正方形的性质和判定(含解析)

子轩教育试卷第1/9页正方形的性质和判定一、选择题1、下列命题是真命题的是（）A．四边都相等的四边形是矩形B．菱形的对角线相等C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D．对角线相等的梯形是等腰梯形二、填空题2、如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则的值等于__________三、解答题3、已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．（1）求证：AP=BQ；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．子轩教育试卷第2/9页4、如图，四边形ABCD为菱形，E为对角线AC上的一个动点，连结DE并延长交射线AB于点F，连结BE．（1）求证：∠AFD=∠EBC；（2）若∠DAB=90°，当△BEF为等腰三角形时，求∠EFB的度数．5、如图，正方形ABCD的边长为8cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的动点，且AE=BF=CG=DH.（1）求证：四边形EFGH是正方形；（2）判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由；（3）求四边形EFGH面积的最小值。6、如图，四边形ABCD为矩形，E是BC延长线上一点，AE交CD于点G，F是AE上一点，并且AC=CF=EF，∠AEB=15°．（1）求∠ACF的度数；（2）证明：矩形ABCD为正方形．子轩教育试卷第3/9页7、如图1，正方形,ABCD中，AC是对角线，等腰RT△CMN中，∠CMN=90°，CM=MN，点M在CD边上；连接AN，点E是AN的中点，连接BE．（1）若CM＝２，AB=6，求AE的值；（2）求证：２BE=AC+CN；（3）当等腰RT△CMN的点M落在正方形ABCD的BC边上，如图2，连接AN，点E是AN的中点，连接BE，延长NM交AC于点F．请探究线段BE、AC、CN的数量关系，并证明你的结论．子轩教育试卷第4/9页正方形的性质和判定的答案和解析一、选择题1、答案：D试题分析：利用特殊的四边形的判定和性质定理逐一判断后即可确定正确的选项．试题解析：A、四条边都相等的是菱形，故错误，是假命题；B、菱形的对角线互相垂直但不相等，故错误，是假命题；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形但不一定是正方形，故错误，是假命题；D、正确，是真命题．故选：D．二、填空题2、答案：试题分析：根据辅助线的性质得到∠ABD=∠CBD=45°，四边形MNPQ和AEFG均为正方形，推出△BEF与△BMN是等腰直角三角形，于是得到FE=BE=AE=AB，BM=MN=QM，同理DQ=MQ，即可得到结论。解：在正方形ABCD中，∵∠ABD=∠CBD=45°，∵四边形MNPQ和AEFG均为正方形，∴∠BEF=∠AEF=90°，∠BMN=∠QMN=90°，∴△BEF与△BMN是等腰直角三角形，∴FE=BE=AE=AB，BM=MN=QM，同理DQ=MQ，∴MN=BD=AB，∴==，故答案为：．三、解答题3、答案：（1）见解析过程子轩教育试卷第5/9页（2）AQ-AP=PQ，AQ-BQ=PQ，DP-AP=PQ，DP-BQ=PQ试题分析：（1）根据正方形的性质得出AD=BA，∠BAQ=∠ADP，再根据已知条件得到∠AQB=∠DPA，判定△AQB≌△DPA并得出结论；（2）根据AQ-AP=PQ和全等三角形的对应边相等进行判断分析．（1）证明：∵正方形ABCD∴AD=BA，∠BAD=90°，即∠BAQ+∠DAP=90°，∵DP⊥AQ，∴∠ADP+∠DAP=90°，∴∠BAQ=∠ADP，∵AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P，∴∠AQB=∠DPA=90°，∴△AQB≌△DPA（AAS），∴AP=BQ；（2）解：①AQ-AP=PQ，②AQ-BQ=PQ，③DP-AP=PQ，④DP-BQ=PQ.4、答案：试题分析：（1）直接利用全等三角形的判定方法得出△DCE≌△BCE（SAS），即可得出答案；（2）利用正方形的性质结合等腰三角形的性质得出：①当F在AB延长线上时；②当F在线段AB上时；分别求出即可．试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴CD=AB，∠ACD=∠ACB，在△DCE和△BCE中，∴△DCE≌△BCE（SAS），∴∠CDE=∠CBE，∵CD∥AB，∴∠CDE=∠AFD，∴∠EBC=∠AFD；（2）分两种情况：①如图1，当F在AB延长线上时，子轩教育试卷第6/9页∵∠EBF为钝角，∴只能是BE=BF，设∠BEF=∠BFE=x°，可通过三角形内角形为180°得：90+x+x+x=180，解得：x=30，∴∠EFB=30°；②如图2，当F在线段AB上时，∵∠EFB为钝角，∴只能是FE=FB，设∠BEF=∠EBF=x°，则有∠AFD=2x°，可证得：∠AFD=∠FDC=∠CBE，得x+2x=90，解得：x=30，∴∠EFB=120°．