【人教A版数学】2012版大一轮复习-2.3 函数的奇偶性

§2.3函数的奇偶性基础知识自主学习要点梳理1．奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做奇函数．奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)2．奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性.(2)在公共定义域内，①两个奇函数的和是，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积都是；③一个奇函数，一个偶函数的积是.相同相反奇函数偶函数奇函数3．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．f(x)存在一个最小[难点正本疑点清源]1．函数奇偶性的判断判断函数的奇偶性主要根据定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)(或f(－x)＝－f(x))，那么函数f(x)就叫做偶函数(或奇函数)．其中包含两个必备条件：①定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域有利于准确简捷地解决问题；②判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．2．函数奇偶性的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．(2)若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．(3)若奇函数f(x)定义域中含有0，则必有f(0)＝0.f(0)＝0是f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件．(4)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”．(5)复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”．(6)既奇又偶的函数有无穷多个(如f(x)＝0，定义域是关于原点对称的任意一个数集)．基础自测1．下列函数中，所有奇函数的序号是________．(1)f(x)＝2x4＋3x2；(2)f(x)＝x3－2x；(3)f(x)＝x2＋1x；(4)f(x)＝x3＋1.解析由奇偶函数的定义知：(1)为偶函数；(2)(3)为奇函数；(4)既不是偶函数，也不是奇函数．(2)(3)2．若f(x)＝12x－1＋a是奇函数，则a＝________.解析f(－x)＝12－x－1＋a＝2x1－2x＋a，f(－x)＝－f(x)⇒2x1－2x＋a＝－12x－1＋a⇒2a＝11－2x－2x1－2x＝1，故a＝12.点评不少同学想到了f(0)＝0.本题行吗？注意f(x)在x＝0处无意义，所以f(0)＝0是不成立的．123．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lgx，则满足f(x)0的x的取值范围是________________________．解析画草图，由f(x)为奇函数的性质知：f(x)0的x的取值范围：(－1,0)∪(1，＋∞)．(－1,0)∪(1，＋∞)4．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是()A．－13B.13C.12D．－12解析依题意得a－1＝－2ab＝0，∴a＝13b＝0，∴a＋b＝13＋0＝13.B5．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(2011)等于()A．－2B．2C．－98D．98解析∵f(x)的周期T＝4，∴f(2011)＝f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.A题型分类深度剖析题型一函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝3－x2＋x2－3；(2)f(x)＝(x＋1)1－x1＋x；(3)f(x)＝4－x2|x＋3|－3.思维启迪确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立．解(1)由3－x2≥x2－3≥0，得x＝±3.∴f(x)的定义域为{－3,3}．又f(3)＋f(－3)＝0，f(3)－f(－3)＝0.即f(x)＝±f(－x)．∴f(x)既是奇函数，又是偶函数．(2)由1－x1＋x≥1＋x≠0，得－1x≤1.∵f(x)的定义域(－1,1]不关于原点对称．∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(3)由4－x2≥|x＋3|－3≠0，得－2≤x≤2且x≠0.∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称．∴f(x)＝4－x2x＋3－3＝4－x2x.∴f(x)＝－f(－x)，∴f(x)是奇函数．探究提高判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域对解决问题是有利的；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数，分段函数奇偶性的判断，要分别从x0或x0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．变式训练1判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝lg1－x1＋x；(2)f(x)＝(x－1)2＋x2－x；(3)f(x)＝x2＋xx0，x2－xx0；(4)f(x)＝lg1－x2|x2－2|－2.解(1)由1－x1＋x0⇒－1x1，定义域关于原点对称．又f(－x)＝lg1＋x1－x＝lg1－x1＋x－1＝－lg1－x1＋x＝－f(x)，故原函数是奇函数．