【人教A版数学】2012版大一轮复习-2.8 函数模型及其应用

§2.8函数模型及其应用基础知识自主学习要点梳理1．几类函数模型及其增长差异(1)几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝kx＋b(k，b为常数且k≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a0且a≠1)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a0且a≠1)幂函数模型f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)(2)三种增长型函数之间增长速度的比较①指数函数y＝ax(a1)与幂函数y＝xn(n0)在区间(0，＋∞)，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内ax会小于xn，但由于y＝ax的增长速度快于y＝xn的增长速度，因而总存在一个x0，当xx0时有.②对数函数y＝logax(a1)与幂函数y＝xn(n0)对数函数y＝logax(a1)的增长速度，不论a与n值的大小如何总会慢于y＝xn的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0，使xx0时有.由①②可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0，＋∞)上，总会存在一个x0，使xx0时有.axxnlogaxxnaxxnlogax2．解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．以上过程用框图表示如下：[难点正本疑点清源]解决函数应用问题重点解决以下问题(1)阅读理解、整理数据：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；(2)建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域；(3)求解函数模型：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图象的作用；(4)回答实际问题结果：将函数问题的结论还原成实际问题，结果明确表述出来．基础自测1．为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：明文加密密文发送密文解密明文已知加密为y＝ax－2(x为明文，y为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是______．解析依题意y＝ax－2中，当x＝3时，y＝6，故6＝a3－2，解得a＝2.所以加密为y＝2x－2，因此，当y＝14时，由14＝2x－2，解得x＝4.42．某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－120Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元．解析L(Q)＝40Q－120Q2－10Q－2000＝－120Q2＋30Q－2000＝－120(Q－300)2＋2500当Q＝300时，L(Q)的最大值为2500万元．25003．某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，存期是x，本利和(本金加利息)为y元，则本利和y随存期x变化的函数关系式是__________________．解析已知本金为a元，利率为r，则1期后本利和为y＝a＋ar＝a(1＋r)，2期后本利和为y＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2，3期后本利和为y＝a(1＋r)3，…x期后本利和为y＝a(1＋r)x，x∈N*.y＝a(1＋r)x，x∈N*4．某物体一天中的温度T(单位：℃)是时间t(单位：h)的函数：T(t)＝t3－3t＋60，t＝0表示中午12∶00，其后t取正值，则下午3时温度为()A．8℃B．78℃C．112℃D．18℃解析由题意，下午3时，t＝3，∴T(3)＝78(℃)．B5．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝12x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为()A．36万件B．18万件C．22万件D．9万件解析利润L(x)＝20x－C(x)＝－12(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．点评解决本题的关键是正确建立利润和产量之间的函数关系式．B题型分类深度剖析题型一一次函数、二次函数模型例1某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润和投资单位：万元)．(1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产.①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？②问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？思维启迪(1)根据函数模型，建立函数解析式．(2)根据资金分配情况，建立利润解析式．解(1)设甲、乙两种产品分别投资x万元(x≥0)，所获利润分别为f(x)、g(x)万元，由题意可设f(x)＝k1x，g(x)＝k2x，∴根据图象可解得f(x)＝0.25x(x≥0)，g(x)＝2x(x≥0)．(2)①由(1)得f(9)＝2.25，g(9)＝29＝6，∴总利润y＝8.25(万元)．②设B产品投入x万元，A产品投入(18－x)万元，该企业可获总利润为y万元，则y＝14(18－x)＋2x，0≤x≤18.