2020届中考数学二轮重难题型突破二-二次函数与角度问题(含答案)

2020届中考数学二轮重难题型类型二二次函数与角度问题例1、已知抛物线2yaxbxc的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点(0C，3)，过点C作x轴的平行线与抛物线交于点D，抛物线的顶点为M，直线5yx经过D、M两点.（1）求此抛物线的解析式；（2）连接AM、AC、BC，试比较MAB和ACB的大小，并说明你的理由.【答案】解：（1）∵CD∥x轴且点C（0，3），∴设点D的坐标为(x，3)．∵直线y=x+5经过D点，∴3=x+5．∴x=－2．即点D(－2，3)．根据抛物线的对称性，设顶点的坐标为M（－1，y），又∵直线y=x+5经过M点，∴y=－1+5，y=4．即M（－1，4）．∴设抛物线的解析式为2(1)4yax．∵点C（0，3）在抛物线上，∴a=－1．即抛物线的解析式为223yxx．…………3分（2）作BP⊥AC于点P，MN⊥AB于点N．由（1）中抛物线223yxx可得点A（－3，0），B（1，0），∴AB=4，AO=CO=3，AC=32．∴∠PAB＝45°．∵∠ABP=45°，∴PA=PB=22．∴PC=AC－PA=2．在Rt△BPC中，tan∠BCP=PBPC=2．在Rt△ANM中，∵M（-1，4），∴MN=4．∴AN=2．tan∠NAM=MNAN=2．xy8834567217564321-10-9-1-2-4-3-5-6-7-8-8-7-6-5-3-4-2-1O∴∠BCP＝∠NAM．即∠ACB＝∠MAB．例2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线23yaxbx经过点N（2,－5），过点N作x轴的平行线交此抛物线左侧于点M，MN=6.（1）求此抛物线的解析式；（2）点P（x,y）为此抛物线上一动点，连接MP交此抛物线的对称轴于点D，当△DMN为直角三角形时，求点P的坐标；（3）设此抛物线与y轴交于点C，在此抛物线上是否存在点Q，使∠QMN=∠CNM？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.【答案】解：（1）∵32bxaxy过点M、N（2，－5），6MN，由题意，得M（4，5）.∴.53416,5324baba解得.2,1ba∴此抛物线的解析式为322xxy.…………………………………2分（2）设抛物线的对称轴1x交MN于点G，若△DMN为直角三角形，则32121MNGDGD.∴D1（1，2），2D（1，8）.………………………………………4分直线MD1为1xy，直线2MD为9xy.将P（x，322xx）分别代入直线MD1，xyP2D2D1GMNCOP12MD的解析式，得1322xxx①，9322xxx②.解①得11x，42x（舍），∴1P（1,0）.…………………………………5分解②得33x，44x（舍），∴2P（3,－12）.……………………………6分（3）设存在点Q（x，322xx），使得∠QMN=∠CNM.①若点Q在MN上方，过点Q作QH⊥MN，交MN于点H，则4tanCNMMHQH.即）（445322xxx.解得21x，42x（舍）.∴1Q（2，3）.……………………………7分②若点Q在MN下方，同理可得2Q（6，45）.…………………8分例3、平面直角坐标系xOy中，抛物线244yaxaxac与x轴交于点A、点B，与y轴的正半轴交于点C，点A的坐标为(1,0)，OB=OC，抛物线的顶点为D．(1)求此抛物线的解析式；(2)若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APB=∠ACB，求点P的坐标；(3)Q为线段BD上一点，点A关于∠AQB的平分线的对称点为A，若2QBQA，求点Q的坐标和此时△QAA的面积．xyHQMNCO【答案】（1）∵2244(2)yaxaxacaxc，∴抛物线的对称轴为直线2x．∵抛物线244yaxaxac与x轴交于点A、点B，点A的坐标为(1,0)，∴点B的坐标为(3,0)，OB＝3．……………1分可得该抛物线的解析式为(1)(3)yaxx．∵OB=OC，抛物线与y轴的正半轴交于点C，∴OC=3，点C的坐标为(0,3)．将点C的坐标代入该解析式，解得a=1．……2分∴此抛物线的解析式为243yxx．（如图9）……………………3分（2）作△ABC的外接圆☉E，设抛物线的对称轴与x轴的交点为点F，设☉E与抛物线的对称轴位于x轴上方的部分的交点为点1P，点1P关于x轴的对称点为点2P，点1P、点2P均为所求点.（如图10）可知圆心E必在AB边的垂直平分线即抛物线的对称轴直线2x上．∵1APB、ACB都是弧AB所对的圆周角，∴ACBBAP1，且射线FE上的其它点P都不满足ACBAPB．由（1）可知∠OBC=45°，AB=2，OF=2．可得圆心E也在BC边的垂直平分线即直线yx上．图9xyO1DCBA∴点E的坐标为(2,2)E．…………………………………………………4分∴由勾股定理得5EA．∴15EPEA．∴点1P的坐标为1(2,25)P．……………………………………………5分由对称性得点2P的坐标为2(2,25)P．………………………………6分∴符合题意的点P的坐标为1(2,25)P、2(2,25)P.（3）∵点B、D的坐标分别为(3,0)B、(2,1)D，可得直线BD的解析式为3yx，直线BD与x轴所夹的锐角为45°．∵点A关于∠AQB的平分线的对称点为A，（如图11）若设AA与∠AQB的平分线的交点为M，则有QAQA，AMAM，AAQM，Q，B，A三点在一条直线上．∵2QAQB，∴.2''QBQAQBQABA作AN⊥x轴于点N．