人教B版选修11高中数学2.1.2《第1课时-椭圆的几何性质》ppt课件

教师用书独具演示2．1.2椭圆的几何性质第1课时椭圆的几何性质●三维目标1.知识与技能掌握椭圆的简单几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义，明确其相互关系．2．过程与方法能够画出椭圆的图形，会利用椭圆的几何性质解决相关的简单问题．3．情感、态度与价值观从离心率大小变化对椭圆形状的影响，体现数形结合，体会数学的对称美、和谐美．●重点、难点重点：由标准方程分析出椭圆几何性质．难点：椭圆离心率几何意义的导入和理解．对重难点的处理：为了突出重点，突破难点，应做好①让学生自主探索新知，②重难点之处进行反复分析，③及时巩固．●教学建议根据教学内容并结合学生所具备的逻辑思维能力，为了体现学生的主体地位，遵循学生的认知规律，宜采用这样的教学方法：启发式讲解，互动式讨论，研究式探索，反馈式评价．●教学流程演示结束课标解读1.掌握椭圆的几何性质及应用．(难点)2．掌握椭圆离心率的求法及a，b，c的几何意义．(难点)3．理解长轴长、短轴长、焦距与长半轴长、短半轴长、半焦距的概念．(易混点)椭圆的几何性质【问题导思】已知两椭圆C1，C2的标准方程：C1：x225＋y216＝1，C2：y225＋x216＝1.1．椭圆C1的焦点在哪个坐标轴上，a，b，c分别是多少？椭圆C2呢？【提示】C1：焦点在x轴上，a＝5，b＝4，c＝3，C2：焦点在y轴上，a＝5，b＝4，c＝3.2．怎样求C1，C2与两坐标轴的交点？交点坐标是什么？【提示】对于方程C1：令x＝0，得y＝±4，即椭圆与x轴的交点为(0,4)与(0，－4)；令y＝0得x＝±5，即椭圆与x轴的交点为(5,0)与(－5,0)．同理得C2与y轴的交点(0,5)，(0，－5)，与x轴的交点(4,0)(－4,0)．焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形椭圆的离心率【问题导思】观察不同的椭圆，其扁平程度各不一样，如何刻画椭圆的扁平程度呢？【提示】利用椭圆的离心率．1．定义椭圆的焦距与长轴长的比e＝ca，叫做椭圆的．2．性质离心率e的范围是．当e越接近于1，椭圆，当e越接近于，椭圆就越接近于圆.0越扁(0,1)离心率由椭圆方程研究几何性质已知椭圆16x2＋9y2＝1，求椭圆的顶点坐标、焦点坐标、长轴长、短轴长、焦距和离心率．【思路探究】(1)所给椭圆方程是标准形式吗？(2)怎样由椭圆的标准方程求得a、b、c的值进而写出其几何性质中的基本量？【自主解答】将椭圆方程化为x2116＋y219＝1，则a2＝19，b2＝116，椭圆焦点在y轴上，c2＝a2－b2＝19－116＝7144，所以顶点坐标为(0，±13)，(±14，0)，焦点坐标为(0，±712)，长轴长为23，短轴长为12，焦距为76，离心率为74.1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型．2．焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2＝b2＋c2求出焦点坐标，再写出顶点坐标．同时要注意长轴长、短轴长，焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍．本例中，若把椭圆方程改为“25x2＋16y2＝400”，试求其长轴长、短轴长、离心率、焦点与顶点坐标．【解】将方程变形为y225＋x216＝1，得a＝5，b＝4，所以c＝3.故椭圆的长轴长和短轴长分别为2a＝10和2b＝8，离心率e＝ca＝35，焦点坐标为F1(0，－3)，F2(0,3)，顶点坐标为A1(0，－5)，A2(0,5)，B1(－4,0)，B2(4,0).由椭圆的几何性质求其标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；(2)过(3,0)点，离心率e＝63.【思路探究】(1)椭圆的焦点位置确定了吗？(2)你将怎样求得a2，b2并写出标准方程？【自主解答】(1)由题意知2a＝4b，∴a＝2b.设椭圆标准方程为x2a2＋y2b2＝1或y2a2＋x2b2＝1，代入点(2，－6)得，4a2＋36b2＝1或36a2＋4b2＝1，将a＝2b代入得，a2＝148，b2＝37或a2＝52，b2＝13，故所求的椭圆标准方程为x2148＋y237＝1或y252＋x213＝1.(2)当椭圆焦点在x轴上时，有a＝3，ca＝63，∴c＝6，∴b2＝a2－c2＝9－6＝3，∴椭圆的标准方程为x29＋y23＝1；当椭圆焦点在y轴上时，b＝3，ca＝63，∴a2－b2a＝63，∴a2＝27，∴椭圆的标准方程为x29＋y227＝1.故所求椭圆标准方程为x29＋y227＝1或x29＋y23＝1.求标准方程的常用方法是待定系数法，基本思路是“先定位、再定量”．(1)定位即确定椭圆焦点的位置，若不能确定，应分类讨论．(2)定量即通过已知条件构建关系式，用解方程(组)的方法求a2，b2.其中a2＝b2＋c2，e＝ca是重要关系式，应牢记．分别求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)长轴长是6，离心率是23；(2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.【解】(1)设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)或y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)．