微积分下考试重点全总结

·1·抓住微积分，它是高数的核心，理解好导数和积分的含义。题记―――高等数学，是某些自考专业的重要课程。但对于如何通过考试，如何学好这门课程，许多朋友都是百展莫愁，头痛不已。而高数及格率又是所有科目中及格率最低的几门之一，成为许多考生能否顺利完成专业课程的主要障碍。数学，是一门深奥而又有趣的课程。如果增加对这门课程的自信心，不要畏惧它，你会很容易接受这门课，你也会发觉其实这门课程并不难，这对于学好数学是一个非常必要的条件。培根说，“数学是科学的大门和钥匙。”的确，数学是科学技术的基础。高等数学与应用数学（包括线性代数、概率论与数理统计、复变函数、数学物理方程，等等）是各专业的重要基础理论课。在会计专业里，比如财务成本管理，审计，评估，管理会计，……等等科目里都有高等数学的影子；在经济学领域里，更是如此。无论微观经济还是宏观经济的经典理论里都有高等数学的烙印函数、极限与连续(一)基本概念1．函数：常量与变量，函数的定义2．函数的表示方法：解析法，图示法、表格法3．函数的性质：函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性4．初等函数：基本初等函数，复合函数，初等函数，分段表示的函数，建立函数关系5．极限：数列极限、函数极限、左右极限、极限四则运算，无穷小量与无穷大量，无穷小量的性质，无穷小量的比较，两个重要极限6．连续：函数在一点连续，左右连续，连续函数，间断点及其分类，初等函数的连续性，闭区间上连续函数性质的叙述重点：函数概念，基本初等函数，极限的计算难点：建立函数关系，极限概念(二)基本要求·2·1.理解函数的概念，了解分段函数。能熟练地求函数的定义域和函数值。2.了解函数的主要性质(单调性、奇偶性、周期性和有界性)。3.熟练掌握六类基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形。4.了解复合函数、初等函数的概念。5.会列简单应用问题的函数关系式。6.了解极限的概念，知道数极限的描述性定义，会求函数的左、右极限。7.了解无穷小量的概念，了解无穷小量的运算性质及其与无穷大量的关系，以及无穷小量的比较等关系。8.掌握极限的四则运算法则.9.掌握用两个重要极限求一些极限的方法。10.了解函数连续性的定义，会求函数的连续区间。11.了解函数间断点的概念，会判别函数间断点的类型。12.记住初等函数在其有定义的区间内连续的性质，知道闭区间上的连续函数的几个性质。一元函数微分学(一)基本概念1．导数：导数的定义及几何意义，函数连续与可导的关系，基本初等函数的导数，导数的四则运算法则，复合函数求导法则，隐函数求导法则，对数求导法举例，用参数表示的函数的求导法则，高阶导数2．微分：微分的概念与运算，微分基本公式表，微分法则，一阶微分形式的不变性3．中值定理：罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的叙述·3·4．导数应用：用洛比达法则去求七种未定式极限问题，函数的单调性判别法，函数的极值及其求法，函数图形的凹凸性及其判别法，拐点及其求法，水平与垂直渐近线，最大值、最小值问题，导数在经济问题的应用重点：导数概念和导数的计算，极值，最大利润问题难点：导数的应用(二)基本要求1.理解导数与微分概念，了解导数的几何意义。会求曲线的切线和法线方程。知道可导与连续的关系。2.熟记导数与微分的基本公式，熟练掌握导数与微分的四则运算法则。3.熟练掌握复合函数的求导法则。4.掌握隐函数的微分法，取对数求导数的方法，以及用参数表示的函数求一阶导数的方法。5.知道一阶微分形式的不变性。6.了解高阶导数概念，掌握求显函数的二阶导数的方法。7.了解罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件和结论；知道柯西定理的条件和结论。会用拉格朗日定理证明简单的不等式８.掌握洛比达法则求极限问题9.