化二次型为标准形的方法

化二次型为标准形的方法内容摘要:高等代数作为我们数学专业的一门重要的基础课。它以线性空间为背景，以线性变换为方法，以矩阵为工具，着重研究线性代数的问题。二次型式多元二次函数，其内容本属于函数的讨论范围，然而二次型用矩阵表示之后，用矩阵方法讨论函数问题，使得二次型的问题变得更加简洁明确，二次函数的内容也更加丰富多彩。而我们要讨论的是如何化二次型为标准形，也就是用矩阵方法把对称矩阵合同与对角矩阵。二次型是高等代数的重要内容之一，二次型的基本问题是要寻找一个线性替换把它变成平方项，即二次型的标准形。下面介绍了一些化二次型为标准形的方法：配方法，交变换法，初等变换法，雅可比方法，偏导数法关键词：二次型线性替换矩阵标准形导言：二次型的理论来源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题。二次型是学中的一个极其重要的问题，这个问题不仅在数学上，而且在物理学，工程学，经济学领域都有广泛的应用。在研究时为了研究的方便，我们经常要化二次型为标准形。我们知道，任一二次型和某一对称矩阵是相互唯一确定的，而任一实对称矩阵都可以化为一对角矩阵，相应的以实二次型都可以化为标准形，以下就是化二次型为标准形的几种方法，通过典型例题，体会二次型问题时的多样性和灵活性。化二次型为标准形的方法一．配方法配方法是解决这类问题时另一个常用方法，通过观察对各项进行配方，其实质就是运用非退化的线性替换。使用配方法化二次型为标准形时，最重要的是要消去像()ijxxij这样的交叉项，其方法是利用两数的平方和公式和两数的平方差公式逐步的消去非平方项并构造新的平方项。定理:数域P上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和2221122...nndxdxdx的形。1.如果二次型含有ix的平方项，那么先把含有ix的乘积项集中，然后再配方，再对其余的项同样进行，直到都配成平方项为止，写出前面过程所经过的所有非退化的线性替换，就将二次型化为标准形了。例1.上述所给出的方法化二次型23(,,)fxxx22112223224xxxxxx为标准形，写出所用的变换矩阵。解：原二次型中含有ix的平方项，先将含有1x的项集中，利用平方和公式消去12xx，然后对2x配平方，消去23xx项。此过程为23(,,)fxxx221122(2)xxxx222233(44)xxxx234x2221223324xxxxx于是作非退化的线性替换：11232233322xyyyxyyxy即123xxx112012001123yyy于是就得到23(,,)fxxx2221234yyy所用的变换矩阵为C112012001且有'CAC1001100011101220201120120011000100042.如果所给二次型中不含有ix平方项，但是0ija()ij,我们就可以用前面所提到的方法构造出平方项，可以先做出可逆的线性变换........iijjijkkxyyxyyxy,(1,2,,kn且,)kij代入到原二次型中，这时二次型中就含有平方项了，然后再按照上述1中的方法进行配方。例2.将二次型23(,,)fxxx=121323422xxxxxx化为标准形，并写出所用的变换矩阵。解：由于所给的二次型中无ix平方项，就需要构造出平方项，令11221233xyyxyyxy即123xxx110110001123yyy代入到原二次型中有23(,,)fxxx12121231234()()2()2()yyyyyyyyyy221213444yyyy此时就可以按照情形1中的步骤进行，将含有1y的项集中，消去13yy项，再分别对2,3yy配平方即可。所以有23(,,)fxxx221213444yyyy2222113332444yyyyyy222133224yyyy作非退化线性替换11322332zyyzyzy11222331122yzzyzyz即123yyy11022010001123zzz于是能够得到23(,,)fxxx2221234zzz所用的变换矩阵为C110110001110220100011112211122001且有'CAC11022110111220212011101112211122001100040001二.正交变换法由于实对称矩阵必定与对角矩阵合同，因此任何实二次型必定可以通过一个适当的正交线性变换将此实二次型化简成为不含混合项的形式。定理:任意一个实二次型11nnijijijaxx，ijjiaa都可以经过正交的线性替换变成平方和2221122...nnyyy其中平方上的系数12,...n就是矩阵A的特征多项式的全部的根。方法步骤：①将实二次型表示成矩阵形式TAXfX并写出矩阵A。