一--曲线的参数方程

第二讲参数方程一曲线的参数方程1、参数方程的概念：如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行.为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时时机呢？提示：即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始投放物资？？救援点投放点1、参数方程的概念：xy500o物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：（1）沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动；（2）沿oy反方向作自由落体运动。如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行.为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？xy500o0,y令10.10.ts得100,1010.xtxm代入得.1010所m以，飞行员在离救援点的水平距离约为时投放物资，可以使其准确落在指定位置txy解：物资出舱后，设在时刻，水平位移为，垂直高度为，所以2100,1500.2xtygt)2（g=9.8m/s1、参数方程的概念：如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行.为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？一、方程组有3个变量，其中的x,y表示点的坐标，变量t叫做参变量，而且x,y分别是t的函数。二、由物理知识可知，物体的位置由时间t唯一决定，从数学角度看，这就是点M的坐标x,y由t唯一确定，这样当t在允许值范围内连续变化时，x,y的值也随之连续地变化，于是就可以连续地描绘出点的轨迹。三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组的有序实数对（x,y）之间有一一对应关系。(),().xftygt（2）并且对于t的每一个允许值,由方程组(2)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程(2)就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。关于参数几点说明：参数是联系变数x,y的桥梁,1.参数方程中参数可以是有物理意义,几何意义,也可以没有明显意义。2.同一曲线选取参数不同,曲线参数方程形式也不一样3.在实际问题中要确定参数的取值范围1、参数方程的概念：一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数例1:已知曲线C的参数方程是（1）判断点M1(0,1)，M2(5,4)与曲线C的位置关系；（2）已知点M3(6,a)在曲线C上,求a的值。23,()21.xttyt为参数一架救援飞机以100m/s的速度作水平直线飞行.在离灾区指定目标1000m时投放救援物资（不计空气阻力,重力加速g=10m/s）问此时飞机的飞行高度约是多少？（精确到1m）变式:2、方程所表示的曲线上一点的坐标是（）练习1sin,(cosxy为参数）A、（2，7）；B、C、D、（1，0）12(,);3311(,);221、曲线与x轴的交点坐标是()A、（1，4）；B、C、D、21,(43xttyt为参数）25(,0);16(1,3);25(,0);16B已知曲线C的参数方程是点M(5,4)在该曲线上.（1）求常数a;（2）求曲线C的普通方程.212,().xttyat为参数,aR解:(1)由题意可知:1+2t=5at2=4解得:a=1t=2∴a=1(2)由已知及(1)可得,曲线C的方程为:x=1+2ty=t2由第一个方程得:12xt代入第二个方程得:21(),2xy2(1)4xy为所求.训练2：思考题：动点M作等速直线运动,它在x轴和y轴方向的速度分别为5和12,运动开始时位于点P(1,2),求点M的轨迹参数方程。解：设动点M(x,y)运动时间为t，依题意，得tytx12251所以，点M的轨迹参数方程为tytx12251参数方程求法:（1）建立直角坐标系,设曲线上任一点P坐标为(x,y)（2）选取适当的参数（3）根据已知条件和图形的几何性质,物理意义,建立点P坐标与参数的函数式（4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程小结：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数(),().xftygt（2）并且对于t的每一个允许值，由方程组（2）所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程（2）就叫做这条曲线的参数方程，系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。2、圆的参数方程yxorM(x,y)0M)()(sincos{sin,cos),(速圆周运动的时刻质点作匀有明确的物理意义程。其中参数的圆的参数方，半径为这就是圆心在原点为参数即角函数的定义有：，那么由三＝，设＝，那么，坐标是转过的角度是，点如果在时刻trOttrytrxrytrxtrOMtyxMMt转过的角度。的位置时，到逆时针旋转绕点的几何意义是其中参数的圆的参数方程，半径为这也是圆心在原点为参数为参数，于是有，也可以取＝考虑到00)(sincos{OMOMOOMrOryrxt圆的参数方程的一般形式么样的呢？的圆的参数方程又是怎半径为那么，圆心在点普通方程是的参数方程，它对应的以上是圆心在原点的圆ryxoryx),(,002222220000cos{()s()()inxxyxxryyyrr对应的普通方程为为参数由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程，一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到的参数方程也可以有不同的形式，形式不同的参数方程，它们表示的曲线可以是相同的，另外，在建立曲线的参数参数时，要注明参数及参数的取值范围。