2020中考数学专题复习：二次函数与特殊三角形问题(含答案)

2020中考数学三轮培优冲刺二次函数与特殊三角形问题（含答案）1.已知抛物线过A(－2，0)，B(0，2)，C(32，0)三点．一动点P从原点出发以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，连接BP，过点A作直线BP的垂线交y轴于点Q，设点P的运动时间为t秒．(1)求该抛物线的解析式；(2)当BQ＝12AP时，求t的值；(3)随着点P的运动，抛物线上是否存在一点M，使△MPQ为等边三角形？若存在，请直接写出t的值及相应点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵抛物线经过A(－2，0)，B(0，2)，C(32，0)三点，∴4a－2b＋c＝0c＝294a＋32b＋c＝0，解得a＝－23b＝－13c＝2，∴抛物线的解析式为y＝－23x2－13x＋2.(2)如解图①，当t≤2时，点Q在点B下方，第1题解图①∵AQ⊥PB，BO⊥AP，∴∠AOQ＝∠BOP＝90°，∠PAQ＝∠PBO，∵AO＝BO＝2，∴△AOQ≌△BOP(ASA)，∴OQ＝OP＝t，BQ＝BO－OQ＝2－t，AP＝AO＋OP＝2＋t，∵BQ＝12AP,∴2－t＝12(2＋t)，解得t＝23；如解图②，当t＞2时，点Q在点B上方，第1题解图②同理可证△AOQ≌△BOP，∴OQ＝OP＝t，BQ＝OQ－BO＝t－2，AP＝AO＋OP＝2＋t，∵BQ＝12AP，∴t－2＝12(2＋t)，解得t＝6.综上，当t＝23或6时，BQ＝12AP.(3)存在，当t＝3－1时，抛物线上存在点M(1，1)，当t＝3＋33时，抛物线上存在点M(－3，－3)．【解法提示】由(2)知OP＝OQ，∴△OPQ是等腰直角三角形，∵△MPQ是等边三角形，∴点M在线段PQ的垂直平分线上，由于直线PQ的垂直平分线为直线y＝x，又∵点M在抛物线上，∴联立抛物线与直线y＝x可得,y＝xy＝－23x2－13x＋2，解得x＝1y＝1或x＝－3y＝－3.∴M(1，1)或(－3，－3)．当M(1，1)时，如解图③，过点M作MD⊥x轴于点D，第1题解图③则有PD＝|1－t|，MP2＝1＋(1－t)2＝t2－2t＋2，PQ2＝2t2，∵△MPQ是等边三角形，∴MP＝PQ，∴MP2＝PQ2即t2－2t＋2＝2t2，解得t1＝3－1，t2＝－3－1(舍去)；当M(－3，－3)时，如解图④，过点M作ME⊥x轴于点E，第1题解图④则有PE＝OE＋OP＝3＋t，ME＝3，PQ2＝2t2，∴MP2＝(3＋t)2＋32＝t2＋6t＋18，∵△MPQ是等边三角形，∴MP＝PQ，即MP2＝PQ2，∴t2＋6t＋18＝2t2，解得t1＝33＋3，t2＝－33＋3(舍去)，综上所述，当t＝3－1时，抛物线上存在点M(1，1)，使得△MPQ是等边三角形；当t＝33＋3时，抛物线上存在点M(－3，－3)，使得△MPQ是等边三角形．2.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴的另一个交点为B.(1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求抛物线和直线BC的解析式；(2)在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标；(3)设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．第2题图解：(1)由题意得－b2a＝－1a＋b＋c＝0c＝3，解得a＝－1b＝－2c＝3，∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3.∵对称轴为直线x＝－1，抛物线经过A(1，0)，∴B(－3，0)．设BC的解析式y＝mx＋n，把B(－3，0)，C(0，3)分别代入y＝mx＋n得－3m＋n＝0n＝3，解得m＝1n＝3，∴直线BC的解析式为y＝x＋3；(2)如解图，连接MA，第2题解图∵MA＝MB，∴MA＋MC＝MB＋MC.∴使MA＋MC最小的点M应为直线BC与对称轴x＝－1的交点．设直线BC与对称轴x＝－1的交点为M，把x＝－1代入直线y＝x＋3，得y＝2.