晶体物理性能 第5章 晶体光学

第五章晶体光学本章主要叙述各向异性介质中，光传播的性质，也是以下晶体非线性光学及其应用各章的预备知识，某些内容已在光学、电磁学课程中做过介绍，重要的部分也将给以必要的复习．§５．１光学各向异性晶体晶体和各向同性的介质和玻璃水等在光学传播过程中昀显著不同是存在双折射的现象，在光学课中我们已经知道，双折射，就是晶体中传播的光，在两个相互垂直的方向上偏振而且具有不同的传播速度，这种光的传播特性，下面我们将要看到，这是由于晶体在光学上的各向异性造成的．晶体的光学各向异性，就其根源而言，是由于组成晶体的原子，离子或分子及其集团的各向异性的特性以及它们结合成晶体时的方式（即晶体结构类型）造成的，属于立方晶系的晶体一般不具有各向异性的光学性质，下面我们也将看到非立方晶系的晶体，按照对称性类型的不同，光学性质上分为单轴晶体和双轴晶体，即使同一种化学组分的性质，例如CaCO3，结合成不同的晶形――方解石和霞石，前者必三方晶系，后者正交晶系，在光学性质上也有不同，前者为单轴晶体，后者为双轴晶体，总之光学异性与结构对称性存在密切联系．从光的电磁理论来看，光在介质中传播，是电磁波和物质相互作用的结果，伴随着介质的极化过程，在各向同性性质中光速/CV，即折射率uCn（是表征介质极化过程的宏观量――介电常数，C为真空中光速=001u），而对于极化表现为各向异性的晶体而言，单一的介电常数已不复存在，而代之以介电张量ij．根据介电张量定义，是E和D之间的比例系数，取二阶张量的三个轴则可表为3213210321000000EEEDDD(5.1)1,2,3为三个主轴的方向的主值．此时单一的折射率也失去意义，所以必将出现光传播速度的各向异性，折射率必依赖于传播方向．总之光学上的各向异性其实质是介电极化的各向异性．我们在第三章中，只处理了各向均匀的和具有立方对称晶体的介电极化问题，因而无法说明极化的各向异性问题．我们知道，固态物质中近邻之间的原子（或离子）靠得很近，它们之间的电磁相互作用是非常强烈的，理论上严格处理还存在很大的困难，而介电极化的各向异性恰恰来源于这种相互作用，因此我们这里只能作一些定性的说明．我们以双折射昀强的方解石（CaCO3）晶体为例，它属于三方晶系，其结构中存在组成等边三角形的氧离子集团，其中央为碳原子，Ca++离子作为孤立离子来看极化近似地是各向同性的，Ca++离子离开氧离子集团又较远，可以忽略它们之间的相互作用，那么Ca++离子对各向异性极化没有什么贡献．碳原子的价电子已给了氧，对高频的极化也没有大的贡献，所以只须考虑氧离子集团对各向异性极化的贡献，如图５．１(a)表示组成三角形平面的氧离子集团，外电场在这个平面内，长箭头表示直接由外加电场极化造成的偶极矩，它平行外场方向．离子的这个“基本”偶极矩，还可以和近邻的其它二离子相互作用，短箭头表示其它离子的基本偶极矩的电场对该离子提供的附加介极矩，如B离子中a及c即是离子A及C交B离子产生的附加偶极矩的二个方面（平行于外场和垂直外场）．附加偶极矩的大小和方向，取决近邻离子基本偶极矩在该离子处所提供的附加电场强度大小和方向（见图５．２），这个电场大小与方向又取近邻离子的距离与方位．图５．１a中看到AC离子沿外场方向上附加偶极矩基本抵消，而B离子则在．图５．１CaCO3中氧离子集团的各向异性极化(a)外加电场在氧离子集团平面内，基本的离子极化和附加极化．(b)外加电场在氧离子集团平面垂直方向，离子基本极化和附加极化偶极矩的示意图．注意(b)图是沿氧离子集团平面侧视图，A,B,C并不在一直线上，也是三角形外场方向上增加了．再看图(b)，外场垂直于氧离子平面，三者附加偶极矩都在外场相反方向．