第二十章《数据的分析》教材分析

1第二十章《数据的分析》教材分析一、本章知识概述从《标准》看，本章属于“统计与概率”领域。对于“统计与概率”领域的内容，教科书独立于“数与代数”和“空间与图形”领域编写，共有三章。这三章采用统计和概率分开编排的方式，前两章是统计，最后一章是概率。统计部分的两章内容按照数据处理的基本过程来安排，分别是七年级下册第10章《数据的收集、整理与描述》和八年级下册第20章《数据的分析》。在初一，我们学习了收集、整理和描述数据的常用方法，将收集到的数据进行分组、列表、绘图等处理工作后，数据分布的一些面貌和特征可以通过统计图表等反映出来。为了进一步了解数据分布的特征和规律，还需要计算出一些代表数据一般水平（典型水平）或分布状况的特征量。对于统计数据的分布的特征，可以从三个方面来分析：一是分析数据分布的集中趋势，反映数据向其中心值（平均数）靠拢或聚集的程度；二是分析数据分布的离散程度，反映数值远离其中心值（平均数）的趋势；三是分析数据分布的偏态和峰度，反映数据分布的形状。这三个方面分别反映了数据分布特征的不同侧面。根据《标准》的要求，本章主要学习分析数据的集中趋势和离散程度的常用方法（平均数、中位数、众数、极差和方差），从而就前两个方面研究数据的分布特征。二、本章知识结构框图及课时安排本章知识结构框图如下：本章教学时间约需14课时（不含选学内容的课时数），具体分配如下：20．1数据的代表约５课时20．2数据的波动约５课时20．3课题学习约２课时数学活动小结约２课时三、课程学习目标1、进一步理解平均数、中位数和众数等统计量的统计意义；2、会计算加权平均数，理解“权”的意义，能选择适当的统计量表示数据的集中趋势；3、会计算极差和方差，理解它们的统计意义，会用它们表示数据的波动情况；4、能用计算器的统计功能进行统计计算，进一步体会计算器的优越性；5、会用样本平均数、方差估计总体的平均数、方差，进一步感受抽样的必要性，体会用样本估计总体的思想；6、从事收集、整理、描述和分析数据得出结论的统计活动，经历数据处理的基本过程，体验统计与生活的联系，感受统计在生活的生产中的作用，养成用数据说话的习惯和实事求是的科学态度。四、教材分析与教学建议1、§20．1数据的代表：本节的主要内容是加权平均数、中位数和众数。在第20．1．1小节，首先给出一个农业方面的实际问题，要求根据问题中提供的数据计算人均耕地面积，这是一个计算加权平均数的问题。通过比较解决这个实际问题的正确与错误的解法，使学生对“权”的意义和作用有所体会。“权”的重要性在于它能够反映数据的相对“重要数据的代表数据的波动平均数中位数众数极差方差用样本估计总体用样本平均数估计总体平均数用样本方差估计总体方差2程度”。另外，在求n个数的算数平均数时，如重复数据较多，可将求算数平均数的公式简化成nfxfxxkk11，如果将kff1分别看成是kxx,,1的权，则算数平均数和加权平均数就统一起来，只是这里“权”的意义并不是很突出。接下去，通过一个探究栏目，研究了对于区间分组的数据如何求加权平均数的问题，这类问题是统计中常见的。最后，教科书结合一个例题，介绍了如何利用样本平均数估计总体平均数，使学生对抽样的必要性、样本的代表性和用样本估计总体的思想有了更深的体会。需要注意的是，学习平均数（主要是加权平均数）的目的是要让学生理解平均数的统计意义，认识到平均数是刻画数据集中趋势时一个常用的统计量，平均数（主要是加权平均数）的计算并不是本节的重点，教学中可提倡使计算器的统计功能求平均数。当然利用笔算求平均数的训练也是必要的，这样可以使学生熟悉加权平均数的计算公式，也有利于理解平均数的统计意义。在第20．1．2小节，通过几个具体实例，研究了中位数和众数。中位数是一个反映数据集中趋势的位置代表值，能够表明一组数据排序最中间的统计量，可以提供这组数据中，约有一半的数据大于（或小于）中位数。众数是表明一组数据出现次数最多的统计量，当一组数据有较多的重复数据时，众数往往是人们所关心的一个统计量，它提供了哪个（些）数据出现的次数最多。