利用函数性质判断方程解的存在

利用函数性质判断方程解的存在引入•作出的图像，观察图像与x轴交点的横坐标。•求解方程，观察比较关系。3xy03x6543211234561210864224681012fx()=x3AB（0，-3）（3,0）x03y30提出问题•（1）求方程的根，画出•的图像；•（2）求方程的根，画出的图像；•（3）求方程的根，画出的图像.223yxx2230xx2210xx221yxx2230xx223yxx方程x2－2x+1=0x2－2x+3=0y=x2－2x－3y=x2－2x+1函数函数的图象方程的实数根x1=－1,x2=3x1=x2=1无实数根函数的图象与x轴的交点(－1,0)、(3,0)(1,0)无交点x2－2x－3=0xy0－132112－1－2－3－4..........xy0－132112543.....yx0－12112y=x2－2x+3思考•（1）方程的根与函数图像和x轴交点的横坐标之间有什么关系？•（2）如何判断一元二次方程根的个数？如何判断二次函数图像与x轴交点的个数？它们之间有什么关系？方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象判别式△=b2－4ac△＞0△=0△＜0函数的图象与x轴的交点有两个相等的实数根x1=x2没有实数根xyx1x20xy0x1xy0(x1,0),(x2,0)(x1,0)没有交点两个不相等的实数根x1、x2新课讲解：1、函数零点的定义：把函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标称为这个函数的零点。2、函数零点与方程的解的关系：方程f(x)＝0有实数根函数y＝f（x）的图像与x轴有交点函数y＝f（x）有零点对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。函数零点的另一种定义：注意：零点指的是一个实数.零点是一个点吗?3.函数零点的判定•方法1：作出函数的图像，找出图像与x轴•交点的横坐标；•方法2：分解因式（如f(x)=(x+2)(x-1)(x-3),则•函数有3个零点）；•方法3：令f(x)=0,求出方程的根；•方法4：对于二次函数，可用判别式判定.•课堂练习：利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：（1）－x2＋3x＋5＝0；（2）2x(x－2)＝－3；（3）x2＝4x－4；（4）5x2＋2x＝3x2＋5.1(1)解：令f(x)=－x2＋3x＋5,作出函数f(x)的图象，如下：.....xy0－13214862－24它与x轴有两个交点，所以方程－x2＋3x＋5＝0有两个不相等的实数根。1(1)－x2＋3x＋5＝0课堂练习1(2)解：2x(x－2)＝－3可化为2x2－4x＋3＝0，令f(x)=2x2－4x＋3,作出函数f(x)的图象,如下：xy0－132112543.....它与x轴没有交点，所以方程2x(x－2)＝－3无实数根。1(2)2x(x－2)＝－3课堂练习1(3)解：x2＝4x－4可化为x2－4x＋4＝0，令f(x)=x2－4x＋4，作出函数f(x)的图象，如下：.....它与x轴只有一个交点，所以方程x2＝4x－4有两个相等的实数根。xy0－132112543641(3)x2＝4x－4课堂练习1(4)解：5x2+2x＝3x2+5可化为2x2＋2x－5＝0，令f(x)=2x2＋2x－5,作出函数f(x)的图象，如下：xy0－132112－1－3－3－43－6－54－4－2－2.....它与x轴有两个交点，所以方程5x2+2x＝3x2+5有两个不相等的实数根。1(4)5x2＋2x＝3x2＋5课堂练习注：求方程f(x)=0的根实际上也是求函数y=f(x)的零点。有很多方程用我们常规的公式法是很难求根的，但用函数零点这个几何意义，来探讨方程的根的另外一种方法是否有效呢？012345-1-212345-1-2-3-4xy探究观察二次函数2()23fxxx的图象，如右图，我们发现函数2()23fxxx在区间2,1上有零点。计算(2)f和(1)f的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间2,4上是否也具有这种特点呢？结论若函数y＝f(x)，在闭区间[a，b]上的图像是连续的曲线,并且在区间端点的函数值得符号相反，即f(a)f(b)0，则在（a，b）内至少有一个零点。即方程f(x)＝0在区间（a，b）内至少有一个实数解。说明：由于我们所研究的大部分函数的图像都是连续的，所以，上述结论是判断方程有无实数根或者函数有无零点的一种重要方法。但此结论反过来不成立。请举一反例。注意:如果函数y=f(x)在[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c就是方程f(x)=0的根。该判定方法只是指出了方程实数解的存在,但不能判断具体有多少个实数解.yxOx1x2x3f(a)0f(b)0yxO若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续的，且在(a,b)上有零点，但不一定满足f(a)·f(b)0x1f(a)0f(b)0若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续的，且f(a)·f(b)0，则f(x)在(a,b)内也可能存在零点。yxOf(a)0f(b)0x1x2如f(x)=图象如下：x1642-2-4-6-55-11有f(-1)·f(1)0但没有零点，为什么？例2已知函数f(x)=3x-x2.问:方程f(x)=0在区间[-1,0]内有没有实数解?为什么?解因为f(-1)=3-1-(-1)2=320f(0)=30-(0)2=10函数f(x)=3x-x2的图像是连续曲线,所以f(x)在区间[-1,0]内有零点,即f(x)=0在区间[-1,0]内有实数解.例2已知函数f(x)=3x-x2.问:方程f(x)=0在区间[-1,0]内有没有实数解?为什么?解因为f(-1)=3-1-(-1)2=320f(0)=30-(0)2=10函数f(x)=3x-x2的图像是连续曲线,所以f(x)在区间[-1,0]内有零点,即f(x)=0在区间[-1,0]内有实数解.1.观察下面的四个函数图像,指出在区间(-∞,0)内,方程fi(x)=0(i=1,2,3,4)哪个有解?说明理由.堂上练习O12xy12f1(x)O12xy12f2(x)f3(x)O12xy12f4(x)O12xy12O12xy12f1(x)O12xy12O12xy12f1(x)O12xy12f2(x)O12xy12O12xy12f2(x)f3(x)O12xy12f3(x)O12xy12O12xy12f4(x)O12xy12f4(x)O12xy122.判定方程4x3+x-15=0在[1,2]内实数解的存在性,并说明理由.堂上练习3.指出下列方程存在实数解,并给出一个实数解的存在区间:.0lg2;011xxxx堂上练习课堂小结：2、函数的零点与方程的根的关系；3、确定函数的零点的方法。1、函数零点的定义；