可见外电场在不同方向产生的极化出现了差异．因此三个值中有二个相等，另一个可以与此不同，介电性能出现各向异性．图５．２C的基本偶极PC对离子A及B处提供的附加电场示意图．虚线表示电力线分布PE，外E，而PC在B离子处产生的电场E，有//外E和外E的分量．附加偶极矩在两个方向只均有分量，在A离子处，附加电场E”，只有正外E的分量，附加偶极矩也与外E相反．原来具有立方对称结构的晶体由于一些外加因素，例如外加等电场或外加，都可能使晶体发生不对称的形变，因而也就改变了内部原子和邻近之间的相互位置，破坏了原有的对称性，也就会引起人为的介电极化的各向异性，即引起人为的双折射．这就是第九章谈到的二次电光效应（即克尔效应）和第八章中光弹效应发生的物理原因．§５．２各向异性介质中光的传播特点从光的电磁理论出发，要解决晶体中光的传播问题，完全可以应用麦克斯威尔电磁的宏观方法．从电磁学课程中知道对于光学透明的晶体的麦克斯威尔基本方程组是tBEtDHBD00(5.2)上述方程是普遍的麦氏方程组中，令自由电荷电流00I，和自由空间电荷密度0=0得到的（因为离子晶体一般可视为绝缘体，不存在自由电荷）．此外，各场量之间还存在下列物质方程：310jjijiED(j=1,2,3)(5.3)和HB0(5.4)(5.4)式是考虑到光学晶体一般不是铁磁性材料，可令u=1，而得到的．从麦氏方程组和物质方程，可以得到电磁波的波动方程，由于各向异性的物质方程，因而问题要比各向同性介质的情况（即D=0E）复杂．我们知道任何形式的波动，在数学上都可以分解为无数个不同频率，不同传播方向和速度的单色平面波．因此为了物理上要简单明了地显示光的传播特性，我们不去研究普遍解麦氏波动方程的问题，只研究一个单色平面波的传播问题，这样仍不失去其传播特性上的普遍意义．我们假定场量E，D，B，H均有平面单色波的形式：)(exp)(0trkiAtrA(5.5)式中A和A0，可用D,E,B,H中任一场量代入．是圆频率k为平面波的波矢量，｛｝内)(trk是平面在空间r，时刻t时的场量的振动位相．(5.5)式代表波动在时刻t，振动位相完全一样的空间各点联结来的轨迹是空间的一个平面，这样的等相也就是波阵面是一个平面故称为平面波．假定相位等于常数0的面的轨迹是：0trk或写为k1x+k2y+k3z=0+t(5.6)(5.6)式为指定时刻t时，确定一个平面方程，从分析几何关系可知，k1,k2,k3就是该平面法线的三个方向余弦．所以说波矢量k（三分量为k1,k2,k3）就在波面的法线方向上．这个等相位面随时间向前推进的速度是：kkVp(5.7)这个相位推进的速度Vp称为相速度．由一系列振动与波的熟知关系：=2vv=vp(5.8)并考虑到(7.7)可得：2pVk(5.9)值得特别注意的是光线速度和传播的方向，应是引起人的感觉器官或检测仪器观察到的方向和速度．必须应是和能量流传播方向和及其速度相联系的．根据电磁理论，能量流密度的方向为HEg(5.10)g称为旁印亭矢量，g是单位时间内，垂直流过单位面积的电磁波能量．下面我们来证明，在各向异性晶体中，光线方向（即能量流方向）和波矢量方向（即相位传播方向）一般是不同的，只有在各向同性介质中可以不加区别．为此我们首先将(5.5)式代表的平面波的解代入麦氏方程(5.2)的第三方程DHk(5.11)HBEk0(5.12)从(5.11)看出k和H，都和D垂直，(5.12)式看出k和E都与H垂直，据此，可以断定D，E，k都和H垂直，必在同一平面之内（见图５．３）．此处根据HEg，可知光线方向（即能流方向）必垂直于E和H，所以g也在D，E，k所在平面之内，而且和E相垂直．