20高等数学下9.2偏导数

例7讨论函数0,00,),(222222yxyxyxxyyxf在(0,0)的连续性．解取kxy2200limyxxyyx22220limxkxkxkxyx21kk其值随k的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．有定义有极限极限等于该点的函数值一、偏导数的定义及其计算0limx存在，),(yxfz如果§2.偏导数),(yxfz),(00yx00(,)fxxy定义在点的某一邻域内0y固定在x而0x在处x时，y当则称此极限为函数有增量相应地函数),(00yx在点处的偏导数，记为设函数x对00yyxxxz，00yyxxxf00yyxxxz，),(00yxfx或有定义，xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00000导数定义00(,)fxyx0000(,)(,)fxxyfxy有增量00(,)fxyy记为：,00yyxxyz,00yyxxyf00yyxxyz),(00yxfy或一、偏导数的定义及其计算00000(,)(,)limxfxxyfxyx),(yxfz),(00yx在点处的偏导数，x对00yyxxxz，),(yxfz同理可定义函数),(00yx在点处对y的偏导数：00(,)fxyy0limy偏导函数:一、偏导数的定义及其计算xfxz记作xz，(,),xfxy或00000(,)(,)limxfxxyfxyx),(yxfz),(00yx在点处的偏导数，x对00yyxxxz，),(yxfz),(yxx),(yxfzx如果函数在区域D内任一点的偏导数都存在，的函数，对的偏导函数，对那么这个偏导数就是xy、它就称为函数偏导函数简称为偏导数.偏导函数:一、偏导数的定义及其计算yf同理可以定义函数y),(yxfz对自变量的偏导函数，yz，yz，),(yxfy或记作：xfxz记作xz，),(yxfx，或x),(yxfz对自变量的偏导函数，yyxfyyxfy),(),(lim0000000xxyyzy),(yxfz),(00yx在点处的偏导数，y对偏导数的概念可以推广到二元以上函数如),,(zyxfu),,(zyx),,(zyxfx),,(zyxfy),,(zyxfz,),,(),,(lim0xzyxfzyxxfx,),,(),,(lim0yzyxfzyyxfy.),,(),,(lim0zzyxfzzyxfz一、偏导数的定义及其计算0000000(,)(,)(,)limxxfxxyfxyfxyx在处例1求223yxyxz在点)2,1(处的偏导数．解xz;32yxyz.23yx21yxxz,8231221yxyz.72213一、偏导数的定义及其计算例2设yxz)1,0(xx，求证zyzxxzyx2ln1.证xz,1yyxyz,lnxxyyzxxzyxln1xxxyxyxyylnln11yyxx.2z原结论成立．一、偏导数的定义及其计算偏导数xu是一个整体记号，不能拆分;,(,),(0,0),(0,0).xyzfxyxyff例如求有关偏导数的几点说明：１、２、求分段点、不连续点处的偏导数要用定义求；解(0,0)xf0).0,0(yf一、偏导数的定义及其计算0000000(,)(,)(,)limxxfxxyfxyfxyx0|(0)0|0limxxxdydx可拆22(,)(0,0)(,)0(,)(0,0)xyxyxyfxyxy例3解一、偏导数的定义及其计算)0,0(xf00limxx)0,0(yf00limyy0(0,0)(0,0)limxfxfx0(0,0)(0,0)limyfyfy0,0000000(,)(,)(,)limxxfxxyfxyfxyx0000000(,)(,)(,)limyyfxyyfxyfxyy,)0,0(),(时当yx0,求(,)fxy的偏导数(,)xfxy22(,)(0,0)(,)0(,)(0,0)xyxyxyfxyxy(,)(0,0),(,)(0,0)xyxy22222()()yyxxy0解),(yxfx,)()(22222yxxyy),(yxfy,)()(22222yxyxx222()xy22222)(2)(yxxyyyxx22()xyxyy2x例3)0,0(xf)0,0(yf00(,)(0,0)xy时求(,)fxy的偏导数(,)yfxy.),()0,0(),(0)0,0(),(),(22的偏导数求设yxfyxyxyxxyyxf解),(yxfx22222(),()yyxxy),(yxfy22222(),()xxyxy例3)0,0(xf)0,0(yf0022222()(,)(0,0).()(,)(0,0)xxyxyxyxy0(,)(0,0)xy时偏导数存在与连续的关系例如,函数0,00,),(222222yxyxyxxyyxf,但函数在该点处连续.