统计物理习题答案

1、试证明，对于一维自由粒子，在长度为L内，在ε到dεε+的能量范围内，量子态数（相格数）为1/22()2LmdNdhεεε⎛⎞=⎜⎟⎝⎠证明：根据§4.2节相空间可知，一维自由粒子在μ空间体积元xdxdp内可能的量子态数为xdxdpdNh=在长度为L内，动量绝对值在p到p+dp范围内的可能量子态数为2()LdNpdph=注意，此处的因子2是因为动量可以取正负两个可能的方向。由能量和动量的关系式22pmε=可得，1/22mmdpddpεεε⎛⎞==⎜⎟⎝⎠，代入上式可得1/22()2LmdNdhεεε⎛⎞=⎜⎟⎝⎠证毕。2、试证明，对于二维自由粒子，在面积L2内，在ε到dεε+的能量范围内，量子态数（相格数）为222()LdNmdhπεε=证明：二维自由粒子在μ空间体积元xydxdydpdp内可能的量子态数为2xydxdydpdpdNh=对坐标空间积分，可得22xyLdpdpdNh=用二维动量空间的极坐标,pθ描述粒子的动量,,pθ与,xypp的关系为cosxppθ=sinyppθ=用极坐标描述时，二维动量空间的体积元为pdpdθ，在面积2L内，动量绝对值在p到p+dp范围内，动量方向在θ到dθθ+范围内，二维自由粒子可能的量子态数为22LpdpddNhθ=θ从0到2π积分，可得在面积2L内，动量绝对值在p到p+dp范围内，二维自由粒子可能的量子态数为222()LdNppdphπ=由能量和动量关系式22pmε=可得，1/22mmdpddpεεε⎛⎞==⎜⎟⎝⎠，代入上式可得()1/2221/22222()22LmLdNmdmdhhππεεεεε⎛⎞==⎜⎟⎝⎠证毕。3、完整地推导出F-D统计的()fE表达式（课后作业第2题,p442）。证明：对费米系统的热力学概率()!!!iFDiiiigNgNΩ=−∏i取对数，得[]lnln!ln!ln()!iiiiigNgNΩ=−−−∑假设1iN，1ig，1iigN−，应用Stirling公式可得[]lnlnln()ln()iiiiiiiiiggNNgNgNΩ=−−−−∑令iN有iNδ的变化，lnΩ将因而有lnδΩ的变化，使Ω为极大分布必使ln0δΩ=，即ln[lnln()]0iiiiiNgNNδδΩ=−+−=∑但这些iNδ不是任意的，必须满足条件：0iiNNδδ==∑0iiiENδδε==∑用拉氏乘子α和β分别乘以上面两式，并从lnδΩ中减去，得ln0iiiiiigNNNαβεδ⎡⎤⎛⎞−−−=⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦∑上式整理得1iiigNeαβε+=+因此，F-D分布函数为1()1ifEeαβε+=+证毕。