而k从(5.11)已证明和D相垂直，在各向异性晶体中D，E方向一般是不垂直的［从物质方程(5.3)可以看出］，所以g和k在同一平面内，但方向都不一致，两者之间夹角为，正好是D和E之间的夹角．这个角度为离散角．在各向同性介质中，D和E方向始终重合，g和k必然重合，所以没有必要区分光线方向和相位传播的方向，这是各向同性和各向异性介质极为重要的差异．图５．３以上只解决了在各向异性介质中光的传播中各场量与光线方向和波矢量方向之间的相对方位．但还需要解决光的传播速度（相速度和光线速度）的大小和传播方向之间的关系问题，也就是光速的各向异性问题，既然相速Vp的大小将依赖于方向，那么单一的各方向为常数的折射率已失去意义．nCVCCVkpp)((5.13)式中：pVCn即为与方向有关的折射率．DEgkH那么：NnCNkk(5.14)式中N为k方向的单位矢量也就是波阵面法线方向，具有(5.14)式的k的单色平面波，(5.5)如果确是麦氏方程的解，那么(5.5)代入麦氏方程应该可以得到k必须具备的条件，现将(5.5)直接代入麦氏方程(5.2)或者将(5.14)式代入(5.11)及(5.12)可得到：DnCHN(5.15)HnCEV0(5.16)两式中消去H得：DnCENN202)(利用矢量等式)()(BCACABCBA上式为：)]([022ENNECnD(5.17)考虑到物质方程310jjijED，上式可改为：)]([1101221ENNDCnDD为C2=1/00，上式可写为：2102111)(1nCENNCD(5.18)(5.18)为坐标轴X1方向的分量，此外有D2及D3类似的方程没有写出，考虑到D和k是垂直的，即0ND，故有：0111111322322221221nNnNnN(5.19)式中N1,N2,N3是k方向的单位矢量N在三个轴上的投影k的三个方向余弦．(5.19)即为著名的菲涅尔方程，它规定了单色平面波在晶体中传播时，折射率n和k方向之间必须满足条件．(5.19)是n2的三次方程，不过N方向给定下，n2只有二个独立的根，即有n=n’n”．负的折射率是没有物理意义的，所以对应一个波法线方向可以有两个不同的相速度，但这二个n’和n”的数值都将随N方向不同而变化，这就是波速的各向异性，这二个折射率为n’,n”的两个波（它们的k方向都在给定的某一方向），它们对应的电位移矢量D’和D”，可以从(5.18)中分别代入n’和n”数值而求得．我们进一步可证明，这两个波的偏振方向，即D’和D”的方向是相互正交的，即有D’D”=0．现利用(5.18)式写出D’，D”的标量称为：})(11)'(11{)(1'212122202nnNENCDD或改写为：})(11)'(11)'(11{)'()()'(2)(1'2223212221212222202nNnNnNnnnnENCDD因为n’和n”都是菲涅耳方程(5.18)的解，所以上式中｛｝应等于零，故D’D”=0，这就证明了这个二波的偏振方向是相互垂直的．以上讨论的电磁波沿着波法线方向N（即波矢量方向k）传播，它们的相速度，即折射率的各向异性的传播性质，垂直于k的场振动为D，此外，我们同样可以研究电磁波沿着光线方向即能流方向g传播的性质，与g垂直的场振动矢量是E．如果我们定义光线速度v0（它和相速vp同）方向沿着S（S是g方向的单位矢量）．利用麦氏方程组用类似方法，可以同样给出类似于方程(5.18)，(5.19)的关系，得到类似的结论，在同一光线方向上，有二个不同的光线速度Vr’,Vr”，这两个波对应的场振动为E’和E”，而且偏振方向相垂直，E’E”=0，当然正如前面分析已指出的，电磁波相位传播方向k