在本节最后，教科书结合一个具体问题，编写了综合利用平均数、中位数和众数解决问题的例子，在这个例子中，涉及到根据具体问题的的需要选择适当的统计量来刻画数据的集中趋势的问题，对学生来讲有一定的难度，教学中要注意结合问题情景和数据特征，分析各种统计量的意义，引导学生找到解决问题的策略。教科书在末尾对平均数、中位数和众数这三种刻画数据集中趋势的统计量进行了概括总结，突出了它们各自的统计意义和各自的特征。这些结论在本节内容的展开过程中已经得到充分体现，教学中，可以让学生结合具体例子进行概括总结，切忌死记硬背。2、§20．2数据的波动：本节的重点是介绍刻画数据离散程度的常用统计量——方差。极差是一组数据中最大值与最小值的差，它反映了一组数据的波动范围，是刻画数据离散程度的最简单的统计量。教科书利用温差的例子来研究极差，温差是人们日常生活中熟悉的概念，利用温差介绍极差，有助于学生认识极差的统计意义。方差是统计中常用的一种刻画数据离散程度的统计量，教科书对方差进行了比较详细的研究。在一个讨论栏目设计了一个实际问题背景，根据背景提出两个具体问题，从统计上看，这两个问题中是要计算两组数据的平均数和比较它们的波动情况。通过计算可知两组数据的平均数是相同的，这一点有利于学生理解数据的波动情况。利用好这个实际问题引进利用方差刻画数据离散程度的方法，介绍方差的公式。方差的概念是一个教学难点，为了加深学生对方差概念的理解，教师应从方差公式的结构上分析方差是如何刻画数据的波动的，即方差越大，数据的波动越大，方差越小，数据的波动越小。将利用方差刻画数据的波动和利用散点图显示数据的波动结合起来，更有利于学生理解方差的意义。根据定义计算一组数据的方差，计算量比较大，而利用计算器的统计功能也可以求方差，所以可以提倡用计算器求方差，但教学中也要注意让学生利用方差的定义求方差的训练，加深学生对方差意义的理解。在本节最后，教科书回到本章前言中提出的问题，结合这个例子介绍了如何利用样本方差估计总体方差的问题。3、§20．3课题学习教材在最后一节安排了一个具有一定综合性和活动性的“课题学习”。完成这个课题学习，要求学生综合运用本章以及以前所学有关数据处理的知识和方法，通过小组合作活动的方式，经历数据处理得出结论以及对所得结论进行解释和反驳的统计过程。“课题学习”中最后的交流活动是必不可少的，教学中要引导学生认真交流，重点交流对统计调查活动的体会和感受。五、几个值得关注的问题1、注意与前两个学段相关内容的衔接对于分析数据集中趋势的三种统计量，学生在第2学段已经有所接触，已经会求平均数、众3数、中位数，对它们可以表示数据的不同特征有所体会；《标准》在本学段要求“会计算加权平均数，能选择适当的统计量表示数据的集中程度；会计算极差方差，会表示数据的离散程度”，即在第2学段的基础上，学习利用加权平均数刻画数据的集中趋势以及用极差、方差刻画数据的离散程度等。根据《标准》的这个特点，本章在编写时，注意与前两个学段的衔接，将三个学段的相关内容，在分析数据的这个大背景下统一起来，在对学生已有的相关知识进行整理的基础上学习新的知识。这样的一种编写方式，将三个学段的学习连成一个相互联系、螺旋上升的整体。因此，教学中要注意对已有知识的复习，在复习的基础上学习新内容，使学生对于分析数据的知识和方法形成整体认识。2、准确把握教学要求对于统计中一些重要的思想方法，本套教科书采用螺旋上升的编排方式。例如，关于用样本估计总体的思想，教科书在第10章“数据的收集、整理与描述”和本章都有安排，但在要求上有不同的层次。第10章从收集数据的角度研究抽样调查，要求初步感受抽样调查的必要性，初步体会用样本估计总体的思想；本章要求通过较多实例，从不同的方面进一步感受抽样的必要性，并初步感受样本的代表性，体会不同的抽样可能得到不同的结果，能够用样本的平均数、方差估计总体的平均数、方差等。因此，在本章教学时，要注意把握教学要求。