第08讲第2章习题

随机变量离散型随机变量连续型随机变量概率分布函数随机变量函数的分布第二章随机变量及其分布（复习）习题2.19a).或b).或201951(0.99200.010.99)0.081550,11()0.08460.2!kkek310010001(0.010.99)0.0184kkkkC3010.0190!kkek第二章习题2X1X)(2xF)(1xF1、设,为随机变量,的分布函数.为使为一分布函数，在下列给定的各组数值中应取A.a=3/5,b=-2/5;B.a=2/3,b=2/3C.a=-1/2,b=3/2;D.a=1/2,b=-3/2)()()(21xbFxaFxF解:答案为A121FaFbF提示:由1ab得~2,,~3,XBpYBp2、设1PY且，求519PX解:因为~2,XBp25119p所以110PXPX因此110PYPY311911327解得（不合题意，舍去）1533pp或1~3,3YB故3、如果在时间t（分钟）内,某纺织工人看管的织布机断纱次数服从参数与t成正比的泊松分布.已知在一分钟内不出现断纱的概率为0.2，求在2分钟内至少出现一次断纱的概率2ln524125e110PXPX由已知，当t=1时，00.2kPXe解:~XPkt设X表示某纺织工人看管的织布机断纱次数,则当t=2时ln5k解得故，2分钟内至少出现一次断纱的概率即解:4、设随机变量X~U(-2,2)，Y表示作独立重复m次试验中事件(X0)发生的次数，则Y~＿＿.1~,2YBm2011042PXdx提示:X落入区间(1,3)的概率最大5、设随机变量，当时2~0,XN__31解:1313XPXP记31gg即求为何值时，达到最大22912230ee31g33115(续)311130令3130得解得2ln32~220,25XN6、某种电子元件在电源电压不超过200伏、200~240伏、超过240伏三种情况下损坏的概率分别为0.1、0.001及0.2，设电源电压求（1）此种电子元件在该电源电压下损坏的概率;（2）此种电子元件损坏时，电源电压在200-240伏的概率解:(1)设A={电子元件损坏}B1={电压不超过200伏}B2={电压为200~240伏}B3={电压超过240伏}由已知得且1200PBPX6(续)20.001,PAB10.1,PAB30.2PAB0.21192200240PBPX3240PBPX20.812402202002202525240220110.82520022010.8250.57620.211931iiiPAPBPAB故，由全概率公式得(2)由贝叶斯公式得0.10.21190.0010.57620.20.21190.0641222PBPABPBAPA6(续)0.0010.57620.06410.0090122PX且.试确定常数a,b;并求X的分布列7、设离散型随机变量X的分布函数为0,1,11()2,123,2xaxFxaxabx2PX23aba解:(1)利用及1F0kkkPXxFxFx得7(续)1ab‥‥‥‥‥‥‥‥(1)15,66ab解得‥‥(2)223ab12(2)X的分布列为XP2112131617(续)0,11,1161,1221,2xxFxxx故2,01,110,axxbfxxx其它8、设随机变量X具有概率密度又1728PX求:(1)常数a,b;arc3PtgX(3)(2)X的分布函数;112437848abab又由得1728PX8(续)1fxdx解:(1)由得120111baxdxdxx11212718baxdxdxx12ab0Fx故20,01,0122arc,1xFxxxtgxxxFxftdt(2)利用求分布函数8(续)1x当时,0x当时,当时,01x2012xFxtdtx1201211xFxtdtdtt2arctgx2138(续)13F(3)arc33PtgXPXtg133PX9、设连续型随机变量X的分布函数(1)确定A;(2)求X的密度函数f(x);(3)计算1cos22XP0,0cos,021,xxFxAxxA=1解:(1)由得0limcos02xxA1sin,0220,xxfx其它(2)由得fxFx12203FF9(续)另解(3)12cos0223XPPX2301sin22xdx1cos22XP124213XZ2~2,3XN10、设随机变量，令求Z的分布函数和概率密度ZFz(1)设Z的分布函数为，概率密度为Zfz解:ZFzPZz4213XPz1z当时，0ZFz当时，1z即14211,10,1ZzzFzz10(续)2~2,3XN因为，所以2~0,13XN14211z故114411zzZFz11442113ZXFzPzz10(续)(2)由得fxFx12132411,1220,1zzezz3144