∵点Q在线段BD上，Q，B，A三点在一条直线上，∴sin451ANBA，cos451BNBA．∴点A的坐标为(4,1)A．∵点Q在线段BD上，∴设点Q的坐标为(,3)Qxx，其中23x．∵QAQA，∴由勾股定理得2222(1)(3)(4)(31)xxxx．解得114x．经检验，114x在23x的范围内．∴点Q的坐标为111(,)44Q．……………………………………………7分此时1115()2(1)2244QAAAABQABAQSSSAByy．…8分例4、已知，抛物线cbxaxy2与x轴交于点A（－2,0）、B（8,0），与y轴交于点C（0，－4）。直线y=x+m与抛物线交于点D、E（D在E的左侧），与抛物线的对称点交于点F。（1）求抛物线的解析式；（2）当m=2时，求∠DCF的大小；（3）若在直线y=x+m下方的抛物线上存在点P，使∠DPF＝450，且满足条件的点P只有两个，则m的值为___________________.（第（3）问不要求写解答过程）【答案】解：（1）依题意，设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-8），∵抛物线与y轴交于点C（0，-4），∴-4=a（0+2）（0-8）．解得a=41．∴抛物线的解析式为y=41(x+2)(x-8)，即y=41x2-23x-4；（2）由（1）可得抛物线的对称轴为x=3，∵m=2，∴直线的解析式为y=x+2，∵直线y=x+2与抛物线交于点D、E，与抛物线的对称轴交于点F，∴F、D两点的坐标分别为F（3，5），D（-2，0）．设抛物线的对称轴与x轴的交点为M，可得CM=FM=MD=5，∴F、D、C三点在以M为圆心，半径为5的圆上．∴∠DCF=21∠DMF=45°．（3）由抛物线解析式可知，抛物线顶点坐标为G（3，-425）设F（3，3+m），则FG=m+3+425，设D关于对称轴的对称点为D1，当四边形DGD1F为正方形时，满足题意，此时P点与顶点G重合，或者与D1重合，故DD1=F′G，D点横坐标为：x=-（21F′G-3）=-8134m，纵坐标为-（21F′G-3-m）=8134m，将D点坐标抛物线解析式，解得m=-45．例5、如图，抛物线两点轴交于与BAxbxaxy,32，与y轴交于点C，且OAOCOB3．（I）求抛物线的解析式；（II）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点CAP,,为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由；（III）直线131xy交y轴于D点，E为抛物线顶点．若DBC，求,CBE的值．【答案】解：（I）3,032点轴交与抛物线Cybxaxy，且OAOCOB3．)0,3(,0,1BA．代入32bxaxy，得12030339abbaba322xxy（II）①当190,PAC时可证AOP1∽ACO31tantan11ACOAOPAOPRt中，．)31,0(1P②同理:如图当)0,9(9022PCAP时，③当)0,0(9033PACP时，综上，坐标轴上存在三个点P，使得以点CAP,,为顶点的三角形为直角三角形，分别是)31,0(1P)0,9(2P，)0,0(3P．（III）1,0,131Dxy得由．4,1322Exxy，得顶点由．∴52,2,23BECEBC．为直角三角形BCEBE,CEBC222．31tanCBCE．又31tanOBODDBODOBRt中．DBO．45OBCDBO．例6、如图⑴，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2＋8ax＋16a＋6经过点B（0，4）.⑴求抛物线的解析式；⑵设抛物线的顶点为D，过点D、B作直线交x轴于点A，点C在抛物线的对称轴上，且C点的纵坐标为-4，联结BC、AC.求证：△ABC是等腰直角三角形；⑶在⑵的条件下，将直线DB沿y轴向下平移，平移后的直线记为l，直线l与x轴、y轴分别交于点A′、B′，是否存在直线l，使△A′B′C是直角三角形，若存在求出l的解析式，若不存在，请说明理由．DCABOxy图（1）DCABOxy备用图【答案】⑴解：由题意知：4616a解得：a81∴抛物线的解析式为：4812xxy-------1分⑵证明：由抛物线的解析式知:顶点D坐标为（－4,6）∵点C的纵坐标为－4，且在抛物线的对称轴上∴C点坐标为(－4，－4)设直线BD解析式为：04kkxy有：44-6k，∴21k∴BD解析式为421xy∴直线BD与x轴的交点A的坐标为（8,0）过点C作CE⊥y轴于点E，则CE=4，BE=8又∵OB=4，OA=8,∴CE=OB,BE=OA,∠CEB=∠BOA=90°∴△CEB≌△BOA(SAS)-----------------------------2分∴CB=AB,∠1=∠2∵∠2+∠3=90°，∴∠2+∠3=90°∴∠1+∠3=90°，即∠ABC=90°∴△ABC是等腰直角三角形---------------------3分321EDCABOx⑶存在.①当∠CA′B′=90°时，如图1所示，∵A′B′∥AB∴∠OA′B′=∠BAO易证:∠ECA′=∠OA′B′∴∠ECA′=∠BAO∵tan∠BAO=21∴tan∠ECA′=21∴EA′=2∴A′坐标为(－2,0)∴直线l解析式为121xy------5分②当∠A′CB′=90°时，如图2所示，过点C作CE⊥y轴于点E，易证△A′FC≌△B′EC∴A′F=B′E∴由①tan∠B′A′O=21∴设B′坐标为（0，n）∴有2144nn∴38nB′坐标为（0，38）∴直线l解析式为3821xy------7分例7、已知：抛物线y＝－x2＋2x＋m-2交y轴于点A（0，2m-7）．与直线y＝2x交于点B、C（B在右、C在左