机器人-03机器人运动学

工业机器人技术机械与汽车工程学院主讲：钱钧电邮：[e-mail]地址：机械楼108室2014年9月26日IndustrialRobotTechnology1待回答问题问题1：手在哪儿？问题2：怎样才能将手放到预期的位置？θ1θ2l1l2xyx,yEnd-effector末端执行器Arm手臂Jointvariables--End-effector’sposeConfigurationSpace--Workspace(关节空间--操作空间)Joint关节Manipulator操作臂2第三章工业机器人运动学机器人运动学(Kinematics)研究机器人关节变量（配置空间）与末端执行器位姿（操作空间）之间的几何关系位姿（pose）＝位置＋姿态对于一个刚体，若已知其上某一点的空间位置和该刚体的空间姿态，则该刚体在空间中完全定位运动学正问题：已知杆件参数和关节变量，求末端执行器的位姿？运动学逆问题：已知杆件参数和末端执行器的位姿，反推关节变量？3第三章工业机器人运动学3.1旋转矩阵和齐次变换矩阵3.2机器人位姿表示方法3.3机器人运动学方程43.1旋转矩阵和齐次变换矩阵3.1.1旋转矩阵R参考坐标系OXYZ，附体（动）坐标系OUVW空间中某点向量在不同坐标系中的位置表示：pxyz=(px,py,pz)Tpuvw=(pu,pv,pw)T旋转变换矩阵R用于进行坐标变换：pxyz=Rpuvw在三维坐标系中，R为3×3变换矩阵53.1旋转矩阵和齐次变换矩阵3.1.1旋转矩阵R绕OZ轴转动角的基本旋转矩阵：Rz,=分别绕OX、OY轴转动角的基本旋转矩阵：Rx,=Ry,=XYZOUVWpθcossin0sincos00011000cossin0sincoscos0sin010sin0cos63.1旋转矩阵和齐次变换矩阵3.1.1旋转矩阵R合成旋转矩阵附体坐标系OUVW相对于参考坐标系OXYZ依次做若干基本旋转变换，得到复合变换。两坐标系最初重合，旋转变换矩阵为单位阵I3。绝对变换：如果绕OXYZ坐标系（固定坐标系）某轴转动，则左乘旋转矩阵。相对变换：如果绕OUVW坐标系（自身坐标系）某轴转动，则右乘旋转矩阵。例如：R=Rz,I3Rw,φ73.1旋转矩阵和齐次变换矩阵3.1.1旋转矩阵R绕任意轴r转动φ角的旋转矩阵旋转r轴，使其与OZ轴重合；绕OZ轴转动φ角；使r轴旋转到其原先位置。Rr,φ=Rx,-αRy,βRz,φRy,-βRx,α由于r=(Rx,-αRy,β)z，则Rr,φ=(Rx,-αRy,β)Rz,φ(Rx,-αRy,β)TRef:SmithR,etal.AStochasticMapforUncertainSpatialRelationships.1987:467-474.参考：付京逊《机器人学》pp1583.1旋转矩阵和齐次变换矩阵3.1.1旋转矩阵R旋转矩阵的几何解释旋转矩阵对应动坐标系的主轴在参考坐标系中的向量表示。即：对于动坐标系OUVW中的主轴（基）向量:u=(1,0,0)T，v=(0,1,0)T，w=(0,0,1)T它们在参考坐标系OXYZ中的坐标向量分别等于旋转矩阵R中的第1~3列元素。由于R-1=RT，旋转矩阵的行向量对应参考坐标系的主轴在动坐标系中的向量表示。pxyz=Rpuvwpuvw=R-1pxyz=RTpxyz93.1旋转矩阵和齐次变换矩阵3.1.2齐次坐标用（N+1）维向量表示N维向量三维位置向量(px,py,pz)T的齐次向量表示为：p=(wpx,wpy,wpz,w)T其中，w为缩放比例因子，w0。由于w的值不同，向量的齐次坐标表示不唯一。在机器人学中，w≡1。