微积分基础知识

1第0章基本知识一、什么是高等数学?初等数学—研究对象为常量,以静止观点研究问题.高等数学—研究对象为变量,运动和辩证法进入了数学.数学中的转折点是笛卡儿的变数.有了变数,运动进入了数学,有了变数，辩证法进入了数学,有了变数,微分和积分也就立刻成为必要的了.恩格斯21.分析基础:函数,极限,连续2.微积分学:一元微积分(上册)(下册)3.向量代数与空间解析几何4.无穷级数5.常微分方程二、主要内容多元微积分3三、如何学习高等数学?1.认识高等数学的重要性,培养浓厚的学习兴趣.会运用数学能力。2.学数学最好的方式是做数学.聪明在于学习,天才在于积累.学而优则用,学而优则创.由薄到厚,由厚到薄.马克思一门科学,只有当它成功地运用数学时,才能达到真正完善的地步.华罗庚43、极限的思维方法1）计算圆的周长nnrSnsin2,5,4,3n3S5S4S圆内接正n边形Ornsinlim2sinlim22nnnSnrrrnn5T0xxoxy)(xfyCNM2)切线的斜率.)()(limtan000xxxfxfkxx6abxyo3)计算曲边梯形面积)(xfy曲边梯形面积为iniixfA)(lim107111242n4)无穷级数111lim242nn11(1)22lim1112nn8具备的数学素质：从实际问题抽象出数学模型的能力计算与分析的能力了解和使用现代数学语言和符号的能力使用数学软件学习和应用数学的能力9一、基本概念1.集合:具有某种特定性质的对象的全体.组成集合的事物称为该集合的元素.},,,{21naaaA})({xPxMP（x)表示元素具有性质,Ma,Ma第0章基本知识102.邻域:.0,且是两个实数与设a).,a(U记作,叫做这邻域的中心点a.叫做这邻域的半径xaaa,邻域的去心的点a.}ax0x{),a(U,})({邻域的称为点数集aaxx11二、函数１．定义设数集D，若存在对应法则f，使对xD，存在唯一确定yMR与之对应，则称f是定义在数集Ｄ上的函数。记作:fDM(|xy).函数f在点x的函数值，记为()fx，全体函数值的集合称为函数f的值域，记作()fD。即()|(),fDyyfxxD。12２．函数类别：显函数y=f(x)隐函数F(x,y)=0参量函数初等代数函数(只含代数运算显函数）分段表达函数单值函数多值函数基本初等函数（幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数）.13(1)符号函数010001sgnxxxxy当当当几个特殊的函数举例1-1xyoxxxsgn14(2)取整函数y=[x][x]表示不超过的最大整数12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线x15是无理数时当是有理数时当xxxDy01)(有理数点无理数点•1xyo(3)狄利克雷函数16(4)取最值函数)}(),(max{xgxfy)}(),(min{xgxfyyxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.17复合函数,uy设,12xu21xy定义:设函数y=f(u),uU，函数u=(x),xX,其值域为(X)={u\u=(x),xX}U，则称函数y=f[(x)]为x的复合函数。,自变量x,中间变量u,因变量y代入法18复合函数1),(Duufy1)(DDg且则设有函数链称为由①,②确定的复合函数,①—复合映射的特例②u称为中间变量.注意:构成复合函数的条件1)(DDg不可少.例如,函数链:,arcsinuy函数但函数链22,arcsinxuuy不能构成复合函数.可定义复合19注:复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,2cotxy例如,uy,cotvu.2xv复合函数,uy设,12xu21xy代入法20初等函数定义:由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合运算所构成并可用一个式子表示的显函数，称为初等函数。例：不是初等函数为初等函数1sin2xeyx1xxy00xx不是初等函数nnxaxaay10为初等函数nnxaxaay10,2xyy0,xx0,xx可表为故为初等函数.21双曲函数与反双曲函数2eeshxxx双曲正弦chxyshxy),,(:D奇函数.2eechxxx双曲余弦),,(:D偶函数.双曲函数xey21xey2122xxxxeeeexcoshxsinhthx双曲正切奇函数,),(:D有界函数,23双曲函数常用公式;chxshyshxchy)yx(sh;shxshychxchy)yx(ch;1xshxch22;shxchx2x2sh.xshxchx2ch22242.反双曲函数奇函数,),(:D.),(内单调增加在;arshxy反双曲正弦).1xxln(arshxy2arshxy25.),1[内单调增加在),1[:Dy反双曲余弦archx).1xxln(archxy2archxy26.11ln21xx)1,1(:D奇函数,.)1,1(内单调增加在y反双曲正切arthxarthxytanharxy27三.