5-第五章-点的运动学描述和刚体的简单运动

2020年5月19日建立机械运动的描述方法建立运动量之间的关系②运动学研究的内容t)(12)(ttt⑤瞬时、时间间隔运动学的一些基本概念③运动学学习目的为后续课打基础及直接运用于工程实际。④参考体(物);参考系;静系;动系。⑦运动分类1)点的运动2)刚体的运动①运动学是研究物体在空间位置随时间变化的几何性质的科学。(包括:轨迹，速度，加速度等)不考虑运动的原因。⑥力学模型1)点2)刚体引言第五章点的运动学描述和刚体的简单运动§5-1点的运动学描述§5-2刚体的平移§5-3刚体的定轴转动§5-4轮系的传动比§5-5以矢量表示角速度和角加速度.以矢积表示点的速度和加速度§5-1点的运动学描述一、点的运动方程在参考系上任取一点O为坐标原点r:点M相对点O的位置矢量,简称矢径。当动点M运动时,矢径r随时间而变,即)(trr上式称为以矢量表示的点的运动方程。动点M在运动过程中,矢径r的末端描绘出一条连续曲线，称为矢端曲线。显然，矢径r的矢端曲线就是动点M的运动轨迹。二、点的速度点的速度是矢量。动点的速度矢等于它的矢径r对时间的一阶导数，即rtrvdd动点的速度矢沿着矢径r的矢端曲线的切线，即沿动点轨迹的切线，并与点的运动方向一致。在国际单位制中，速度的单位为m/s。vv*AMBOr(t)r(t+Δt)M'Δr三、点的加速度点的加速度也是矢量。动点的加速度矢等于该点速度矢对时间的一阶导数，或等于矢径对时间的二阶导数，即tddva在国际单位制中，加速度的单位为m/s2。22ddtrvr如在空间任意取一点O，把动点M在连续不同瞬时的速度矢v0,v1,v2，…等都平行地移到点O，连接各矢量的端点M1，M2，M3，…，就构成了矢量v端点的连续曲线，称为速度矢端曲线，如图所示。动点的加速度矢a的方向与速度矢端曲线在相应点M的切线相平行。速度矢端曲线OM1M2M3vv1v2a加速度的方向确定由于矢径的原点与直角坐标系的原点重合，因此有一、点的运动方程kjirzyx其中)(1tfx)(2tfy)(3tfz这些方程称为以直角坐标表示的点的运动方程。也是点的轨迹的参数方程。如求点的轨迹方程，可将运动方程中的时间t消去。如点在某平面内运动，取该平面为坐标平面Oxy，则点的运动方程为：)()(21tfytfx从上式中消去时间t，即得轨迹方程0),(yxf二、点的速度kjirzyx由于得tddrv设动点M的速度矢v在直角坐标轴上的投影为vx、vy、vz,即kjivzyxvvv比较上两式，得txvxdd可见，速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的一阶导数。tyvyddtzvzdditxddjtyddktzdd三、点的加速度tddva设动点的加速度矢a在直角坐标轴上的投影为ax、ay、az,即kjiazyxaaa则有tvaxxddtvayyddtvazzdd因此，加速度在直角坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的二阶导数。kjitvtvtvzyxdddddd22ddtx22ddty22ddtz例：椭圆规的曲柄OC可绕轴O转动，其端点C与规尺AB的中点以铰链相连接，而规尺A，B两端分别在相互垂直的滑槽中运动。已知：OC=AC=BC=l，MC=a，φ=ωt。求规尺上点M的运动方程、轨迹方程、速度和加速度。解：取坐标系Oxy,点M的运动方程为cos)(CMOCxsinAMy消去时间t，得轨迹方程1)()(2222alyalxtalcos)(talsin)(求点M的速度xvx故点M的速度大小为22yxvvvtalal2cos222其方向余弦为vvx),cos(ivvvy),cos(jvyvytalcos)(talsin)(taltal222222cos)(sin)(talaltal2cos2sin)(22talaltal2cos2cos)(22求点M的加速度xxva故点M的加速度大小为22yxaaatalal2cos2222其方向余弦为aax),cos(iaaay),cos(jayyvaytalsin)(2xtalcos)(2taltal242242sin)(cos)(talaltal2cos2cos)(22talaltal2cos2sin)(22一、弧坐标已知动点M的轨迹为图示曲线。在轨迹上任选一点O为参考点，并设点O的某一侧为正向。动点M在轨迹上的位置由弧长s确定，弧长s为代数量，称为动点M在轨迹上的弧坐标。)(tfs点沿轨迹的运动方程，当动点M运动时，s随时间变化，它是时间的单值连续函数，即或以弧坐标表示的点的运动方程。二、自然轴系以点M为原点，以切线、主法线和副法线为坐标轴组成的正交坐标轴称为曲线在点M的自然坐标系，这三个轴称为自然轴。nτbO△01dlimdsSSMM'△s△tt'00d1limlimdsssssττnn两个相关的计算结果MM'tt't△s△t2sin2ττ曲率：曲线切线的转角对弧长一阶导数的绝对值。曲率半径：曲率的倒数。如曲率半径以ρ表示，则有三、点的速度点沿轨迹由M到M',经过Δt时间,其矢径有增量Δr。当Δt→0时，sMM'r故有ttrv0lim可见：速度的大小等于动点的弧坐标对时间的一阶导数的绝对值。弧坐标对时间的导数是一个代数量，以v表示stsvdds绝对值表示速度的大小,正负表示点沿轨迹运动的方向。