此时，位置向量对应的齐次坐标与该向量的实际坐标相同。103.1旋转矩阵和齐次变换矩阵3.1.2齐次坐标用齐次坐标来描述坐标系主轴的方向，如：u=(1,0,0,0)Tv=(0,1,0,0)Tw=(0,0,1,0)T列阵(a,b,c,0)T中第四个元素为0,且a2+b2+c2=1,表示某轴(或某向量)的方向;列阵(a,b,c,1)T中第四个元素为1,表示空间中某点的位置。113.1旋转矩阵和齐次变换矩阵3.1.2齐次坐标目标物位姿表示任何一个物体在空间的位置和姿态可以用若干个齐次坐标的组合来表示。例如：楔块Q可用6个顶点的位置表示。Q=(46)111111000044002200111111123.1旋转矩阵和齐次变换矩阵3.1.2齐次坐标末端执行器的位姿由原点和三个单位向量唯一确定,即:原点:取手部中心点为原点OB;接近矢量a:关节轴方向的单位矢量;姿态矢量s:手指连线方向的单位矢量;法向矢量n:与机器人手指垂直。n=s×aT=0001nsapsna133.1旋转矩阵和齐次变换矩阵3.1.3齐次变换矩阵T是4×4矩阵，用于对以齐次坐标表示的位置向量p进行坐标系间的映射T==pxyz=TpuvwT==3*33*11*31*1Rpfw旋转矩阵位置向量透视变换比例因子0001xxxxyyyyzzzznsapnsapnsap0001nsap143.1旋转矩阵和齐次变换矩阵3.1.3齐次变换矩阵T基本齐次旋转矩阵Tz,Tz,=基本齐次平移矩阵TtranTtran=cossin00sincos00001000011000100010001dxdydz'100'010'001100011xdxxydyyzdzz例如：Rz,153.1旋转矩阵和齐次变换矩阵3.1.3齐次变换矩阵T齐次变换矩阵的几何解释：旋转＋平移T==动坐标系原点在参考坐标系中的位置为p旋转矩阵R对应动坐标系的主轴在参考坐标系中的向量表示。T-1=I00101pR0001TxyzTxyzTxyznnnsssaaanpspap0001nsapRT163.1旋转矩阵和齐次变换矩阵本节小结旋转矩阵R描述参考坐标系OXYZ与动坐标系OUVW之间的关系。pxyz=Rpuvw齐次变换矩阵T描述参考坐标系OXYZ与末端执行器坐标系之间的关系。pxyz=Tpuvw末端执行器的位姿T=0001nsap173.2机器人位姿表示方法3.2.1杆件、关节及其参数操作臂由一串用转动或平移关节连接的杆件（刚体）组成。每一对关节－杆件构成一个自由度。固定支座用0号杆件表示。第i个关节轴用于连接杆件i－1和i。杆件i最多与另外两个杆件i－1和i＋1相连。O0nasX0Y0Z0On杆件i关节i183.2机器人位姿表示方法3.2.1杆件、关节及其参数杆件的作用仅在于它能保持其两端关节间的形态不变。这种形态由两个参数决定：杆件的长度ai；杆件的扭转角iai——关节Ai轴和Ai+1轴线公法线的长度i——关节Ai轴和Ai+1轴线在垂直于ai平面内的夹角AiAi+1iia杆件i193.2机器人位姿表示方法3.2.1杆件、关节及其参数杆件相对位置关系由参数di和i决定杆件的距离di——从第i-1坐标系的原点到Zi-1轴和Ｘi轴的交点沿Zi-1轴测量的距离杆件的回转角i——绕Zi-1轴由Xi-1轴转向Xi轴的关节角AiAi+1Ai-1iia1iaiid杆件i杆件i-1203.2机器人位姿表示方法3.2.1杆件、关节及其参数杆件本身的参数杆件长度ai杆件两个关节轴的公垂线距离（x方向）杆件扭转角i杆件两个轴的夹角（x轴的扭转角）杆件之间的参数杆件之间的距离di相连两杆件公垂线距离（z方向平移距离）杆件之间的夹角i相连两杆件公垂线的夹角（z轴旋转角）qi关节变量213.2机器人位姿表示方法3.2.2D-H表示法Denavit和Hartenberg提出为每一杆件建立附体坐标系的矩阵方法，为每个关节处的杆件坐标系建立齐次变换矩阵，用于表示它与前一杆件坐标系的关系。