【创新方案】2013年高考数学一轮复习 第六篇 数列 第1讲 数列的概念与简单表示法教案 理 新人教

1第1讲数列的概念与简单表示法【2013年高考会这样考】1．以数列的前几项为背景，考查“归纳—推理”思想．2．考查已知数列的通项公式或递推关系，求数列的某项．3．考查由数列的递推关系式求数列的通项公式，已知Sn与an的关系求an等．【复习指导】1．本讲复习主要以数列的概念、通项公式的求法为主．2．对于归纳通项公式的题目，归纳出通项后要进行验证．3．熟练掌握求解数列通项公式的基本方法，尤其是已知递推关系求通项这种基本的方法，另外注意累加法、累积法的灵活应用．基础梳理1．数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．2．数列的分类3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．4．数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．5．Sn与an的关系分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an＋1＞an其中n∈N＋递减数列an＋1＜an常数列an＋1＝an按其他标准分类有界数列存在正数M，使|an|≤M摆动数列an的符号正负相间，如1，－1,1，－1，…2已知Sn，则an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.在数列{an}中，若an最大，则an≥an－1，an≥an＋1.若an最小，则an≤an－1，an≤an＋1.一个联系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．因此，在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性．两个区别(1)若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列，这有别于集合中元素的无序性．(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现．三种方法由递推式求通项an的方法：(1)an＋1－an＝f(n)型，采用叠加法；(2)an＋1an＝f(n)型，采用叠乘法；(3)an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)型，采用待定系数法转化为等比数列解决．双基自测1．(人教A版教材习题改编)已知数列{an}的前4项分别为2,0,2,0，则下列各式不可以作为数列{an}的通项公式的一项是()．A．an＝1＋(－1)n＋1B．an＝2sinnπ2C．an＝1－cosnπD．an＝2，n为奇数0，n为偶数解析根据数列的前4项验证．答案B2．在数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1，则a5的值为()．A．30B．31C．32D．33解析a5＝2a4＋1＝2(2a3＋1)＋1＝22a3＋2＋1＝23a2＋22＋2＋1＝24a1＋23＋22＋2＋1＝31.答案B3．已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是()．A．递增数列B．递减数列3C．常数列D．不确定解析∵an＋1－an－3＝0，∴an＋1－an＝3＞0，∴an＋1＞an.故数列{an}为递增数列．答案A4．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为()．A．15B．16C．49D．64解析由于Sn＝n2，∴a1＝S1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，又a1＝1适合上式．∴an＝2n－1，∴a8＝2×8－1＝15.答案A5．(2012·泰州月考)数列1,1,2,3,5,8,13，x,34,55，…中x的值为________．解析观察数列中项的规律，易看出数列从第三项开始每一项都是其前两项的和．答案21考向一由数列的前几项求数列的通项【例1】►写出下面各数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…；(3)－1，32，－13，34，－15，36，…；(4)3,33,333,3333，….[审题视点]先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项之间的关系，项与前后项之间的关系．解(1)各项减去1后为正偶数，所以an＝2n＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23，24，…，所以an＝2n－12n.(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以an＝(－1)n·2＋－nn.也可写为an＝－1n，n为正奇数，3n，n为正偶数.4(4)将数列各项改写为：93，993，9993，99993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1，104－1，…，所以an＝13(10n－1)．根据数列的前几项求通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征：把数列的项分成变化的部分和不变的部分；(4)各项符号特征．若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式，让规律凸现出来．【训练1】已知数列{an}的前四项分别为1,0,1,0，给出下列各式：①an＝1－－n2；②an＝1＋－n2；③an＝sin2nπ2；④an＝1－cosnπ2；⑤an＝n为正偶数n为正奇数；⑥an＝1＋－n＋12＋(n－1)(n－2)．其中可以作为数列{an}的通项公式的有________(填序号)．答案①③④考向二由an与Sn的关系求通项an【例2】►已知数列{an}的前n项和为Sn＝3n－1，则它的通项公式为an＝________.