例、已知圆方程x2+y2+2x-6y+9=0，将它化为参数方程。解：x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，（x+1）2+（y-3）2=1，∴参数方程为sin3cos1yx(θ为参数)例2如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。yoxPMQ)(sin3cos{sin2sin2,3cos26cos2),sin2,cos2(,),(为参数的轨迹的参数方程是所以，点由中点坐标公式得：的坐标是则点，的坐标是解：设点yxMyxPxOPyxM径，并化为普通方程。表示圆的圆心坐标、半所为参数、指出参数方程)(sin235cos2{2yx4)3()5(22yx_____________4)0(sin2cos{3，则圆心坐标是是的直径为参数，、圆rrryrrx（2，1）参数方程和普通方程的互化例3：把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？1sincos(1)().(2)()1sin2123cos(3)().sinxtxtyytxy为参数为参数为参数1.将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型。2.曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式。3.在参数方程与普通方程的互化中，必须使x、y的取值范围保持一致。代入(消参数)法恒等式(消参数)法曲线C的普通方程和参数方程是曲线C的两种不同代数形式，以本质上讲它们是互相联系的，一般可以进行互化.通常使用代入消参，加减消参，使用三角公式消参。曲线的参数方程曲线的普通方程.消去参数引入参数说明:把参数方程化为普通方程,常用方法有:(1)代入(消参数)法(2)加减(消参数)法(3)借用代数或三角恒等式(消参数)法常见的代数恒等式:22222222222222222211(1)()()42(2)()()12(3)()()1tttttaattatataattata在消参过程中注意变量x、y取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定f(t)和g(t)值域得x、y的取值范围。如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x=f(t),把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y=g(t)，那么)()({tgytfx这就是曲线的参数方程。二、普通方程参数方程例4(1)设x=3cos，为参数；22194xy求椭圆的参数方程。)(sin2cos3{149,sin2sin2sin4)cos1(4,149cos9cos312222222为参数的参数方程是所以椭圆的任意性，可取由参数即所以代入椭圆方程，得到）把解：（yxyxyyyyx例4(1)设x=3cos，为参数；22194xy求椭圆的参数方程。还有其它方法吗？例4(1)设x=3cos，为参数；22194xy求椭圆的参数方程。22cossin1cos,sin3cos2sinxyxy令32为参数法二：2.tt(2)设y=，为参数tytxttytxyxtxtxtxty213{)(213{14913),1(9144922222222222和为参数的参数方程是所以，椭圆于是代入椭圆方程，得）把（思考：为什么(2)中的两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？2.tt(2)设y=，为参数分别对应了椭圆在y轴的右，左两部分。（1）判断点P1（1，2），P2（0，1）与曲线C的位置关系（2）点Q(2,a)在曲线l上，求a的值.（3）化为普通方程，并作图（4）若t≥0，化为普通方程，并作图.补例1．已知曲线C的参数方程为1322tytx（t为参数）3321132212tttt分析与解答:（1）若点P在曲线上，则可以用参数t表示出x,y，即可以求出相应t值.所以，令∴t无解，∴点P1不在曲线C上.0131202ttt同理，令∴点P2在曲线C上.（2）∵Q在曲线C上，2221431ttaat2xt（3）将代入y=3t2+11432xy,如图.（4）∵t≥0,∴x=2t≥0,y=3t2+1≥1,消去t，得：1432xy∴t≥0时，曲线C的普通方程为1432xy(x≥0,y≥1).1432xy点评:在（4）中，曲线C的普通方程的范围也可以只写出x≥0,但不能写成y≥1，这是因为是以x为自变量，y为因变量的函数，由x的范围可以确定y的取值范围，但反过来不行.即:所得曲线方程为y=f(x)或x=g(y)形式时，可以只写出自变量的范围，但对于非函数形式的方程，即F(x,y)=0，一般来说，x,y的范围都应标注出来.（1）互化时，必须使坐标x,y的取值范围在互化前后保持不变，否则，互化就是不等价的.如曲线y=x2的一种参数方程是（）2224sin.;.;.;sinxtxtxtxtABCDytytytyt分析:在y=x2中，x∈R,y≥0，在A、B、C中，x,y的范围都发生了变化，因而与y=x2不等价，而在D中，x,y范围与y=x2中x,y的范围相同，且以x=t,y=t2代入y=x2后满足该方程，从而D是曲线y=x2的一种参数方程.（2）在求x,y的取值范围时，常常需用求函数值域的各种方法。如利用单调性求函数值域，二次函数在有限区间上求值域，三角函数求值域，判别式法求值域等。注意:解：y=cos2θ=1-2sin2θ=1-2x2∴应选C.补例2方程sincos2xy所表示的曲线一个点的坐标是()(θ为参数)1211.(2,7);.(,);.(,);.(1,0).3322ABCD补例3.参数方程cos1sincos1cosyx（θ为参数）化成普通方程为.补例4：下列参数方程(t为参数)与普通方程x2-y=0表示