矩阵的合同变换

1矩阵的合同变换摘要：矩阵的合同变换是高等代数矩阵理论中，基本交换。在《高等代数》里，我们仅讨论简单而直接的变换，而矩阵的合同变换与矩阵相似变换，二次型等有着诸多相同性质和联系。关键词：矩阵秩合同对角化定义1：如果矩阵A可以经过一系列初等变换变成B，则积A与B等价，记为AB定义2：设A，B都是数域F上的n阶方阵，如果存在数域F上的n阶段可逆矩阵P使得1BPAp，则称A和B相似AB定义3：设A，B都是数域F上的n阶矩阵，如果存在数域F上的一个n阶可逆矩阵P，使得TPAPB那么就说，在数域F上B与A合同。以上三个定义，都具有自反性、传逆性、对称性、性。定理1：合同变换与相似变换都是等价变换证明：仅证合同变换，相似变换完全相似因为P可逆，所以P存在一系列初等矩阵的乘积，即12mPQQQ。此时711TTTmnPQQQ边为一系列初等矩阵的乘积若111TTTTmnmBPAPQQQAQQ则B由A经过一系列初等变换得到。所以AB，从而知合同变换是等价变换。定理2：合同变换与相似变换，不改变矩阵的秩证明：由知，合同变换与相似变换都是等价变换，所以不改变秩定理3：相似矩阵有相同特征多项式证明：共1ABBPAP1||det||delIBIPAP又因为I为对称矩阵所以11det||||||IPAPPIAP1||||||PIAP||IA注①合同不一定有相同特征多项式定理4：如果A与B都是n阶实对称矩阵，且有相同特征根，则A与B相似且合同论：设A，B为特征根均为12,n，因为A与B实对称矩阵，所以则在n阶正矩阵，,QP使得112[]QAQ11[]nPBP从而有11QAQPBP211PQAQPB由11QQEPPE从而有1111PQQPPEPPPE从而111()PQQP又由于1111()()()QPQPTQPPTQT1()TTQPPTQTQQ1QQE1QP为正交矩阵所以AB且AB定时5：两合同矩阵，若即PTAPB，若A为对称矩阵，则B为对称阵，而两相似矩阵则不一定有些性质证明：AB即TPAPB，若对称阵，则TAA()TTTBPAPTTPAPTPAPB所以B边为对称阵[注]：相似矩阵对此结论不具有一般性，它在什么情况下成立呢？引理6：对称矩阵相似于对角阵A的每一个特征根有秩||IAns，S为的重数.证明：任给对称的n阶矩阵A一个特征根，以其重数以秩||IAr，则||rnsnrsIA12000nxxx，线性无关的解向量个数为nr个，即5个又因属不同特征根的特征向量线性无关n阶对称阵A有n个线性无关的特征向量n阶对称阵可对角化从定理5，引理6中我们发现了合同在应用中的侧重点，如对二次型应用例求一非线性替换，把二次型123122313(,,)262fxxxxxxxxx二次型`23(,,)fxxx矩阵为011103130A3对A相同列与行初等变换，对矩阵E，施行列初等变换212103230A200020006100111110111001101E112233113111001xyxyxy可把二次型化为标准型222123123(,,)226fxxxyyy解法（2）212103230A21010202220010220222001002006此时2221231231(,,)262fxxxzzz此时非线性退化替换为11223311321112001xzxzxz发现在注[1]：任意对称阵合同的对角阵及其变换阵不是唯一确定的特性1：在合同变换中具有变换和结果的多样性[注]：在对角阵上元素相等及其它元素元素边相等情况下又有哪些性质呢？例3．用可逆性变换化二次型4222123123123123(,,)(2)(2)(2)fxxxxxxxxxxxx解：222112132233:666666fxxxxxxxxx对二次型矩阵为633363336A10060060001099963300000022236399000113360122161181001111221010102211801001010220100100118AEEB标准形2212fyy，则11223311161820118001xyxyxyPTAB[注]当P改变两行的位置交换后，发现1200016186331002111036310101818618336000001111定理2：在A为对角线上元素相等，其余元素也相等，则若有TPAPB，则调整P的任意两行，对角阵形式不变。证明：设初等变换的对调变换矩阵为J，显然TTTJJEJAJJAJA于是有()()()()()()tTTTTTTTBPAPPEAEPPJJAJJPJPJAJPJPAJP而P与JP相比仅是行的排列顺序不同，因此任意调整P的行，所得对角阵相同。