函数的几种特性设函数,,)(Dxxfy且有区间.DI(1)有界性,Dx,0,AB使()BfxA称)(xfA为上界，B为下界。(2)单调性为有界函数.当,,21Ixx21xx时,,)()(21xfxf若称)(xf为I上的单调增函数;xy1x2x()fx,)()(21xfxf若称)(xf为I上的单调减函数.28xyoxx(3)奇偶性,Dx且有,Dx若则称f(x)为偶函数;若则称f(x)为奇函数.说明:若)(xf在x=0有定义,.0)0(f)(xf为奇函数时,则当必有例如,2)(xxeexfyxch偶函数xyoxexexych双曲余弦记29例1判断函数的奇偶性.)1ln()(2xxxfy解：))(1ln()(2xxxf)()1ln(2xfxx∴f(x)是奇函数.例2设f(x)在R上定义，证明f(x)可分解为一个奇函数与一个偶函数的和。证明：设显然g(x)是偶函数，h(x)是奇函数,而)()()(),()()(xfxfxhxfxfxg2)()()(xhxgxf故命题的证.30(4)周期性,0,lDx且,Dlx则称)(xf为周期函数,xo2y2若称l为周期(一般指最小正周期).周期为周期为注:周期函数不一定存在最小正周期.例如,常量函数Cxf)(狄里克雷函数x为有理数x为无理数,1,031四.反函数若函数为单射,则存在逆映射习惯上,Dxxfy,)(的反函数记成)(,)(1Dfxxfy称此映射1f为f的反函数.其反函数(减)(减).1)y＝f(x)单调递增且也单调递增性质:322)函数与其反函数的图形关于直线对称.例如,),(,xeyx对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称.)(xfyxy),(abQxyo指数函数33例1证明若函数y=f(x)是奇函数且存在反函数x=f1(y),则反函数也是奇函数。证明：).())(())(()(1111yfxxffxffyf∴反函数是奇函数。例2.0101)(2的反函数求xxxxxf解:当x0时,y1,1122yxxy当x0时,y1,x=y-1,.1,11,1,2xxxxy得反函数综上34x1x2x2Nx1Nx3x几何解释:2aaa,[,],().nnNxaaN当时所有的点都落在内只有有限个至多只有个落在其外数列的极限(P6):数列xn当n无限变大时，xn能无限制的接近唯一确定常数alimnnxa35n=5n=7n=11n=20.)1(11nxnn.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn36(),.nnxxfnnZ数列可看成一个特殊的函数，:数列极限的-N定义(P261)0,[,]lim.nnnnNnNxaaxaxa0,当时，落在内即有如:唯一性,有界性,局部保号性,夹挤规则（两边夹）lim,lim,(1)lim[];(2)lim[.];lim(3)lim,0.nnnnnnnnnnnnnnnaAbBabABabABkakAaABbB性质：设则其中3723ba22abnabax证:用反证法.及且.ba取因,limaxnn故存在N1,从而2banx同理,因,limbxnn故存在N2,使当nN2时,有2banx收敛数列的极限唯一.使当nN1时,假设22abnabbxnbax223ab从而2banx矛盾.因此收敛数列的极限必唯一.则当nN时,,,max21NNN取故假设不真!nx满足的不等式38azynnnnlimlim)2(两边夹准则),2,1()1(nzxynnnaxnnlim证:由条件(2),,0,1N当时,当时,令,,max21NNN则当Nn时,有由条件(1)nnnzxyaa即,axn故.limaxnn,2N39两边夹法则.若(1),(2)lim,lim,nnnnnnnbacbAcAlimnnaA则：lim1(0)nnaa证明(P7)40例.证明数列是发散的.证:用反证法.假设数列nx收敛,则有唯一极限a存在.取,21则存在N,2121axan但因nx交替取值1与－1,),(2121aa内,而此二数不可能同时落在长度为1的开区间使当nN时,有因此该数列发散.41例(P10)证明若X2k-1→a,X2k→a(k→∞),则数列{Xn}收敛于a。证：对任ε0,ヨK1,当kK1时X2k落在[a-ε,a+ε]即满足|Ｘ2k-a|≤ε…(1)ヨK2当kK2时X2k-1落在[a-ε,a+ε]即满足|Ｘ2k-1-a|≤ε…(2)取N=max{2K1,2K2-1},当nN,必有Xn落在[a-ε,a+ε]即满足|Ｘn-a|≤ε42例).12111(lim222nnnnn求解,11112222nnnnnnnnnnnnnn111limlim2又,122111lim1limnnnnn,1由夹逼定理得.1)12111(lim222nnnnn4312,12,1)2()1(1knnknxnxnnn例讨论下列极限：（1）(3）设x1=1,xn+1=1+2xn(n=1,2…)讨论limnnx111111(4)lim()limlimlim0nnnnnnnnnn(5)若等比级数limnnxa11limlim1limnnnnnnnxxaxxa44例题111.lim[()32]2nnnnnn222122.lim[]nnnnn3.lim(1)nnnn