2013高考数学(理)二轮复习课件(解析版)：专题8 选考模块部分(湖北省专用)

第23讲几何证明选讲第24讲坐标系与参数方程第25讲不等式选讲专题八选考模块部分专题八选考模块部分第23讲几何证明选讲第23讲│云览高考[云览高考]说明：A表示简单题，B表示中等题，C表示难题．频率为近三年湖北真题情况，2010年，2011年为大纲卷．考点统计题型(频率)考例(难度)考点1相似三角形考点2直线与圆的位置关系填空(1)2012湖北卷15(A)第23讲│二轮复习建议二轮复习建议命题角度：该部分基本上围绕圆展开，设计证明角相等、线段相等、三角形相似、四点共圆、求解一些几何量等问题，目的是考查对几何证明选讲知识的掌握程度和逻辑推理能力．预计2013年基本命题方向不变，即以圆为中心，全面考查几何证明选讲的内容．第23讲│二轮复习建议复习建议：平面几何的特点是定理多，解题过程中逻辑性强，推理论证中往往要添加辅助线达到使用定理的目的．复习该部分时，首先要掌握好基础知识，主要是如下几个定理：直角三角形射影定理、圆周角定理、圆的切线的判定定理与性质定理、相交弦定理、圆内接四边形的判定定理与性质定理、切割线定理，这些定理是进行几何证明的依据；其次要在具体的证明过程中，体会几何证明的思考过程，几何证明往往是分析与综合同时进行，寻找证明思路时以分析为主导，表述证明过程时以综合为主导，这里最能体现一个人的逻辑思维能力，要在几何证明过程中反复体会这个思考过程；第三，要对一些题目类型进行总结，几何证明的高考试题集中在以圆为载体和三角形、四边形相结合的综合型题目上，这类试题往往要综合运用多个定理和添设一定的辅助线才能解决，在复习时要注意总结一些添设辅助线的方法技巧．第23讲│主干知识整合主干知识整合第23讲│主干知识整合主干知识整合第23讲│主干知识整合1.相似三角形(1)平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也相等．(2)平行截割定理：两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成比例．(3)梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．(4)相似三角形的判定定理及其推论：①两角对应相等的两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；③三边对应成比例的两个三角形相似；④如果一条直线与一个三角形的一条边平行，且与三角形的另两边相交，则截得的三角形与原三角形相似．第23讲│主干知识整合(5)相似三角形的性质定理：相似三角形的对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方．(6)直角三角形射影定理：直角三角形一条直角边的平方等于该边在斜边上的射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两直角边在斜边上射影的乘积．第23讲│主干知识整合2．直线与圆的位置关系(1)圆周角定理及其推论定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半．推论1：同弧(或等弧)所对的圆周角相等．同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角等于90°.反之，90°的圆周角所对的弦为直径．(2)圆的切线判定定理：过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线．性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长相等．第23讲│主干知识整合(3)弦切角定理及其推论定理：弦切角的度数等于对应弦与切线所夹弧度数的一半．推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角与圆周角相等(4)相交弦定理：圆的两条相交弦，被交点分成两段的积相等．(5)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆的交点的两条线段的积相等．(6)切割线定理：从圆外一点引圆的一条割线和一条切线，切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段长的等比中项．(7)圆内接四边形的性质和判定性质定理：圆内接四边形对角互补．判定定理：如果四边形的对角互补，则此四边形内接于圆.要点热点探究第23讲│要点热点探究►探究点一相似三角形的应用例1[2012·课程标准卷]如图8－23－1，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点．若CF∥AB，证明：(1)CD＝BC；(2)△BCD∽△GBD.