②求出矩阵A的所有特征值12,...n，可能会出现多重特征值，分别记它们的重数为21,,nkkk（21nkkk=n）③求出每个特征值所对应的特征向量21,,n，列出方程1()0EAX，能解出与1对应的1k个线性无关的特征向量。同理，对其他的特征值2,,n也是采用此方法求出与之对应的特征向量。因为21nkkk=n，所以一共能出n个特征向量。④将所求出的n个特征向量21,,n先后施行正交化，单位化得到21,,,n，记为C21)(,,Tn，这时C′AC=D是对角矩阵，它由A的特征值构成，即D=diag(),。（写的时候注意与特征向量写的顺序一致。）⑤作正交变换XCY,则得二次型f的标准形f=2221122...nnyyy。例3.xxxxxxxxf8441414173121232221对应的二次型矩阵A=144241422217由A的特征多项式)9()18(1442414222172EA从而的到特征值9,18.（2）求特征向量将9代入（A-E）x=0,得基础解系)1,1,21(1,将18代入（A-λE）x=0,得基础解系)0,1,2(2,)1,0,2(3（3）将特征向量正交化取22232332211,,,,得正交向量组)1,54,52(),0,1,2(),1,1,21(321（4）将正交向量组单位化，得正交矩阵P令)3,2,1(,iiii得,455454452,05152,323231321所以P=45545445205152323231例4.用上面所述的方法化下面的二次型222212341234121314232434,,,)264462(xxxxxxxxxxxxxxxxxxxfx为标准形。解：（1）首先写出原二次型的矩阵A=1132112332112311由A的特征多项式EA=1132112332112311=(3)(7)(1)(1)从而得A的特征值为1=-3，2=7，3=-1，4=1（2）求特征向量，将1=-3带入1()0EAX中，得到方程12341234123412324320423032402340xxxxxxxxxxxxxxxx解此方程可得出基础解系1=(1,1,1,1)，同样地，分别把2=7，3=-1，4=1带入()0EAX中，解方程能够得出与2=7，3=-1，4=1对应的基础解系依次为2=(1,1,1,1)，3=(1,1,1,1)，4=(1,1,1,1)（3）将所求出的特征向量正交化，方法如下：令1=1=(1,1,1,1)2=221111(,)(,)=(1,1,1,1)3=33132121122(,)(,)(,)(,)=(1,1,1,1)4=4434142123112233(,)(,)(,)(,)(,)(,)=(1,1,1,1)（4）将已正交的向量组单位化，如下：令iii（i=1,2,3,4）于是能够得到1=12(1,1,1,1)，2=12(1,1,1,1)，3=12(1,1,1,1)，4=12(1,1,1,1)所以C=121111111111111111于是所求正交变换为1234xxxx=1211111111111111111234yyyy原二次型化为f=2222123173yyyy三.初等变换法将一般二次型通过配方法化成标准形，实际上就是通过一系列的可逆线性替换将n个元逐渐配方的过程。而初等变换就是将二次型矩阵通过一系列的合同变换（即进行矩阵的初等行、列变换），一步一步地化成与它是合同的且在形式上又比较简单的矩阵，最后化成对角矩阵的过程。即：（A|E）(D|C当子块A化为对角矩阵Ｄ，子块Ｅ也相应的化为Ｃ并有C′AＣ＝Ｄ定理：在数域P上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵。定理：对每个实对称矩阵A，存在初等矩阵12SPPP使得2112TTTsSPPPAPPP(diag12,,nddd)方法步骤：①写出二次型12,nfxxx的矩阵A,让A与E构造2nn矩阵AE②对A进行初等行变换和相同的初等列变换，化成与A合同形式上简单的矩阵，直至将A化成对角矩阵；但是对E只进行其中的列变换。③写出○2过程中所进行的一系列可逆线性变换XCY化原二次型为12,nfxxx'YDY为理解方便，此过程可用图表示如下AEAE对进行同样的初等行、列变换对只进行其中的列变换DC例4用上述方法将二次型23(,,)fxxx22211213223322243xxxxxxxxx解：首先写出二次型23(,,)fxxx的矩阵A111122123然后构造出63矩阵AE111122123100010001111013032100010001100013032111010001100010037114013001100010007114013001从上过程可以看出C114013001,最后作可逆线性替换XCY，则23(,,)fxxx'Y100010007Y四．偏导数法偏导数法与配方法的实质是相同的，但不需要凭观