(2)由2＋x2－x≥0且2－x≠0⇒－2≤x2，定义域关于原点不对称，故原函数是非奇非偶函数．(3)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x0时，f(x)＝x2＋x，则当x0时，－x0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)；当x0时，f(x)＝x2－x，则当x0时，－x0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．(4)由1－x20，|x2－2|－2≠0得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称，∴f(x)＝lg1－x2－x2－2－2＝－lg1－x2x2.∵f(－x)＝－lg[1－－x2]－x2＝－lg1－x2x2＝f(x)，∴f(x)为偶函数．题型二函数的奇偶性与单调性例2(1)已知f(x)是R上的奇函数，且当x0时，f(x)＝x2－x－1，求f(x)的解析式；(2)设a0，f(x)＝exa＋aex是R上的偶函数，求实数a的值；(3)已知奇函数f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]内递减，求满足：f(1－m)＋f(1－m2)0的实数m的取值范围．思维启迪(1)f(x)是一个分段函数，当x0时，转化为f(x)＝－f(－x)．(2)可用定义法，也可以用特殊值代入，如f(1)＝f(－1)，再验证．(3)可考虑f(x)在[－2,2]上的单调性．解(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，当x0时，－x0，由已知f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1＝－f(x)．∴f(x)＝－x2－x＋1..)0(12)0(0)0(12)(xxxxxxxxf(2)方法一∵f(x)是R上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)在R上恒成立．即e－xa＋ae－x＝exa＋aex，(a2－1)e2x＋1－a2＝0对任意的x恒成立，∴a2－1＝a0，解得a＝1.方法二∵f(x)是R上的偶函数，∴f(－1)＝f(1)，∴1a·1e＋ae＝ea＋ae，∴a－1ae＋1e1a－a＝0，∴a－1ae2－1＝0，∴a－1a＝0.又a0，∴a＝1.经验证当a＝1时，有f(－x)＝f(x)．∴a＝1.(3)∵f(x)的定义域为[－2,2]，∴有－2≤1－m≤－2≤1－m2≤2，解得－1≤m≤3.①又f(x)为奇函数，且在[－2,0]上递减，∴在[－2,2]上递减，∴f(1－m)－f(1－m2)＝f(m2－1)⇒1－mm2－1，即－2m1.②综合①②可知，－1≤m1.探究提高(1)奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．(2)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．(3)奇函数f(x)在x＝0处有意义，一定有f(0)＝0.但是在用f(0)＝0求出参数后，要注意验证．(4)f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．在应用特殊值求参数时，求出参数后要注意验证．变式训练2(1)若函数f(x)＝loga(x＋x2＋2a2)是奇函数，则实数a的值是________．分析由奇函数的性质可得到参数a的方程，然后求解即可．解析方法一由f(x)＋f(－x)＝0，得loga(x＋x2＋2a2)＋loga(x2＋2a2－x)＝0⇒loga2a2＝0⇒2a2＝1，因为a0，所以a＝22.方法二因为函数的定义域为全体实数，所以函数在原点有定义，则f(0)＝0，即loga2a2＝0，则2a2＝1，得a＝22.22点评若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则必有f(0)＝0.利用这个性质求解参数的取值，方便、快捷．(2)若偶函数f(x)在(－∞，0)内单调递减，则不等式f(－1)f(lgx)的解集是()A．(0,10)B.110，10C.110，＋∞D.0，110∪(10，＋∞)解析因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(|x|)，因为f(x)在(－∞，0)内单调递减，所以f(x)在(0，＋∞)内单调递增．故|lgx|1，即lgx1或lgx－1，解得x10或0x110.点评解决本题的关键在于利用函数的奇偶性把不等式两边的函数值转化到同一个单调区间上，然后利用函数的单调性脱掉符号“f”．D题型三函数的奇偶性与周期性例3设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)．思维启迪(1)只需证明f(x＋T)＝f(x)，即可说明f(x)是周期函数；(2)由f(x)在[0,2]上的解析式求得f(x)在[－2,0]的解析式，进而求f(x)在[2,4]上的解析式；(3)由周期性求和的值．(1)证明∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)解∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，∴4－x∈[0,2]，∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8，又f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x2＋6x－8，即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2,4]．(3)解∵f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＋f(2011)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011