111,120,1zzzzZfz1,10,xefxx其它21YX求的概率密度11、设随机变量X具有概率密度1y当时，0YFy21PXy解:(1)YFyPYy21PXy0111ln1ydxyx221ye当时，当时，21ye12y当时，11YFyPyXy11(续)11YFyPyXy11YFyPyXy121,21210,Yyeyfy其它故220,2ln1,211,1YyFyyyeye11(续)(2)由得fxFx设A，B为两个事件，求证1)()()(1)(BAPBPAPABP解：)()()(1BAPBPAP)()()(1BAPBPAP1[1()][1()]1()PAPBPAB)()()(BAPBPAP))()()(()()(ABPBPAPBPAP)(ABP2已知事件AB发生,则事件C一定发生。证明：1)()()(CPBPAP解：事件AB发生,则事件C一定发生ABC所以)()(CPABP()()()PAPBPC()PAB()()()PAPBPAB1设事件A，B，C两两独立，且ABC=,P(A)=P(B)=P(C)1/2，且已知P(ABC)=9/16,求P(A)3解：)(CBAP)()()(CPBPAP)()()()(ABCPACPBCPABP)()()(CPBPAP)()()()()()(CPAPCPBPBPAP169))((3)(32APAP41)(AP解得：或43)(AP舍掉4、设事件A，B，C相互独立，且P(AB)=1/3,P(AC)=1/3，P(BC)=2/3，求A，B，C三个事件至少发生一个的概率。解：)()()(1)(CPBPAPCBAP31)()(1)(BPAPBAP32)()(BPAP进而32)()(CPAP31)()(CPBP274313232))()()((2CPBPAP2()()()33PAPBPC)()()(1)(CPBPAPCBAP33215、袋中装有编号1,2,…,n(n2)的n个球，有返回地抽取r次，求：（1）1号球不被抽到的概率；（2）1号球和2号球均被抽到的概率。解：rrnnAP)1()(设A表示1号球被抽到，B表示2号球被抽到。（1）)(1)(ABPABP（2）)(1BAP)()()(1BAPBPAP2(1)1rrnn(2)rrnn6、假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%和10%，现从中随意取一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率解：设A表示从中随意取一件产品，不是三等品，B表示取到的是一等品)()()|(APABPABP329.06.0)()(APBP7、设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取的两件产品中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率解：()(|)()PABPBAPA设A表示所取的两件产品中有一件是不合格品，B表示另一件是不合格品1524210CC211464210CCCC8.常言道：“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”，如今有三位“臭皮匠”受某公司之请各自独立地去解决某问题，公司负责人据过去的业绩，估计他们能解决此问题的概率分别是0.45,0.55,0.60。据此，该问题能被解决的概率是多少？解：设A,B,C分别为三个臭皮匠分别能解决某问题的事件，由题意知P(A)=0.45,P(B)=0.55,P(C)=0.60.所求为()()()()()()()()PABCPAPBPCPABPBCPACPABC0.450.550.600.450.550.450.600.550.600.450.550.600.9019、设甲、乙两人独立地向同一目标射击，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，求它是甲射中的概率解：设A，B分别表示甲、乙命中目标，C表示目标被命中。)()()|(CPACPCAP)()(BAPAP)()()()(ABPBPAPAP0.60.60.50.60.53410、某厂的产品有4%的废品，每100件合格品中有75件一等品，试求在该厂中任取一件产品是一等品的概率。解：设A表示任取一件产品是一等品。B表示任取一件产品是合格品。则易知75.0)|(BAP96.0)(BP()()PAPAB72.075.096.0()(|)PBPAB11、设某型号的高炮发射一发炮弹击中飞机的概率为0.6，现用此型号的炮若干门同时各发射一发炮弹，问至少需配置几门高射炮才能以不小于0.99