LT的定义与收敛域

第四章连续时间系统的拉普拉斯变换分析§4-1拉普拉斯变换的定义与收敛域§4-2拉普拉斯变换的基本性质§4-3拉普拉斯反变换§4-4LTI系统的拉普拉斯变换分析§4-5系统函数§4-6系统函数与系统的频响特性§4-7系统稳定性的s域描述§4-8拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系§4-1拉普拉斯变换的定义与收敛域一、拉普拉斯变换的定义由第三章我们知道，当一复指数时间信号作用于线性时不变系统时，其输出仍然是此复指数时间信号，只是幅度与相位被改变。tje)(th)()(thetytjtjethty)()(dehtj)()(dehejtj)(tjejH)()]([)(tjejH一般，一时间信号作用于系统，其输出若仍然是此时间信号，只是幅度与相位被改变，称此时间信号为系统的特征信号，表征被改变的幅度和相位的函数，称为系统的特征值或系统函数。所以信号ejΩt是系统的特征信号，函数H(jΩ)，是系统的特征值或系统函数，也称为系统的频率响应。它是系统单位冲激响应h(t)的傅里叶变换。事实上，指数信号est也是系统的特征信号，因为stethty)()(dehts)()(dehesst)(stesH)(ste)(th)()(thetyststesH)(这里如果s=σ+jΩ，(σ是实数，可表示为Re{s})dtethsHst)()(是系统单位冲激响应的拉普拉斯变换，也称系统的系统函数。一般的，信号x(t)的拉普拉斯变换，定义为dtetxsXst)()(记为)()(sXtxLT)(sXℒ)}({tx或者例如:x(t)=e-αtu(t),求其拉普拉斯变换X(s)。dtetxsXst)()(解:由定义dtetuestt)(0dteestt0)(dtets当Re{α+s}=α+σ0，以上积分可积0)()(1)(tsessX)(1s,)(1)(stueLTt所以Re{s},事实上，信号x(t)的拉普拉斯变换dtetxst)(dtetxtj)()(dteetxtjt)(ℱtetx)(是信号x(t)e-σt的傅里叶变换。使信号x(t)e-σt满足绝对可积的σ的值域，是X(s)的收敛域。由傅里叶反变换式：)(jX)(sXℒ)}({txdejXetxtjt)(21)(deejXtxtjt)(21)(jjstdjesXj)(21jjstjdesXj)()(21jjstdsesXj)(21ℒ-1)}({sX从以上分析，拉普拉斯变换可以看成是傅里叶变换的推广。它们之间，在表达式和基本性质上有许多类似。ℱ)(jX)(txdtetxtj)(dtetxst)()(sXℒ)}({txℱ-1)(tx)(jXdejXtj)(21)(txℒ-1)}({sXjjstdsesXj)(21但是，它们之间，存在着明显的差别。首先是自变量不同，傅里叶变换的自变量Ω是一个实变量，它有明确的物理意义--频率；拉普拉斯变换的自变量s是一个复变量：s=σ+jΩ，其物理意义不明确，通常称其为复频率。信号的傅里叶变换反映了不同频率分量的振幅大小与起始相位的值，即信号的频谱；系统单位冲激响应的傅里叶变换，称作系统的频率响应，它表示不同频率的正余弦信号作用于系统时，系统输出的幅度与相位随输入频率改变而改变的特性。信号的拉氏变换就没有向傅里叶变换那样明确的物理意义；系统单位冲激响应的拉氏变换，称为系统的系统函数，它虽然较抽象，但是在表征系统特性及系统分析时起重要的作用。其次是它们的应用各有侧重，傅里叶变换主要应用于信号与系统的频率分析，如调制、滤波、抽样等的频谱分析；而拉普拉斯变换主要应用于微分方程的求解、系统函数及其零极点分析等。dtetxsXst)()(解:由定义dtetuestt)(0dteestt0)(dtets当Re{α+s}=α+σ0，以上积分才可积由前例可知，拉普拉斯变换的存在伴随着条件，就是它的收敛域。二、拉普拉斯变换的收敛域例如:x(t)=-e-αtu(-t),求其拉普拉斯变换X(s)。