∴M(－1，2);(3)设P(－1，t)，∵B(－3，0)，C(0，3)，∴BC2＝18，PB2＝(－1＋3)2＋t2＝4＋t2，PC2＝(－1)2＋(t－3)2＝t2－6t＋10.①若B为直角顶点，则BC2＋PB2＝PC2，即18＋4＋t2＝t2－6t＋10，解得t＝－2；②若C为直角顶点，则BC2＋PC2＝PB2，即18＋t2－6t＋10＝4＋t2，解得t＝4；③若P为直角顶点，则PB2＋PC2＝BC2，即：4＋t2＋t2－6t＋10＝18，解得t1＝3＋172，t2＝3－172.综上所述，满足条件的点P共有四个，分别为：P1(－1，－2)，P2(－1，4)，P3(－1，3＋172)，P4(－1，3－172)．3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(0，－6)和点C(6，0)．(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线与x轴的负半轴交于点B，试判断△ABC的形状；(钝角三角形、直角三角形、锐角三角形)(3)抛物线上是否存在点P，使得△PAC是以AC为底的等腰三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．第3题图解：(1)将A、C两点坐标代入y＝x2＋bx＋c，得36＋6b＋c＝0c＝－6，解得b＝－5c＝－6，抛物线的解析式为y＝x2－5x－6；(2)当y＝0时，则有x2－5x－6＝0，(x＋1)(x－6)＝0，解得x1＝－1，x2＝6(舍)，∴B(－1，0)．由两点之间的距离公式可得：BC2＝[(－1)－6]2＝49，AC2＝(6－0)2＋[0－(－6)]2＝72，AB2＝(－1－0)2＋[0－(－6)]2＝37，∵AB2＋BC2AC2，∴△ABC为锐角三角形．(3)存在满足条件的点，使得△PAC为等腰三角形理由：如解图，过线段AC的中点M，作AC的垂直平分线交抛物线于点P，直线MP与抛物线必有两个交点都是满足条件的点P，第3题解图∵A(0，－6)，C(6，0)，∴点M的坐标为(3，－3)，∵kAC=0(6)160，∴kMP=-1，设直线MP的解析式为y=-x+m，将M（3，-3）代入得-3=-3+m，即m=0，即直线MP的解析式为y＝－x，联立y＝－xy＝x2－5x－6，解得x1＝2－10y1＝10－2或x2＝2＋10y2＝－2－10，∴点P的坐标为(2－10，10－2)或(2＋10，－2－10)．4.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，B点坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线的解析式；(2)点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y＝x＋m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE＋EF的最大值；(3)点D为抛物线对称轴上一点．当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标．解：(1)由题意得32＋3b＋c＝0c＝3，解得b＝－4c＝3，∴抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3；(2)如解图①，过点P作PG∥CF交CB与点G，第4题解图①由题可知，直线BC的解析式为y＝－x＋3，OC＝OB＝3，∴∠OCB＝45°.同理可知∠OFE＝45°，∴△CEF为等腰直角三角形，∵PG∥CF，∴△GPE为等腰直角三角形，∵F(0，m)，C(0，3)，∴CF＝3－m，∴EF＝22CF＝22(3－m),PE＝22PG，设P(t，t2－4t＋3)(1t3),则G(t，－t＋3)，∵点P是直线y＝x＋m与抛物线的交点，∴t2－4t＋3＝t＋m，则PE＝22PG＝22(－t＋3－t－m)＝22(－m－2t＋3)，∴PE＋EF＝22(3－m)＋22(－m－2t＋3)＝22(－2t－2m＋6)＝－2(t＋m－3)＝－2(t2－4t)＝－2(t－2)2＋42，∴当t＝2时，PE＋EF最大，最大值为42；(3)由(1)知对称轴x＝2，设点D(2，n)，如解图②.