了解驻点、极值点、极值、凹凸、拐点等概念10.掌握用一阶导数求函数单调区间、极值与极值点（包括判别）的方法，了解可导函数极值存在的必要条件。知道极值点与驻点的区别与联系11.掌握用二阶导数求曲线凹凸（包括判别）的方法，会求曲线的拐点·4·12.会求曲线的水平渐近线和垂直渐近线13.掌握求解一些简单的实际问题中最大值和最小值的方法不定积分(一)基本概念1．不定积分：原函数、不定积分概念，不定积分的性质，基本积分公式表2．积分法：第一换元积分法，第二换元积分法，分部积分法，有理函数积分举例，三角有理式积分举例，积分表的使用重点：积分概念与计算，在几何上的应用难点：积分的计算及其应用(二)基本要求1.理解原函数与不定积分概念，了解不定积分的性质以及积分与导数(微分)的关系2.熟记积分基本公式，熟练掌握第一换元积分法和分部积分法3.了解不定积分概念(定义、几何意义、物理意义)和不定积分的性质4.熟练掌握求解不定积分的方法最后一点，还要提醒大家的就是复习时的注意事项。在复习的过程中，应该注意调整我们的状态和注意休息，一般地说，我们的大脑集中于某一学科的时间不是很长的，时间一长，我们的思维就可能处于停滞的状态，所以我们应该合理地安排时间，争取在复习时将所学的几门学科都能够交叉安排，这样保证大脑的高效率。同时，还应该注意休息。考试期间的复习效率很低，那时看看书适当放松，把习题简单回顾一下足矣。考前注意保持充足的睡眠，现在很多同学在期末考试前点灯熬夜，晚上不注意休息，考试没有精神，甚至睡着了，导致很容易的题目也没有时·5·间做了；还有不容忽视的一点就是，在考试的过程中，要注意卷面干净、书写整洁，还要有清晰的解题思路和完整的答题步骤，对于没有思路的题可以先放放以免耽误答题时间，否则会影响自己的卷面得分。最后，希望大家保持一个健康的身体和良好的心态，做好期末复习，祝大家取得好成绩！提前祝大家元旦快乐！·6·第一章函数与极限第一节函数§1.1函数内容网络图区间定义域不等式定义集合对应法则表格法表达方法图象法初等函数解析法非初等函数单调性函数的特性奇偶性函数周期性有界性定义反函数重要的函数存在性定理复合函数符号函数：.0,1,0,0,0,1sgnxxxx几个具体重要的函数取整函数：][xxf，其中[x]表示不超过x的最大整数.狄里克雷函数：.,0,,1为无理数为有理数xxxD§1.2内容提要与释疑解难一、函数的概念定义:设A、B是两个非空实数集，如果存在一个对应法则f，使得对A中任何一个实数x，在B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称对应法则f是A上的函数，记为BAfyxf::或.·7·y称为x对应的函数值，记为Axxfy,.其中x叫做自变量，y又叫因变量，A称为函数f的定义域，记为D（f），AxxfAf)()(,称为函数的值域，记为R（f），在平面坐标系Oxy下，集合Dxxfyyx),(),(称为函数y=f(x)的图形。函数是微积分中最重要最基本的一个概念，因为微积分是以函数为研究对象，运用无穷小及无穷大过程分析处理问题的一门数学学科。1、由确定函数的因素是定义域、对应法则及值域，而值域被定义域和对应法则完全确定，故确定函数的两要素为定义域和对应法则。从而在判断两个函数是否为同一函数时，只要看这两个函数的定义域和对应法则是否相同，至于自变量、因变量用什么字母，函数用什么记号都是无关紧要的。2、函数与函数表达式的区别：函数表达式指的是解析式子，是表示函数的主要形式，而函数除了用表达式来表示，还可以用表格法、图象法等形式来表示，不要把函数与函数表达式等同起来。二、反函数定义设y=f(x)，Dx，若对R(f)中每一个y，都有唯一确定且满足y=f(x)的Dx与之对应，则按此对应法则就能得到一个定义在R（f）上的函数，称这个函数为f的反函数，记作fRyyfxDfRf,:11或.由于习惯上用x表示自变量，y表示因变量，所以常把上述函数改写成fRxxfy,1.1、由函数、反函数的定义可知，反函数的定义域是原来函数的值域，值域是原来函数的定义域。