少销售量，收益才会增加1722102552525.RQQQQQ解：由知，当吨时，边际收益大于零，总收益随着销售量的增加，说明市场还有需求；当吨时，边际收益等于零，说明市场上该产品已经饱和.当吨时，边际收益小于零，随着销售量的增加，总收益反而减少了，说明市场上该产品已经供大于求.因此，该产品的最佳销售量为25吨显然，该公司不能完全依靠增加销量来提高收益，超过一定数量的销量就会造成销售越多亏损越大的局面。通过分析边际收益，我们可以挖掘市场的最大潜力，制定正确地、行之有效的销售对策。182020/5/19180000,(()()(1.4.))QQQLQRQCQLLQQLQLQ多1定义：设产品的为产量，称它的导数为，称为当产量为时的边际利润.2：当产量达到时,如果再生产个单位产品,则将个单位.3边际利润，即边际利润由边际收益和边际成本决定通过分利润析边总利润际利润函数边际利润经，制定最优生意增济义产计划加6、边际利润1900==0RQCQLQQRQCQLQQRQCQLQQ当时，，其经济意义是：在产量的基础上，再多生产1个单位的产品，当时，，其经济意义是：在产量的基础上，再多生产1个单位的产品，所增加的收益小于增加的成本，因此总利润将减少；所增加的收益大于增加的成本，因此总利润有所增加；当时对“边际利润由边际收益和边际成本决定”的，，其经济意义是：在产量说明：的基础所增加的收益等于增加的上，再多生产1个单位的成本，总利润将不会产品，再增加.206200110.50215101520CQPP例、某工厂每日的总成本为万元，其中固定成本为万元，每生产单位产品，成本增加万元该商品的需求函数为为价格求：生产个，个，个，个单位产品的边际利润分别是多少？2请你从利润角度出发为该工厂制定最佳的生产计划？21=2001011502252522115200215QCCQQQPPQRQPQQQLQRQCQQQLQQ解：设需求量为，则总成本为，由需求量得，从而总收益为故总利润为，边际利润为215101520510,105,150,2052LLLL于是生产个，个，个，个单位产品的边际利润分别为：解：分析以上数据可以发现，当产量为5个单位时，再多生产1个单位的产品，利润将增加10万元.当产量为10个单位时，再多生产1个单位的产品，利润将增加5万元.当产量为15个单位时，再多生产1个单位的产品，利润不会增加.当产量为20个单位时，再多生产1个单位的产品，利润反而减少5万015015LQQLQQQ元.实际上，当，即产量时，利润随着产量的增加而增大；而当，即产量时，随着产量的增加利润会减少.故当=15时，企业获得最大利润.22显然，企业不能完全依靠增加产量来提高利润，超过一定数量就会造成生产越多亏损越大的局面。在当今国内外经济分析中，越来越多的数学知识被用做分析工具，经济分析走向了定量化、精密化和准确化，为企业经营者提供客观、精确的数据和视角正是数学应用性的具体体现。对经济工作者而言，掌握相应的数学分析方法，为科学的经营决策提供可靠依据，是非常必要的。232020/5/1923二.弹性分析前面所谈的函数改变量和函数变化率是绝对改变量和绝对变化率，但在经济问题中仅仅研究函数的绝对改变量和绝对变化率是不够的。例如，商品甲每单位价格10元，涨价1元；商品乙每单位价格1000元，也涨价1元。两种商品价格的绝对改变量都是1元，但各与其原价相比，两者涨价的百分比却有很大的不同，商品甲涨了10%，而商品乙涨了0.1%。因此我们还有必要研究函数的相对改变量和相对变化率。在经济分析中，会经常用到弹性分析法，弹性是一个十分有用的概念。一般地说，弹性描述的是因变量对自变量的变化的反应程度，具体的说，也就是要计算自变量变化1个百分比，因变量要变化几个百分比。边际函数反映的是函数的变化率，而函数的弹性则反映的是函数的相对变化率。242020/5/1924一弹性