由已知得2a＝6，a＝3.e＝ca＝23，∴c＝2.∴b2＝a2－c2＝9－4＝5.∴椭圆的标准方程为x29＋y25＝1或x25＋y29＝1.(2)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．如图所示，△B1FB2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|B1B2|＝2b，∴c＝b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18，故所求椭圆的标准方程为x218＋y29＝1.求椭圆的离心率(1)已知椭圆的焦距与短轴长相等，求其离心率．(2)若一个椭圆长轴长度、短轴的长度和焦距成等差数列，求该椭圆的离心率．【思路探究】(1)由焦距与短轴长相等，你能得出a，b，c的关系吗？可以用离心率公式求离心率吗？(2)由题意得2b＝a＋c，如何使用这一关系式求e?【自主解答】(1)由题意得：b＝c，∴e2＝c2a2＝c2b2＋c2＝c22c2＝12.∴e＝22.(2)∵椭圆的长轴长度、短轴长度与焦距成等差数列，∴2b＝a＋c，∴4b2＝(a＋c)2.又∵a2＝b2＋c2，∴4(a2－c2)＝a2＋2ac＋c2，即3a2－2ac－5c2＝0，∴(a＋c)(3a－5c)＝0.∵a＋c≠0，∴3a－5c＝0，∴3a＝5c，∴e＝ca＝35.求椭圆离心率的常用方法：(1)直接法：求出a，c后用公式e＝ca求解；或求出a，b后，用公式e＝1－b2a2求解．(2)转化法：将条件转化为关于a，b，c的关系式，用b2＝a2－c2消去b，构造关于ca的方程来求解．(1)求椭圆x216＋y28＝1的离心率．(2)已知椭圆的两个焦点F1、F2，点A为椭圆上一点，且AF1→·AF2→＝0，∠AF2F1＝60°，求椭圆的离心率．【解】(1)e＝1－b2a2＝1－816＝12＝22.(2)设F1F2＝2c，由题意知，△AF1F2中，∠A＝90°，∠AF2F1＝60°，∴|AF1|＝3c，|AF2|＝c.∵|AF1|＋|AF2|＝3c＋c＝2a，即(3＋1)c＝2a，∴e＝ca＝23＋1＝3－1.混淆长轴长与长半轴长、短轴长与短半轴长的概念致误求椭圆25x2＋y2＝25的长轴长和短轴长．【错解】将方程化为标准方程得：x2＋y225＝1，∴a＝5，b＝1，∴长轴长是5，短轴长是1.【错因分析】错解中将长半轴长、短半轴长与长轴长、短轴长混淆了，从而导致错误．【防范措施】根据定义，长轴长为2a，短轴长为2b，往往与长半轴长a、短半轴长b混淆，解题时要特别注意．【正解】将已知方程化成标准方程为x2＋y225＝1.∴a＝5，b＝1，∴2a＝10,2b＝2.故长轴长为10，短轴长为2.1．通过椭圆方程可讨论椭圆的简单几何性质；反之，由椭圆的性质也可以通过待定系数法求椭圆的方程．2．椭圆的离心率反映了椭圆的扁平程度，离心率可以从关于a、b、c的一个方程求得，也可以用公式求得．1．椭圆6x2＋y2＝6的长轴的顶点坐标是()A．(－1,0)，(1,0)B．(－6,0)，(6,0)C．(－6，0)，(6，0)D．(0，－6)，(0，6)【解析】椭圆的标准方程为x2＋y26＝1，焦点在y轴上，其长轴的端点坐标为(0，±6)．【答案】D2．椭圆x2＋4y2＝1的离心率为()A.32B.34C.22D.23【解析】椭圆方程可化为x2＋y214＝1，∴a2＝1，b2＝14，∴c2＝34，∴e2＝c2a2＝34，∴e＝32.【答案】A3．若焦点在x轴上的椭圆x22＋y2m＝1的离心率为12，则m等于()A.3B.32C.83D.23【解析】∵椭圆焦点在x轴上，∴0＜m＜2，a＝2，c＝2－m，e＝ca＝2－m2＝12.故2－m2＝14，∴m＝32.【答案】B4．已知椭圆的中心在坐标原点，离心率为45，一个焦点是(0,4)，求此椭圆的标准方程．【解】由题意：c＝4，e＝45，∴a＝5，∴b2＝a2－c2＝9.又椭圆的焦点在y轴上，∴其标准方程为y225＋x29＝1.课时作业（八）已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，若椭圆上存在一点P使asin∠PF1F2＝csin∠PF2F1，求该椭圆的离心率的取值范围．【解】在△PF1F2中，由正弦定理得|PF2|sin∠PF1F2＝|PF1|sin∠PF2F1，则结合已知，得a|PF2|＝c|PF1|，即|PF1|＝ca|PF2|.由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，则ca|PF2|＋|PF2|＝2a，即|PF2|＝2a2c＋a，由椭圆的几何性质和已知条件知|PF2|＜a＋c，则2a2c＋a＜a＋c，即c2＋2ac－a2＞0，所以e2＋2e－1＞0，解得e＜－2－1或e＞2－1.又e∈(0,1)，故椭圆的离心率e∈(2－1,1)．椭圆M：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆M上任一点，且PF1→·PF2→的最大值的取值范围是[c2,3c2]，其中c＝a2－b2，则椭圆M的离心率e的取值范围是()A．[14，12]B．[12，22]C．(22，1)D．[12，1)【解析】设P(x，y)，F1(－c,0)，F2(c,0)，则PF1→＝(－c－x，－y)，PF2→＝(c－x，－y)，PF1→·PF2→＝x2＋y2－c2.又x2＋y2可看作P(x，y)到原点的距离的平方，所以(x2＋y2)max＝a2，所以(PF1→·PF2→)max＝b2，所以c2≤b2＝a2－c2≤3c2，即14≤e2≤12，∴12≤e≤22.【答案】B