晶体学中的对称群

《晶体学中的对称群》CrystallographicSymmetryGroup学时/学分：30/1.5属性：选修课开课时间：春季开课周期：2年一、课程简介：晶体学是固体科学的基础，对称性理论是晶体学的理论基础。运用群论可以很方便地研究晶体的对称性。该课程的重点是运用群论讨论晶体的对称性，可作为凝聚态物理、材料科学、固体化学等学科的专业课。学生通过该课程的学习，可以运用群论的概念、方法和定理研究晶体的对称性，能够读懂国际晶体学表中230种空间群的图表，充分利用空间群图表上的信息进行有关晶体材料的研究。二、考核方式：阶段性课后作业考核与课程结束考试相结合（40%+60%）。三、主要内容：第一章对称操作（6学时）第二章二维晶体学（4学时）第三章群论初步（2学时）第四章晶体学点群（4学时）第五章点阵、晶系与晶体学中的坐标系（4学时）第六章空间群的推导（4学时）第七章空间群图表的认识与使用（3学时）第八章空间群与晶体结构与相变（3学时）四、预修课程：在学习该课程之前学生应具备的一些《晶体学》的基础知识。五、教材、参考书目及参考文献：《晶体学中的对称群》王仁卉郭可信；科学出版社；1990年10月《晶体学中的对称群》CrystallographicSymmetryGroup2007.3.1-4.6中国科学院金属研究所隋曼龄方解石～CALCITE氟磷灰石～Fluorapatite螢石～FLUORITE晶体的宏观特征mFm3mFd3mmmP/6mmI3Cu,Fe,Mg,Diamond……晶体学是关于晶体结构及其表征的知识，包括对称性论理、晶体结构及其研究方法、晶体缺陷、晶体生长与人工合成，以及晶体物理等内容。对称性论理是晶体学的核心和理论基础对称群--晶体对称操作的集合平移群--平移操作的集合（描述晶体的周期性）点群--围绕一点的对称操作的集合（32个）（决定晶体的宏观特征和宏观物理性能的对称性）空间群--在空间里的对称操作的集合（230个）（概括了晶体的全部对称）读懂：InternationaltablesforCrystallographyVolumeA:Space-GroupSymmetry知道：从230种空间群的图表中能获得什么信息掌握：获取信息的方法运用群论的概念、方法和定理可以很方便地研究晶体的对称性。研究任一固体科学的问题：——晶体结构的认识、测定、描述和分类——研究点阵振动、电子能带论、相变例：方解石晶体（CaCO3）的结构：每个晶胞内有6个分子式，共包含30个原子●运用空间群的资料描述为：Ca在6(b):0,0,0C在6(a):0,0,¼O在18(e):x,0,¼(x=0.257)——可以充分描述方解石的晶体结构)(Dc3R63dcR3cC2112aI第一章对称操作第二章二维晶体学第三章群论初步第四章晶体学点群第五章点阵、晶系与晶体学中的坐标系第六章空间群的推导第七章空间群图表的认识与使用第八章空间群与晶体结构及相变主要内容第一章对称操作§1-1引言§1-2点对称操作及其矩阵表示§1-3非点式操作：螺旋旋转和滑移反映§1-4平移对称对点对称操作的制约§1-5点操作与平移操作的组合§1-6对称操作的分类及几何符号§1-7对称操作矩阵与国际晶体系表中的对称操作符号§1-1引言晶体——由在三维空间规则地重复排列的原子或原子集团组成.(平移对称性)点阵——空间中点的无限阵列，其中每一阵点代表一个作为基本重复单元的原子集团，所有的点阵都具有相同的环境。321tttrwvu++=平移对称操作矢量：t1,t2,t3为三个不共面的基矢。u,v,w为任意整数。点阵沿平移矢量平移→得新的空间点阵=平移前点阵对称操作：它虽变换了各阵点的位置，但得到的点阵恰与操作之前的一样。点对称操作：操作围绕空间中的一个点进行的，即在操作过程中至少有一个空间中的点不移动。（点：倒反中心，线：转轴，面：镜面）非点式操作：是由点对称操作与平移对称操作组成的复合操作。（七种）对称操作分类点对称操作：全同操作旋转（纯旋转）倒反（对称中心）反映（镜面反映）旋转倒反（非纯旋转）非点式操作：螺旋旋转滑移反映对称操作表示方式：图示符号Seitz符号（W，w）3×3矩阵4×4矩阵（增广矩阵）几何符号（国际晶体学表A卷用）对称操作约定：操作W2W1表示，先施以W1操作，再施以W2操作。