[注]以上为特殊条件下成立，如果在一般情况下呢？例4．求实对称矩阵220212020A求可逆阵P使得TPAP为对角阵53221213222220200200212012010020020004100110112010010012001001001ccccrrrrAE1112400112010001002TPPAPBB1211211000P我们得到11TPAPB定理7：设,TPAPBA对称矩阵，B为对角矩阵，若要调换B对角线上任意两个元素的位置得到1B，则只要调控B中对左的两列，可得到P，使得11TPAPB，即P的列与B中元素的对应性。证明：初等调换矩阵为J，显然TJJ1111()()TTTTBJBJJPAPJPJAPJPAPP与1P相比，只是列的排列顺序发生了改变P的列与B的对角线上元素具有对应性自己写例定理8：如果对角线上的元素分别扩大22212,,nCCC得2B，则不要将P中对应的对应角线元素扩大11C，即可得到2P使得222TPAPB证明：设初等变换的倍乘变换矩阵为2J（2J对角线上第J个元素1C）形1221CJC，则有22222()TTBJBJJJ2222211()TTTTBJPPJPJJAPJPAP2B中第J个元素为B的21C倍而22PPJ，且其2P中对角线J个元素是P中对角线元素CJ倍。例：已知对称矩阵1211211311311310A求可逆矩阵P，使TPAP且对角形式解10111001031103111131012211101120A61000100010000301030003117770001220003330121700030113对单位阵E进行相应列初等变换得112231010300110001EP则有1313733TPAP141111BE则此时有1112231100333001710003P得111TPAPB综上所述合同变换不仅与相似变换有着某千丝万缕的联系，而且其本身也有着变换矩阵多样多样，和结果的不确性，在对其特性与性质的联系中带来许多解题更多思路与方法。主要参考文献[1]北大数学系，高等代数第二版[2]上海交大线性代数编写。线性代数（第三版）[M][3]张禾瑞高等代数[M][4]付立志《对称矩阵对角化相似变换模型》[5]王晓玲《矩阵三种关系问联系》[6]BrickellEFAFewResultsinmessageAutheuticationcongressNumerantium198443141－154矩阵的合同变换及性质定义：设A，B是数域F上两个阶矩阵，如果存在一个阶可逆矩阵P使得TBPAP成立，那么B与A合同特性：合同变换具有模型化，程序化的简便性。7引理1：在矩阵中，任意对角矩阵与合同J对角阵证明：①数学归纳法当1n时，定理显然成立设1n时，定理对1n阶对称阵成立，A上阶对称囝若0A则A本身已为对角阵不妨设0A（1）讨论A的对角线上元素不全为0的情况，这都可通过三行或列初等变换，使得111211210000ssaEEEAEEEA这里1A是1n阶对称阵，由归纳假设，存在则有1n阶可逆阵1a，使211100TcQAQcn现取1211000,0sQPEEEQQ则111121122111000000TTTTTSSTnaaPAPQEEEAEEEQcQAQc（2）若0,1,2,,iiain，由0A，可通过对应的行列初等变换，使问题归结到i的情怀合同矩阵变换的应用，主要应用于二次型上，而二次型主要对积矩阵，而二次型12(,,)TnfxxxxAX化简，一般都归结为对称实矩阵A的合同变换在特性1：合同变换具有模型化，程序化的简便性定理1：若在对称矩阵A的下六并上一个单位矩阵，作列变换，则对的行与列分别六色以一系列的对称，初等变换使其式为对角阵时，单位阵成为A的合同变换矩阵。特性2：合同变换具有变换和结果的多样性，采取不同的合同变换，不仅可以得到不同的对角矩阵而且还可以得到相同的对角陈例：已知实对称矩阵0100100000210012A求可逆矩阵P，使()()TAPAP为对角矩阵解由于tAA且2()()TTAPAPPAP，可见为使()()TAPAP为对角矩阵，实质上是使0000010000540045A合同于对角矩阵84334254455100010000100010000500054900000455100010000100010000104001500010001ArrLcAE故可逆矩阵21000100001000100400500015900000015TPPAP