偏导数存在连续一元函数中在某点可导连续，多元函数中在某点偏导数存在连续，一、偏导数的定义及其计算00lim()()PPfPfP(0,0)(0,0)xyff)0,0(依定义知在处，0并不偏导数几何意义xy0y=f(x)M)(0xfxyx0lim)()(00xfxxfyMNKxy)(0xf=tan处切线的斜率)表示曲线在点0(xxf.x0.)(xf考虑导数的几何意义.xzy0),(yxfzMxzxyxfyxxfx),(),(lim00000Mxz由一元函数导数几何意义：z=f(x,y)0),(yyyxfzL：L得曲线=tan偏导数的几何意义.y=y0)(y,x.MTx固定y=y0xzy0),(yxfzMxzxyxfyxxfx),(),(lim00000z=f(x,y)L偏导数的几何意义.y=y0)(y,x.MTx),(00yxfx0yyx偏导数就是曲面所截得的曲线轴在点M处的切线MTx对被平面?Myz同理，轴的斜率.M),(yxfzMyzyy,xfyy,xfy)()(limz=f(x,y)L)(y,xx=x0固定x=x0Tx偏导数的几何意义.xzy0M),(yxfzMyzyy,xfyy,xfy)()(limMyz由一元函数导数的几何意义：z=f(x,y)xxy,xfz)(L得曲线=tan.)(y,xx=x0固定x=x0TxTy偏导数的几何意义.xzy0M),(yxfzMyzyy,xfyy,xfy)()(limz=f(x,y)L.)(y,xx=x0TxTy偏导数的几何意义xzy000(,)yfxy0xxy偏导数就是曲面所截得的曲线轴的斜率.在点M处的切线MTy对被平面),(yxfz几何意义:一、偏导数的定义及其计算0000000(,)(,)(,)limxxfxxyfxyfxyx0000000(,)(,)(,)limyyfxyyfxyfxyy),(00yxfx0yyx偏导数就是曲面被平面所截得的曲线轴的斜率.在点M处的切线MTx对00(,)yfxy0xxy偏导数就是曲面被平面所截得的曲线轴的斜率.在点M处的切线MTy对zxzyy函数),(yxfz的二阶偏导数为二、高阶偏导数0(,)(,)limxxxfxxyfxyx22xz22zy(,)xxfxy(,)yyfxyx0000000(,)(,)(,)limxxfxxyfxyfxyx0000000(,)(,)(,)limyyfxyyfxyfxyy0(,)(,)limyyyfxyyfxyyzxyzyxzyzxy函数),(yxfz的二阶偏导数为混合偏导数定义：高阶偏导数.二、高阶偏导数,xyyf,xxyf32zxy三阶偏导数：22xz22yz),,(yxfxx),(yxfyy2zxy(,),xyfxy2zyx(,)yxfxyx32zxy3zxyx3zyxy二阶及二阶以上的偏导数统称为,xyxf,yxyf例6设13323xyxyyxz，求22xz、xyz2、yxz2、22yz及33xz.解xz,33322yyyxyz;9223xxyyx22xz,62xy22yz;1823xyx33xz26yxyz2.19622yyxyxz2,19622yyx二、高阶偏导数zx22xzx例7设byeuaxcos，求二阶偏导数.解xuyu22xu22yuyxu2xyu2,cosbyaeax;sinbybeax,cos2byeaax,cos2byebax.sinbyabeax,sinbyabeax二、高阶偏导数问题：混合偏导数都相等吗？例8解(,)(0,0)xy),(yxfx,)(232224222yxyxyxyx(,)yfxy2223222)(2)(3yxyxxyxyx二、高阶偏导数332222222,()xxyxyxy322(,)(0,0)(,)0(,)(0,0)xyxyfxyxyxy求(,)fxy的二阶混合偏导数时按定义可知：(0,0)xf0,(0,0)yf00limyy0000000(,)(,)(,)limxxfxxyfxyfxyx00limxx0(0,0)(0,0)limxfxfx0000000(,)(,)(,)limyyfxyyfxyfxyy0(0,0)(0,0)limyfyfy例80,322(,)(0,0)(,)0(,)(0,0)xyxyfxyxyxy求(,)fxy的二阶混合偏导数解(,)xfxy,)(232224222yxyxyxyx(,)yfxy(0,0)xyf,00limyy(0,0)0xf(0,0)0yf(,)f(,)f332222222,()xxyxyxy例80000000(,)(,)(,)limyyfxyyfxyfxyy00yx0x0322(,)(0,0)(,)0(,)(0,0)xyxyfxyxyxy求(,)fxy的二阶混合偏导数解(,)xfxy,)(232224222yxyxyxyx(,)yfxy(0,0)yxf.1(0,0)0xf(0,0)0yf0limxx332222222,()xxyxyxy例80000000(,)(,)(,)limxxfxxyfxyfxyx0limxxx(,)f(,)f00xy0y0(,)(0,0)xy时322(,)(0,0)(,)0(,)(0,0)xyxyfxyxyxy求(,)fxy的二