国际晶体学表约定（习惯）：右手系，a大致朝下，b朝右，c从低面指向读者。ab＋＋描绘对称操作一、极射赤面投影图（或：极赤投影图）+Z方向半球面上的某一点（代表着一个方向）与南极的连线同xy平面的交点就是+Z方向半球面上该点的极赤投影点，习惯上用一个小圆点来标记。-Z方向半球面上的点则用北极进行投影，习惯上用小圆圈来标记。xy+z-z（北极）（南极）二、用O代表某一客体（如原子集团）描绘对称操作的方式：O+：表示O在纸面上，坐标为+ZO-：表示O在纸面下，坐标为-ZO与O为具有相反的左右手向指关系（逗号在圆圈中）三、表示:Hermann-Mauguin符号，对称元素符号，图像(Schoenflies符号)，§1-2点对称操作及其矩阵表示主动操作：操作时使空间中所有的点或位矢相对于固定的坐标轴移动。被动操作：操作时让坐标轴移动，但空间中所有的点或位矢保持不动。⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛zyx~~~Wxx=~矩阵方程cbarzyx++=c~b~a~~zyxr++=W对称操作简写：各种点对称操作：（1）全同操作：不施以任何操作。Hermann-Mauguin符号（HM）为：1Schoenflies符号为：E矩阵为：单位矩阵、全同矩阵。⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛100010001（2）旋转：绕着某轴旋转2π/n角。HM符号为：n(n为旋转轴次，纯旋转)Schoenflies符号为：Cn纯旋转：客体的左右手向指关系不变。非旋转：客体的左右手向指关系改变。(旋转与倒反或旋转与反映的复合操作)用点阵方向指数[uvw]标出旋转轴的方向，如2[001]用旋转矩阵表示：如2[001]作用在(x,y,z)上[]()⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛zyxzyxzyxzyx1000100010012~~~ab(x,y,z)(-x,-y,z)(-y,x-y,z)(x-y,x,z)(y-x,-x,z)(y,y-x,z)16+23+3-6-★证明对坐标为(x,y,z)的B点施以操作6+[001]到B’点：OB’在a轴方向的分量：A’A’’-A’B’=A’A’’-AB=x-yOB’在b轴方向的分量：OA’’=OA’=OA=x则B’点坐标为(x-y,x,z)因为[]⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=[phone]ABA’B’A”O⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−zxyxzyx100001011则旋转矩阵表示为：[]⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=[phone]六角坐标系★某些对称操作的存在意味着其它一些对称操作的存在。4（C4）存在，则2（C2）及43（C43）也存在6（C6）存在，则有6m（C6m）m=1,2,3,4,5,6其中：62（C62）=3（C3）63（C63）=2（C2）66（C66）=1（E）（3）倒反：通过某一中心的倒反操作把右手变成为左手，改变了图象的左右手向指关系，相应的对称元素叫对称中心，记为o。符号：——HM（Schoenflies）()⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛zyxzyx1()i1+-,（4）镜面反映：对一张平面的反映。改变图形的左右手向指关系HM符号：mSchoenflies符号：σ通常带足标：h,v或d。c轴为铅垂直放置主轴，则σh是对垂直于这主轴的水平放置的镜面反映，σh-horizontal水平。