[审题视点]利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求解．解析当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1－(3n－1－1)＝2·3n－1；当n＝1时，a1＝S1＝2也满足an＝2·3n－1.故数列{an}的通项公式为an＝2·3n－1.答案2·3n－1数列的通项an与前n项和Sn的关系是an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.当n＝1时，a1若适合Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示．【训练2】已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则其通项公式为________．解析当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为an＝2，n＝1，6n－5，n≥2.答案an＝2，n＝16n－5，n≥25考向三由数列的递推公式求通项【例3】►根据下列条件，确定数列{an}的通项公式．(1)a1＝1，an＋1＝3an＋2；(2)a1＝1，an＝n－1nan－1(n≥2)；(3)已知数列{an}满足an＋1＝an＋3n＋2，且a1＝2，求an.[审题视点](1)可用构造等比数列法求解．(2)可转化后利用累乘法求解．(3)可利用累加法求解．解(1)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，∴an＋1＋1an＋1＝3，∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1.(2)∵an＝n－1nan－1(n≥2)，∴an－1＝n－2n－1an－2，…，a2＝12a1.以上(n－1)个式子相乘得an＝a1·12·23·…·n－1n＝a1n＝1n.(3)∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝nn＋2(n≥2)．当n＝1时，a1＝12×(3×1＋1)＝2符合公式，∴an＝32n2＋n2.已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解．当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列；当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列；当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解；当出现anan－1＝f(n)时，用累乘法求解．【训练3】根据下列各个数列{an}的首项和基本关系式，求其通项公式．(1)a1＝1，an＝an－1＋3n－1(n≥2)；(2)a1＝2，an＋1＝an＋ln1＋1n.解(1)∵an＝an－1＋3n－1(n≥2)，∴an－1＝an－2＋3n－2，an－2＝an－3＋3n－3，…a2＝a1＋31，以上(n－1)个式子相加得an＝a1＋31＋32＋…＋3n－1＝1＋3＋32＋…＋3n－1＝3n－12.6(2)∵an＋1＝an＋ln1＋1n，∴an＋1－an＝ln1＋1n＝lnn＋1n，∴an－an－1＝lnnn－1，an－1－an－2＝lnn－1n－2，…a2－a1＝ln21，以上(n－1)个式相加得，∴an－a1＝lnnn－1＋lnn－1n－2＋…＋ln21＝lnn．又a1＝2，∴an＝lnn＋2.考向四数列性质的应用【例4】►已知数列{an}的通项an＝(n＋1)1011n(n∈N＋)，试问该数列{an}有没有最大项？若有，求最大项的项数；若没有，说明理由．[审题视点]作差：an＋1－an，再分情况讨论．解∵an＋1－an＝(n＋2)1011n＋1－(n＋1)1011n＝1011n9－n11.当n＜9时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an；当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n＞9时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an；故a1＜a2＜a3＜…＜a9＝a10＞a11＞a12＞…，所以数列中有最大项为第9,10项．(1)数列可以看作是一类特殊的函数，因此要用函数的知识，函数的思想方法来解决．(2)数列的单调性是高考常考内容之一，有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用①作差法，②作商法，③结合函数图象等方法．【训练4】已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋24n(n∈N*)．(1)求{an}的通项公式；(2)当n为何值时，Sn达到最大？最大值是多少？解(1)n＝1时，a1＝S1＝23.n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－n2＋24n＋(n－1)2－24(n－1)＝－2n＋25.经验证，a1＝23符合an＝－2n＋25，∴an＝－2n＋25(n∈N*)．(2)法一∵Sn＝－n2＋24n，∴n＝12时，Sn最大且Sn＝144.7法二∵an＝－2n＋25，∴an＝－2n＋25＞0，有n＜252.∴a12＞0，a13＜0，故S12最大，最大值为144.难点突破13——数列中最值问题的求解从近几年新课标高考可以看出，对求数列中的最大项是高考的热点，一般难度较大．解决这类问题时，要利用函数的单调性研究数列的最值，但要注意数列的单调性与函数的单调性有所不同，其自变量的取值是不连续的，只能取正整数，所以在求数列中的最大(小)项时，应注意数列中的项可以是相同的，故不应漏掉等号．【示例1】►(2010·辽宁)已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则ann的最小值为________．【示例2】►(2011·浙江)若数列nn＋23n中的最大项是第k项，则k＝________.8