0)()(1)(tsessX)(1s,)(1)(stueLTt所以Re{s},前例已知)(1)(stueLTtRe{s},相同的拉普拉斯变换式，因为收敛域不同，表示不同的时间信号。因此，在由拉普拉斯变换表示其原信号时，必须给定它的收敛域，否则不能确定原信号。我们把收敛域表示在s平面上。s平面是一个复平面，σ轴是实轴，虚轴用jΩ来记。平面上不同的点s，对应着不同的时间信号est。tjstee)(tjtee)sin(costjtet信号est，表示的是幅度按指数变化的正余弦信号。越远离实轴的点，表示信号变化的频率越高；越远离虚轴的点，表示信号幅度增长或衰减的越快。实轴上的点，表示单调指数变化的信号；虚轴上的点，表示等幅振荡的正余弦信号。j以上两信号LT的收敛域，表示在s平面上如下图所示。j)(tuet拉氏变换收敛域j)(tuet拉氏变换收敛域以上两信号的LT收敛域，均是在s平面上的半个开平面。-α称为它们的收敛坐标，Re{s}=-α称为它们的收敛轴或收敛域边界，Re{s}-α与Re{s}-α分别是它们的收敛域。例如:求以下信号拉普拉斯变换，并指出其收敛域。dtetxsXst)()(解:由定义dtetueesttt)()(2020dteedteesttstt前项当Re{1+s}=1+σ0，以上积分可积11s1}Re{s)()()(2tuetuetxtt收敛域为后一项当Re{2+s}=2+σ0，以上积分可积j121s2}Re{s收敛域为于是，整个函数的拉氏变换为：2111)(sssX)2)(1(1ss收敛域为1}Re{s即信号拉氏变换的收敛域为两部分收敛域的公共区域。j12信号拉氏变换的收敛域与信号本身的形态有关，根据拉氏变换的定义，一般信号拉氏变换的存在应满足条件：&0)(limttetx0)(limttetx当信号是一右边信号，即tt0，x(t)=0，其拉氏变换：0)()(tstdtetxsX0)(ttjtdteetx0t)(txt如果，σ0使上式满足绝对可积，即存在，则收敛域为0}Re{sj000)()()(0ttjtdteetxjXsX当信号是一左边信号，即tt0，x(t)=0，其拉氏变换：0)()(tstdtetxsX0)(ttjtdteetx0t)(txt如果，σ1使上式满足绝对可积，即00)(ttjtdteetx00)(ttdtetx使存在，则收敛域为1}Re{sj101)()()(1ttjtdteetxjXsX当信号是一双边信号，其拉氏变换：dtetxsXst)()(00)()(dteetxdteetxtjttjt如果，σ0使上式第二项满足绝对可积，σ1使上式第一项满足绝对0)(txt可积，即0001)()()(dteetxdteetxsXtjttjt若σ0σ1，以上X(s)不存在；若σ0σ1，以上X(s)存在，且收敛域为：σ0Re{s}σ1；j10j10当信号是一时限信号，即t0tt1，x(t)=0，其拉氏变换：dtetxsXst)()(10)(ttstdtetx0t)(txt1t此时，若x(t)是绝对可积的，x(t)e-σt总是满足绝对可积的，所以其拉氏变换在整个s平面上均存在，即收敛域是s全平面。10)(tttjtdteetx三、单边拉普拉斯变换以下介绍的常见信号的拉普拉斯变换，均是指单边拉氏变换。本章及以后各章，在没有特别提到，均是指单边拉氏变换。在系统分析时，我们常常用的是单边拉普拉斯变换：0)()(dtetxsXst因为，实际系统是因果的，信号总是在某个时刻才开始作用于系统，我们可以把这个时刻看作t=0；以上定义式中的积分的下限取0-，考虑变换对冲激信号也是有效的；由以上收敛域的分析，单边拉氏变换的收敛域是收敛轴的右半平面：Re{s}σ0，以后一般不具体标示变换的收敛域。0)(txt可以证明，信号tnu(t)的拉氏变换：4、单边指数信号ℒ)}({tutn0)(dtetutstn0dtetstn1!nsnℒ)}({tuet0dteestts1同样ℒ)}({0tuetj01jsℒ)}({0tuetj01js所以ℒ)}({cos0ttu202ssℒ)}({sin0ttu2020s