在关节i+1处建立杆件坐标系(xi,yi,zi)，它固联在杆件i上。当关节i+1运动时，杆件i+1相对于杆件i运动。基座坐标定义为0号坐标系(x0,y0,z0)，手部坐标系随手一起运动。223.2机器人位姿表示方法3.2.2D-H表示法建立坐标系的原则原点Oi：设在ai与Ai+1轴线的交点上Zi轴：与Ai+1关节轴重合，指向任意Xi轴：与公法线ai重合，指向沿ai由Ai轴线指向Ai+1轴线Yi轴：按右手定则AiAi+1Ai-11iz1ix1iy1ioizixiyioiia1iaiid杆件i杆件i-1补充：1.第0号坐标系的Z0轴沿着第一个关节的运动轴；2.最后一个坐标系的Xn轴与Zi-1轴垂直。233.2机器人位姿表示方法3.2.2D-H表示法两个关节轴相交，建立坐标系的原则原点Oi：Ai与Ai+1关节轴线的交点Zi轴：Ai+1关节轴线Xi轴：Zi-1与Zi构成的面的法线Yi轴：按右手定则xiyizizi-1Oi243.2机器人位姿表示方法3.2.2D-H表示法两个关节轴平行，建立坐标系的步骤依次建立第i-1、i+1、i个坐标系（Ai//Ai+1）253.2机器人位姿表示方法3.2.2D-H表示法总结建立坐标系的步骤1.Zi轴方向：与Ai+1关节轴重合，指向任意2.Xi轴：与公法线ai重合，指向沿ai由Ai轴线指向Ai+1轴线3.原点Oi：Xi轴与轴线Ai+1的交点4.调整Zi轴的起始位置至原点Oi处5.Yi轴：按右手定则AiAi+1Ai-11iz1ix1iy1ioizixiyioiia1iaiid杆件i杆件i-1263.2机器人位姿表示方法3.2.2D-H表示法杆件参数与坐标系之间的关系ai—沿Xi轴，Zi-1轴与Xi轴交点到Oi的距离i—绕Xi轴，由Zi-1转向Zidi—沿Zi-1轴，Zi-1轴和Xi交点至Oi-1的距离i—绕Zi-1轴，由Xi-1转向XiAiAi+1Ai-11iz1ix1iy1ioizixiyioiia1iaiid杆件i杆件i-1273.2机器人位姿表示方法3.2.2D-H表示法相邻杆件坐标系之间的变换过程将Xi-1轴绕Zi-1轴转i角，将其与Xi轴对准；沿Zi-1轴平移距离di，使Xi-1轴与Xi轴重合；沿Xi轴平移距离ai，使两坐标系原点及X轴重合；绕Xi轴转i角度．经过上述四步，两坐标系完全重合Tz,dTz,Tx,aTx,AiAi+1Ai-11iz1ix1iy1ioizixiyioiia1iaiid杆件i杆件i-1283.2机器人位姿表示方法3.2.2D-H表示法D-H变换矩阵（合成齐次变换矩阵）i-1Ai=Tz,dTz,Tx,aTx,=当机器人仅有一个自由度时，末端执行器的位姿为：=0A1cossincossinsincossincoscoscossinsin0sincos0001iiiiiiiiiiiiiiiiiaadAiAi+1Ai-11iz1ix1iy1ioizixiyioiia1iaiid杆件i杆件i-10001nsap293.3机器人运动学方程3.3.1机器人坐标系建立实例SCARA机器人Stanford机器人PUMA机器人303.3机器人运动学方程3.3.1机器人坐标系建立实例SCARA机器人关节1关节2关节3关节4杆件1杆件2杆件3杆件4Z轴X轴313.3机器人运动学方程