《余弦定理》导学案2--学生版

1《余弦定理》导学案2姓名:一、知识复习1．在△ABC中，边a、b、c所对的角分别为A、B、C，则有：(1)A＋B＋C＝________，A＋B2＝________________.(2)sin(A＋B)＝__________，cos(A＋B)＝__________，tan(A＋B)＝____________.(3)sinA＋B2＝____________，cosA＋B2＝____________.2．正弦定理及其变形(1)asinA＝bsinB＝csinC＝________.(2)a＝__________，b＝__________，c＝____________.(3)sinA＝____________，sinB＝____________，sinC＝____________.(4)sinA∶sinB∶sinC＝____________.3．余弦定理及其推论(1)a2＝________________.(2)cosA＝________________.(3)在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为____________；c2a2＋b2⇔C为____________；c2a2＋b2⇔C为________．二、典型问题讲练知识点一利用正、余弦定理证明三角恒等式例1在△ABC中，求证：tanAtanB＝a2＋c2－b2b2＋c2－a2.总结证明三角恒等式关键是消除等号两端三角函数式的差异．形式上一般有：左⇒右；右⇒左或左⇒中⇐右三种．变式训练1在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，求证：cosBcosC＝c－bcosAb－ccosA.知识点二利用正、余弦定理判断三角形形状2例2在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．总结题中边的大小没有明确给出，而是通过一个关系式来确定的，可以考虑利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，也可以利用余弦定理将边、角关系转化为边的关系来判断．变式训练2在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sinA＝2sinBcosC，试确定△ABC的形状．知识点三利用正、余弦定理解关于三角形的综合问题例3在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，cosB＝35，且AB→·BC→＝－21.(1)求△ABC的面积；(2)若a＝7，求角C.总结这是一道向量，正、余弦定理的综合题，解题的关键是化去向量的“伪装”，找到三角形的边角关系．变练3△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b2＝ac且cosB＝34.(1)求1tanA＋1tanC的值；3(2)设BA→·BC→＝32，求a＋c的值．三、小结1．解斜三角形的常见类型及解法在三角形的6个元素中要已知三个(至少有一边)才能求解，常见类型及其解法见下表：已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a，B，C)正弦定理由A＋B＋C＝180°，求角A；由正弦定理求出b与c.在有解时只有一解．两边和夹角(如a，b，C)余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由A＋B＋C＝180°求出另一角．在有解时只有一解．三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A、B；再利用A＋B＋C＝180°，求出角C.在有解时只有一解．两边和其中一边的对角(如a，b，A)正弦定理余弦定理由正弦定理求出角B；由A＋B＋C＝180°，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c.可有两解、一解或无解.2.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.作业设计:一、选择题1．已知a、b、c为△ABC的三边长，若满足(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则∠C的大小为()A．60°B．90°C．120°D．150°2．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是()A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形3.在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，则这个三角形的最小外角为()A．30°B．60°C．90°D．120°4．△ABC的三边分别为a，b，c且满足b2＝ac,2b＝a＋c，则此三角形是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形5．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C＝120°，c＝2a，则()A．abB．abC．a＝bD．a与b的大小关系不能确定6．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加的长度确定4二、填空题7．在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则边c＝________.8．设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，那么a的取值范围是________．9．已知△ABC的面积为23，BC＝5，A＝60°，则△ABC的周长是________．10．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝3，则△ABC外接圆的面积是________．三、解答题11．在△ABC中，求证：a2－b2c2＝sinA－BsinC.12.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边的长，cosB=53，且AB·BC＝－21.(1)求△ABC的面积；(2)若a＝7，求角C.13．△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b2＝ac且cosB＝34.(1)求1tanA＋1tanC的值；（2）设BA·BC=23，求a+c的值.