第4题解图②当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，分两种情况讨论：(ⅰ)D在C上方D1位置时，由勾股定理得CD21＋BC2＝BD21，即(2－0)2＋(n－3)2＋(32)2＝(3－2)2＋(0－n)2，解得n＝5；(ⅱ)D在C下方D2位置时，由勾股定理得BD22＋BC2＝CD22，即(2－3)2＋(n－0)2＋(32)2＝(2－0)2＋(n－3)2，解得n＝－1，综上所述，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，D为(2，5)或(2，－1)．5.如图，抛物线y＝ax2－2ax＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A、B，点A的坐标为(4，0)．(1)求该抛物线的解析式；(2)抛物线的顶点为N，在x轴上找一点K，使CK＋KN最小，并求出点K的坐标；(3)若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为(2，0)．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第5题图解：(1)∵抛物线经过点C(0，4)，A(4，0)，∴08164ca-ac，解得1-24a=c=，∴抛物线的解析式为y＝－12x2＋x＋4；(2)由y＝－12x2＋x＋4＝－12(x－1)2＋92可求得抛物线顶点坐标为N(1，92)，如解图①，作点C关于x轴的对称点C′(0，－4)，连接C′N交x轴于点K，则点K即为所求，第5题解图①设直线C′N的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，把C′、N两点坐标代入可得，429-bbk，解得4217-bk，∴直线C′N的解析式为y＝172x－4，令y＝0，解得x＝817，∴点K的坐标为(817，0)；(3)存在．要使△ODF是等腰三角形，需分以下三种情况讨论：①当DO＝DF时，∵A(4，0)，D(2，0)，∴AD＝OD＝DF＝2，在Rt△AOC中，OA＝OC＝4，∴∠OAC＝45°，∴∠DFA＝∠OAC＝45°，∴∠ADF＝90°.此时，点F的坐标为(2，2)；令－12x2＋x＋4＝2，解得x1＝1＋5，x2＝1－5.此时，点P的坐标为(1＋5，2)或(1－5，2)；②当FO＝FD时，如解图②，过点F作FM⊥x轴于点M.第5题解图②由等腰三角形的性质得：OM＝12OD＝1，∴AM＝3，∴在等腰直角△AMF中，MF＝AM＝3，∴F(1，3)．令－12x2＋x＋4＝3，解得x1＝1＋3，x2＝1－3.此时，点P的坐标为(1＋3，3)或(1－3，3)；③当OD＝OF时，∵OA＝OC＝4，且∠AOC＝90°，∴AC＝42，∴点O到AC的距离为22.而OF＝OD＝222，∴在AC上不存在点使得OF＝OD＝2.此时，不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形．综上所述，存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形，所求点P的坐标为(1＋5，2)或(1－5，2)或(1＋3，3)或(1－3，3)．6.如图①，抛物线y＝－13x2＋bx＋8与x轴交于点A(－6，0)，点B(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，点P为线段AO上的一个动点，过点P作x轴的垂线l与抛物线交于点E，连接AE、EC.(1)求抛物线的表达式及点C的坐标；(2)连接AC交直线l于点D，则在点P运动过程中，当点D为EP中点时，求S△ADP∶S△CDE；(3)如图②，当EC∥x轴时，点P停止运动，此时，在抛物线上是否存在点G，使△AEG是以AE为直角边的直角三角形？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，说明理由．第6题图解：(1)∵点A(－6，0)在抛物线y＝－13x2＋bx＋8上，∴0＝－13×(－6)2＋(－6b)＋8，解得b＝－23，∴抛物线的表达式为y＝－13x2－23x＋8，令x＝0，得y＝8，∴C(0，8);(2)设点E(t，－13t2－23t＋8)，∴P(t，0)，∵点D为EP的中点，∴DP＝DE，D(t，－16t2－13t＋4)，∵A(－6，0)