综上：∠EFB=30°或120°．5、答案：（1）证明见解析（2）直线EG经过一个定点，这个定点为正方形的中心（AC、BD的交点）；理由见解析（3）32试题分析：（1）由正方形的性质得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，证出AH=BE=CF=DG，由SAS证明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，得出EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，证出四边形EFGH是菱形，再证出∠HEF=90°，即可得出结论；（2）连接AC、EG，交点为O；先证明△AOE≌△COG，得出OA=OC，证出O为对角线AC、BD的交点，即O为正方形的中心；（3）设四边形EFGH面积为S，BE=xcm，则BF=（8-x）cm，由勾股定理得出S=+=+32，S是x的二次函数，容易得出四边形EFGH面积的最小值。（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，子轩教育试卷第7/9页∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，∵AE=BF=CG=DH，∴AH=BE=CF=DG，在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，，∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），∴EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，∴四边形EFGH是菱形，∵∠BEF+∠BFE=90°，∴∠BEF+∠AEH=90°，∴∠HEF=90°，∴四边形EFGH是正方形；（2）解：直线EG经过一个定点，这个定点为正方形的中心（AC、BD的交点）；理由如下：连接AC、EG，交点为O；如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠OAE=∠OCG，在△AOE和△COG中，，∴△AOE≌△COG（AAS），∴OA=OC，即O为AC的中点，∵正方形的对角线互相平分，∴O为对角线AC、BD的交点，即O为正方形的中心；（3）解：设四边形EFGH面积为S，设BE=xcm，则BF=（8-x）cm，根据勾股定理得：=+=+，∴S=+=+32，∵2＞0，子轩教育试卷第8/9页∴S有最小值，当x=4时，S的最小值=32，∴四边形EFGH面积的最小值为32.6、答案：试题分析：（1）利用矩形的性质可得∠DAG=∠AEB=15°，利用外角的性质和等腰三角形的性质可得∠AFC与∠CAF的度数，可得∠ACF；（2）由∠DAG=15°，∠FAC=30°，易得∠DAC=45°，可得∠ACD=∠DAC=45°，由等腰三角形的判定可得AD=CD，由正方形的判定定理证得结论．试题解析：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∠D=90°，∴∠DAG=∠AEB=15°，∵CF=EF，∴∠FCE=∠AEB=15°，∴∠AFC=∠FCE+∠AEB=30°，∵AC=CF，∴∠FAC=∠AFC=30°，∴∠ACF=18O°-∠FAC-∠AFC=120°；（2）由（1）知∠DAG=15°，∠FAC=30°，∴∠DAC=∠DAG+∠FAC=45°，∵∠D=90°，∴∠ACD=∠DAC=45°，∴AD=CD，∴矩形ABCD为正方形．7、答案：（1）2（2）BE＝AC+CN（3）BE＝（AC-CN）试题分析：（1）根据正方形的性质和等腰三角形的性质知∠ACN＝９０°，运用勾股定理计算即可。（2）延长NC与AB的延长线交于一点G，AC+CN转化为GN，运用三角形的中位线性质可证。（3）类比（2）易得BE=（AC-CN）.子轩教育试卷第9/9页解：(1）∵四边形ABCDj正方形，AB=6∴AC=6∵等腰RT△CMN中，∠CMN=90°，CM=MN，CM＝２∴AC＝２∵∠ACN=90°∴AN＝＝=4∵点E是AN的中点∴AE=2（2）如图①，延长NC与AB的延长线交于一点G，则△ACG是等腰直角三角形，B为AG的中点∴AC=CG∴GN=AC+CN∵点E是AN的中点，∴BE=GN∴BE＝AC+CN（3）如图②，延长CN与AB的延长线交于一点G，则△ACG是等腰直角三角形，B为AG的中点∴AC=CG∴GN=AC+CN∵点E是AN的中点，∴BE=GN∴BE＝（AC-CN）