σv-vertical（铅垂）：包含主轴c与a轴的镜面。σd-diagonal（对角）：处于两相邻σv面的分角面处。主轴为n次轴，则有n张σv,σd处于两邻σv之分角处。以镜面的法线[u,v,w]表示镜面的方向。如m[010][]()⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛zyxzyxm010,++m（5）旋转倒反：（非纯旋转）：Hermann-Mauguin方法：旋转倒反Schoenflies方法：旋转反映★复合操作为两种操作的乘积。一般说来，当某复合操作为对称操作时，该复合操作的两个组成部分本身却不一定是对称操作。●H-M方法：n，n次旋转倒反操作。对称操作4暗示2存在4和1不是其对称操作，它们的复合操作4是一种新操作。4n()242=()43()144=41●Schoenflies方法：由纯旋转操作与对垂直于其转轴的某平面的反映这两种操作组成。Sn=σhCnSnm=(σhCn)m(有时用表示n次旋转反映)S4=,S42=C2=,S43=,S44=1对比：每施以一次Sn的操作，就按逆时针次序依次得到下一个圆。每施以一次的操作，就按顺时针次序依次得到下一个圆。n~4()42()43nS4，，4mnmnCS=对偶数m，永远存在：[证明]：m为偶时，m次的反映为全同变换。则中有m次Cn和偶次反映（全同），即等同于。每一对称操作的逆操作也必为对称操作。逆操作的定义：若AB=1（全同操作），则A与B互为逆操作，即A-1=B或B-1=A。则亦有(AB)-1=B-1A-1纯旋转：特例非纯旋转：n为偶数n为奇数mnCmnSEE↔mnnmnSS−↔2mnnmnSS−↔mnnmnCC−↔ii↔σσ↔++-,++S3S33=σhS32=C32+-,+S34=C3+-,S35+S36=EmnnmnSS−↔2S3与S35,S32与S34互为逆操作对称操作和对称元素两概念的区别与联系：对称操作是围绕一定的几何元素进行的。对称操作据以进行的几何元素叫做对称元素。n次旋轴操作据以进行的对称元素是n次旋转轴m操作据以进行的对称元素是镜面m。倒反操作据以进行的对称元素是对称中心。§1-3非点式操作：螺旋旋转和滑移反映点对称操作：旋转和旋转倒反（或旋转反映，包括倒反和反映m=）特点：在每一操作的过程中，空间的某一点（倒反中心），某一条直线（转轴）或某一张平面（镜面），总之至少有一个空间中的点保持不动。研究：晶体表面、点阵平面族配置的对称性。12非点式操作：含平移的对称操作。特点：对某一点连续施以包含平移的对称操作不能回到起始点，而是在适当次数后，得到一个距起始点的距离为点阵平移周期的整数倍的点。研究：晶体内原子配置的对称性。（一）螺旋旋转：nmn次螺旋旋转为n次旋转（2π/n角）及转后沿转轴的平移量mt/n螺距τ，点阵周期t，有nτ=mtnm操作为右手螺旋：逆时针2π/n角，正向平移mt/n螺旋轴和滑移面——是晶体结构中常见且重要的对称元素在螺旋轴nm联系着的等效点的配置中当mn/2时是右螺旋当mn/2时是左螺旋当m=n/2时没有左、右手的区别41（二）滑移反映同时进行镜面反映与沿平行于镜面的某方向的平移，平移量是该方向平移周期之半。符号：图示符号印刷符号：m，a,b,c,n,d点阵的周期性要求滑移反映的滑移量是阵点间距之半。滑移方向可平行于晶胞的某一棱边a,b或c（轴向滑移）滑移方向可平行于晶胞的面对角线或体对角线（对角滑移）特殊：金刚石滑移为对角线长度的1/4，实为点阵平移周期的一半。1/83/8金刚石型（A4型）对称面图示符号印刷符号滑移矢量镜面————m无轴向滑移面-------………….a,b,或c平行于投影面(纸面)某方向的1/2垂直于投影面(纸面)方向的1/2对角滑移面﹎﹎﹎﹎n//1/2+⊥1/2金刚石滑移面—·→·——·←·—d//1/4+⊥1/4垂直于纸面的对称面箭头方向的1/2滑移矢量总是面心矢量或体心矢量之半，也就是惯用晶胞的对角线的1/4d金刚石滑移面箭头方向的1/2n对角滑移面任一箭头方向的1/2a,b,或c轴向滑移面箭头方向的1/2a,b,或c轴向滑移面无m