令x＝t，t∈[0,32]，则y＝14(－t2＋8t＋18)＝－14(t－4)2＋344.∴当t＝4时，ymax＝344＝8.5，此时x＝16,18－x＝2.∴当A、B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润8.5万元．探究提高(1)在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)，构建一次函数模型，利用一次函数的图象与单调性求解．(2)有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等．构建二次函数模型，利用二次函数图象与单调性解决．(3)在解决二次函数的应用问题时，一定要注意定义域．变式训练1假设国家收购某种农产品的价格是1.2元/kg，其中征税标准为每100元征8元(即税率为8个百分点，8%)，计划可收购mkg.为了减轻农民负担，决定税率降低x个百分点，预计收购可增加2x个百分点．(1)写出税收y(元)与x的函数关系；(2)要使此项税收在税率调节后不低于原计划的78%，确定x的取值范围．解(1)由题知，调节后税率为(8－x)%，预计可收购m(1＋2x%)kg，总金额为1.2m(1＋2x%)元，∴y＝1.2m(1＋2x%)(8－x)%＝3m12500(400－42x－x2)(0x≤8)．(2)∵原计划税收1.2m·8%元，∴1.2m(1＋2x%)(8－x)%≥1.2m·8%·78%，得x2＋42x－88≤0，－44≤x≤2，又∵0x≤8，∴x的取值范围为0x≤2.题型二分段函数模型例2某公司研制出了一种新产品，试制了一批样品分别在国内和国外上市销售，并且价格根据销售情况不断进行调整，结果40天内全部销完．公司对销售及销售利润进行了调研，结果如图所示，其中图①(一条折线)、图②(一条抛物线段)分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系，图③是每件样品的销售利润与上市时间的关系．(1)分别写出国外市场的日销售量f(t)与上市时间t的关系及国内市场的日销售量g(t)与上市时间t的关系；(2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于6300万元？若有，请说明是上市后的第几天；若没有，请说明理由．思维启迪第(1)问就是根据图①和②所给的数据，运用待定系数法求出各图象中的解析式；第(2)问先求得总利润的函数关系式，再将问题转化为方程是否有解．解(1)图①是两条线段，由一次函数及待定系数法，得f(t)＝2t，0≤t≤30，－6t＋240，30t≤40.图②是一个二次函数的部分图象，故g(t)＝－320t2＋6t(0≤t≤40)．(2)每件样品的销售利润h(t)与上市时间t的关系为h(t)＝3t，0≤t≤20，60，20t≤40.故国外和国内的日销售利润之和F(t)与上市时间t的关系为F(t)＝3t－320t2＋8t，0≤t≤20，60－320t2＋8t，20t≤30，60－320t2＋240，30t≤40.当0≤t≤20时，F(t)＝3t－320t2＋8t＝－920t3＋24t2，∴F′(t)＝－2720t2＋48t＝t48－2720t≥0，∴F(t)在[0,20]上是增函数，∴F(t)在此区间上的最大值为F(20)＝60006300.当20t≤30时，F(t)＝60－320t2＋8t.由F(t)＝6300，得3t2－160t＋2100＝0，解得t＝703(舍去)或t＝30.当30t≤40时，F(t)＝60－320t2＋240.由F(t)在(30,40]上是减函数，得F(t)F(30)＝6300.故国外和国内的日销售利润之和可以恰好等于6300万元，为上市后的第30天．探究提高(1)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．(2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理不重不漏．变式训练2已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝10.8－130x20x≤10，108x－10003x2x10.(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本)解(1)当0x≤10时，W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝8.1x－x330－10；当x10时，W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝98－10003x－2.7x.∴W＝8.1x－x330－100x≤10，98－10003x－2.7xx10.(2)①当0x10时，由W′＝8.1－x210＝0，得x＝9，且当x∈(0,9)时，W′0；当x∈(9,10)时，W′0，∴当x＝9时，W取最大值，且Wmax＝8.1×9－130·93－10＝38.6.②当x10时，W＝98－10003x＋2.7x≤98－210003x·2.7x＝38，当且仅当10003x＝2.7x，即x＝1009时，W＝38，故当x＝1009时，W取最大值38.综合①②知当x＝9时，W取最大值38.6万元，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．点评分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后再比较大小．另外在利用基本不等式求解最值时，一定要检验等号成立的条件．也可通过函数的单调性求解最值．题型三指数函数、幂函数模型例3某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答以下问题：(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万人(精确到1年)；(4)如果20年后该城市人口总数不超过120万人，年自然增长率应该控制在多少？(参考