由于τ是切线轴的单位矢量，因此点的速度矢可写为ττvtsvddtst0limtsdd四、点的加速度tddva（1）反映速度大小变化的加速度attvaτ显然at是一个沿轨迹切线的矢量，因此称为切向加速度(tangentialacceleration)。0v0v如at指向轨迹的正向；at指向轨迹的负向。令svatat是一个代数量，是加速度a沿轨迹切向的投影。由此可得结论：切向加速度反映点的速度值对时间的变化率，它的代数值等于速度的代数值对时间的一阶导数，或弧坐标对时间的二阶导数，它的方向沿轨迹切线。如τtvddtvddτ（2）反映速度方向变化的加速度antvddnτa它反映速度方向τ的变化。上式可改写为tssvddddnτa得na2nv于是可得结论：法向加速度反映点的速度方向改变的快慢程度，它的大小等于点的速度平方除以曲率半径，它的方向沿着主法线，指向曲率中心。有此可见,an的方向与主法线的正向一致,称为法向加速度(normalacceleration)。当速度v与切向加速度at指向相同时，速度的绝对值不断增加，点作加速运动；当速度v与切向加速度at指向相反时，速度的绝对值不断减小，点作减速运动。ntaaa式中dtdvat由于at，an均在密切面内，因此全加速度a也必在密切面内。这表明加速度沿副法线上的分量为零，即0ba全加速度的大小可由下式求出2n2taaa它与法线间的夹角的正切为nttanaanτntaa2nva匀变速曲线运动几种特殊情况：匀速曲线运动直线运动曲率半径任何瞬时点的法向加速度始终为零。v=常量vtss0at=常量tavvt02t0021tatvss)(20t202ssavvt4例：曲柄摇杆机构，曲柄长OA=10cm，绕O轴转动，角O1O=10cm。求B点的运动方程、速度及加速度。（rad）(时间t的单位为s)，摇杆O1B=24cm，距离解：B点的运动轨迹是以O1B为半径的圆弧,t=0时,B点在B0处。取B0为弧坐标原点。则B点的弧坐标BOs1由于ΔOAO1是等腰的,则φ=2θ，故21BOs这就是B点的运动方程。tsvdd22tddtsanaa其方向如图。t824cm3t3cm/s42.902v24)3(22cm/s7.3可见，B点作匀速圆周运动。于是B点的速度及加速度为va例6杆AB绕A点转动时，带动套在半径为R的固定大圆环上的小护环M运动，已知φ＝ωt(ω为常数)。求小环M的运动方程、速度和加速度。解：建立如图所示的直角坐标系。则即为小环M的运动方程。tRxvx2cos2tRyvy2sin2ABMOxy2故M点的速度大小为Rvvvyx222cos2yRsin2=Rtsin2xRcos2Rt其方向余弦为cos(,)cos2xvvvicos(,)sin2yvvvjxtRvaxx2242sin4ytRvayy2242cos4故M点的加速度大小为2224Raaayx2222444()4xyxyaijijrABMOxy2vxvyvaMMRo例7半径为R的轮子沿直线轨道纯滚动(无滑动地滚动)。设轮子保持在同一竖直平面内运动，，试分析轮子边缘一点M的运动。t解：取坐标系Axy如图所示，并设M点所在的一个最低位置为原点A，则当轮子转过一个角度后，M点坐标为)sin(sinROMACx)cos1(cosROMOCy这是旋轮线的参数方程。oRCAxyMM点的速度为：jRiRjyixv)sin()cos1(当M点与地面接触，即时，M点速度等于零。k2oRCAxyM22sincosaxiyjrtirtj解：取M点的直线轨迹为x轴，曲柄的转动中心O为坐标圆点。M点的坐标为：例1下图为偏心驱动油泵中的曲柄导杆机构。设曲柄OA长为r，自水平位置开始以匀角速度w转动，即φ＝ωt，滑槽K-K与导杆B-B制成一体。曲柄端点A通过滑块在滑槽K-K中滑动，因而曲柄带动导杆B-B作上下直线运动。试求导杆的运动方程，速度和加速度。sinsinxOMOArsinxrt将上式对时间求一阶导数和二阶导数得：dcosdxvrtt222ddsinddvxartttBABOKMKxx例2曲柄连杆机构是由曲柄、连杆及滑块组成的机构。当曲柄OA绕O轴转动时，由于连杆AB带动，滑块沿直线作往复运动。设曲柄OA长为r，以角速度w绕O轴转动，即φ＝ωt，连杆AB长为l。试求滑块B的运动方程、速度和加速度。解：取滑块B的直线轨迹为x轴，曲柄的转动中心O为坐标原点。在经过t秒后，此时B点的坐标为：coscosxOBOCCBrlABOClxx整理可得B的运动方程：lrtsin-1ltcosr22x由此可得滑块B的速度和加速度：d(sinsin2)d2xvrttt2d(coscos2)dvartt将右边最后一项展开：2(1)(coscos2)44xlrtt222244111sin1sinsin28ttttsin-1ltcosr22x例3一人高h2，在路灯下以匀速v1行走，灯距地面的高为h1，求人影的顶端M沿地面移动的速度。解:取坐标系x如图所示，由几何关系得:122MMhxhxx1212Mhxxhh上式对t求一阶导数，得M点的速度为:12112211Mvhhhxhhhxvh1h2xmx2Mxv1例4下图为料斗提升机示意图。料斗通过钢丝绳由绕水平轴O转动的卷筒提升。已知：卷筒的半径为R＝16cm，料斗沿铅垂提升的运动方程为y＝2t2，y以cm记，t以s计。求卷筒边缘一点M在t＝4s时的速度和加速度。OMRM'A0AM0y解：此时M点的切向加速度为：2td4cm/sdvatv＝4×4＝16c