3、合理使用计算机（器）对于计算机（器）等现代信息技术对统计的作用，本套教科书给予充分重视。教学中要注意发挥计算器（机）在处理数据中的作用，也要注意合理地使用计算器（机）。比如，在初学加权平均数和方差的概念时，应该让学生使用笔算或使用计算器的一般计算功能进行计算，使学生对求加权平均数方法和方差的结构有更多的理解，在此基础上，再学习使用计算器的统计功能求平均数或方差的方法，将学习重点放在理解统计思想和从事统计活动上来。4、本章内容在中考所处的地位以考查本章知识点为目的的中考题目都是基础题，有的甚至可以称为送分题，往往都是不要求想得太深、太难，只要求拿稳。对这一点，从近三年的中考题可以看出（具体题目见本讲稿第七点），在教学时教师要把握好教学要求。六、学困生易错知识点分析本章学习的难点并不突出，对于学习较好的学生来说并不会造成太大的麻烦，因此出错的主要是学习能力较差的学困生。1、计算平均数出错例：某中学八年级有两个班，一班有50人，二班有54人。在一次考试中，一班的平均成绩是75分，二班的平均成绩是73分，求本次考试八年级的平均成绩。【错解】)(7427375分x【分析】一班和二班的人数不同，因此它们各自的平均成绩对全级的平均成绩的影响是不同的，应通过不同分数的权重计算出总分数再除以总人数来计算平均成绩。【正解】)(96.73545054735075分x2、寻找中位数出错（1）例：求数据2，5，3，6，9，4，8的中位数。【错解】因为最中间的数是6，所以中位数是6。【分析】求一组数据的中位数，要先把这组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，然后再寻找中位数。此题错在没有把这组数据按顺序排列。【正解】先将这组数据按从小到大的顺序排列为2，3，4，5，6，8，9，最中间的数是5，所以中位数是5。（2）例：在一次体检中，某班的10名同学所测得的体重如下表：体重（单位：千克）424345474图5人数1432求这10名同学体重的中位数。【错解】因为5210，所以排在最中间的是第5个数据，所以中位数是43。【分析】求一组数据的中位数，要先把这组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，然后再寻找中位数：数据个数是奇数时，找最中间的那个数；数据个数是偶数时，找最中间的两个数的平均数。此题错在没有弄清楚中位数的定义。【正解】因为有10个数据，所以中位数应是第5个数据和第6个数据的平均数，即是4424543。3、查找众数出错例：在一次数学竞赛中，10名学生的成绩（单位：分）如下：75，80，80，70，85，95，85，65，85，80，则这次竞赛成绩的众数是多少？【错解】因为这组数据中80次出现了三次，所以这组数据的众数是80。【分析】根据众数的意义可知，一组数据中出现次数最多的数据是众数，而在这组数据中，85也出现了三次，所以这组数据的众数有两个。【正解】这组数据的众数是80和85。4、错误理解平均数、中位数、众数三个特征量的作用，尤其是混淆了平均数和中位数例：在八年级数学竞赛中，有15人参加，成绩排在前8名的有奖，小张参加这次竞赛考试，要想知道自己是否获奖，他应该关心的是（）A、平均数B、众数C、中位数D、方差【错解】选A。【分析】有一部分同学对平均数的理解存在一个误区，以为高于平均数就一定是位居前列，实际上平均数的计算很容易受极值的影响，高于平均数并不一定表示在中上的位置，中位数才是表明一组数据排序最中间的统计量，因此高于中位数才是位于中上位置。【正解】选C。七、近三年中考考题分析1、老师对甲、乙两人的五次数学测验成绩进行统计，得出两人五次测验成绩的平均分均为90分，方差分别是2甲S＝51、2乙S＝12．则成绩比较稳定的是_______（填“甲”、“乙”中的一个）．【考点】方差的应用，所考知识点单一，属于送分题【答案】乙2、在某校举行的艺术节的文艺演出比赛中，九位评委给其中一个表演节目现场打出的分数如下：9.3，8.9，9.3，9.1，8.