2、函数y=f(x)与x=f-1(y)的图象相同，这因为满足y=f(x)点（x,y）的集合与满足x=f-1(y)点(x,y)的集合完全相同，而函数y=f(x)与y=f-1(x)图象关于直线y=x对称。3、若y=f(x)的反函数是x=f-1(y)，则.,)(11xffxyffy4、定理1（反函数存在定理）严格增（减）的函数必有严格增（减）的反函数。三、复合函数定义设DxxuEuufy,,,，若RfD)(，则y通过u构成x的函数，称为由y=f(u)与xu复合而成的函数，简称为复合函数，记作))((xfy。复合函数的定义域为ExDxx)(且，其中x称为自变量，y称为因变量，u称为中间变量，x称为内函数，f(u)称为外函数。1、在实际判断两个函数xuufy),(能否构成复合函数，只要看)(xfy的定义域是否为非空集，若不为空集，则能构成复合函数，否则不能复合函数。2、在求复合函数时，只要指出谁是内函数，谁是外函数，例如y=f(x),y=g(x),若y=f(x)作为外函数，y=g(x)作为内函数。则复合函数)(xgfy，若xgy作为外函数，xfy作为内函数，则复合函数为·8·y=g(f(x))。3、我们要学会分析复合函数的复合结构，既要会把几个函数复合成一个复合函数，又要会把一个复合函数分拆成几个函数的复合。四初等函数常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称为基本初等函数。大家一定要记住基本初等函数的定义域，值域，会画它们的图象，并且要知道这些函数在哪些区间递增，在哪些区间递减，是否经过原点？与坐标轴的交点是什么？以后我们常常要用到。由基本初等函数经过有限次四则运算或有限次复合运算所得到的函数统称为初等函数。不是初等函数称为非初等函数。一般来说，分段函数不是初等函数，但有些分段函数可能是初等函数，例如0,0,xxxxxf2xx，是由2,xuuy复合而成。五具有某些特性的函数1．奇（偶）函数定义设D是关于原点对称的数集，y=f(x)为定义在D上的函数，若对每一个DxDx也有这时，都有xfxfxfxf，则称y=f(x)为D上的奇（偶）函数。（1）定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要条件。（2）若f(x)为奇函数，则f(0)=0，事实上，由定义知f(-0)=-f(0)，有f(0)=-f(0)，得f(0)=0.2．周期函数定义设y=f(x)为定义在D上的函数，若存在某个非零常数T，使得对一切Dx，都有f(x+T)=f(x)，则称y=f(x)为周期函数，T称为y=f(x)的一个周期。显然，若T是f(x)的周期，则ZkkT也是f（x）的周期，若周期函数f(x)的所有正周期中存在最小正周期，则称这个最小正周期为f(x)的基本周期，一般地，函数的周期是指的是基本周期。必须指出的是不是所有的周期函数都有最小正周期，例如f(x)=c（c为常数），因为对任意的实常数T，都有f(x+T)=f(x)=c。所以f(x)=c是周期函数，但在实数里没有最小正常数，所以，周期函数f(x)=c没有最小正周期。如果f(x)为周期函数，且周期为T，任给Dx，有f(x)=f(x+kT)，知ZkDkTx。所以D是无穷区间，即无穷区间是周期函数的必要条件。3．单调函数定义设y=f(x)为定义在D上的函数，若对D中任意两个数x1,x2且x1x2,总有2121xfxfxfxf，则称y=f(x)为D上的递增（递减）函数，特别地，若总成立严格不等式2121xfxfxfxf，则称y=f(x)为D上严格递增（递减）函数。递增和递减函数统称为单调函数，严格递增和严格递减函数统称为严格单调函数。·9·4．分段函数如果一个函数在其定义域内，对应于不同的x范围有着不同的表达形式，则称该函数为分段函数。注意分段函数不是由几个函数组成的，而是一个函数，我们经常构造分段函数来举反例，