图8－23－1第23讲│要点热点探究[思考流程](1)(条件)如题干⇨(目标)CD＝BC⇨(方法)等量代换，根据平行关系可证CD＝AF，根据平行关系与圆的特点可证BC＝AF，等量代换即可证明之；(2)(条件)根据(1)△BCD为等腰三角形⇨(目标)△BCD∽△GBD⇨(方法)只需证明△GBD也是等腰三角形且两三角形有一个内角相等，根据三角形相似的判定定理可证．第23讲│要点热点探究[解析]证明：(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，连接AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF.因为CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC.(2)因为FG∥BC，故GB＝CF.由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD.而∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，故△BCD∽△GBD.第23讲│要点热点探究[点评]本题证明中使用了圆的一个不太常用的性质，即同圆中，夹在两条平行弦之间的圆弧相等，根据已知的平行关系很容易得到线段的相等，从而进行等量代换．第23讲│要点热点探究►探究点二圆中的比例线段例2如图8－23－2所示，PA为⊙O的切线，A为切点，PBC是过圆心的割线，PA＝10，PB＝5，∠BAC的平分线与BC和⊙O分别交于点D和E.(1)求证：ABAC＝PAPC；(2)求AD·AE的值．图8－23－2第23讲│要点热点探究[思考流程](1)(条件)如题干⇨(目标)ABAC＝PAPC⇨(方法)分析法．欲证ABAC＝PAPC，只需证明△PAB∽△PCA，只需证明两三角形有两个内角相等，一个使用弦切角定理、一个是公共角，根据相似三角形性质得证；(2)(条件)如题干⇨(目标)AD·AE⇨(方法)欲求AD·AE只需证明△ACE∽△ADB，连接CE后可证，此时AD·AE＝AB·AC，根据切割线定理和BC是圆的直径求出AB，AC即可，等量代换得之．第23讲│要点热点探究解：(1)证明：∵PA为⊙O的切线，∴∠PAB＝∠ACP，又∠P＝∠P，∴△PAB∽△PCA.∴ABAC＝PAPC.(2)∵PA为⊙O的切线，PBC是过圆心的割线，∴PA2＝PB·PC.又∵PA＝10，PB＝5，∴PC＝20，BC＝15.由(1)知，ABAC＝PAPC＝12.∵BC是⊙O的直径，∴∠CAB＝90°，∴AC2＋AB2＝BC2＝225，∴AC＝65，AB＝35，连接CE，则∠ABC＝∠E，又∠CAE＝∠EAB，∴△ACE∽△ADB，∴ABAE＝ADAC.∴AD·AE＝AB·AC＝35×65＝90.第23讲│要点热点探究[点评]本题较为全面地考查了圆内的角的关系和圆中的比例线段．题目的难点是第二问中的求值，考虑问题的基本思路是找出线段AD，AE所在的两个三角形，使两个三角形相似，通过三角形相似的性质得出线段AD，AE与已知线段之间的关系．第23讲│要点热点探究变式题如图8－23－3所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD，BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2＝EF·EC.(1)求证：∠P＝∠EDF；(2)求证：CE·EB＝EF·EP.图8－23－3第23讲│要点热点探究证明：(1)∵DE2＝EF·EC，∴DE∶CE＝EF∶ED.∵∠DEF是公共角，∴△DEF∽△CED.∴∠EDF＝∠C.∵CD∥AP，∴∠C＝∠P.∴∠P＝∠EDF.(2)∵∠P＝∠EDF，∠AEP＝∠FED，∴△DEF∽△PEA.∴DE∶PE＝EF∶EA.即EF·EP＝DE·EA.∵弦AD，BC相交于点E，∴DE·EA＝CE·EB.∴CE·EB＝EF·EP.第23讲│要点热点探究►探究点三圆内接四边形的判定与性质的应用例3如图8－23－4，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，△ACD的外接圆交BC于点E，AB＝2AC.(1)求证：BE＝2AD；(2)当AC＝1，EC＝2时，求AD的长．图8－23－4第23讲│要点热点探究[思考流程](1)(条件)如题干⇨(目标)BE＝2AD⇨(方法)分析法．欲证BE＝2AD只需证明BE＝2DE，只需证明△BDE∽△BCA，连接DE后使用圆内接四边形的性质；(2)(条件)如题干⇨(目标)AD的长⇨(方法)只需得出关于AD长度的方程，使用割线定理并作等量代换可得．第23讲│要点热点探究解：(1)证明：连接DE，因为四边形ACED是圆的内接四边形，所以∠BDE＝∠BCA.又∠DBE＝∠CBA，所以△BDE∽△BCA，即有BEBA＝DECA.而AB＝2AC，所以BE＝2DE.又CD是∠ACB的平分线，所以AD＝DE，从而BE＝2AD.(2)由条件得AB＝2AC＝2，设AD＝t，根据割线定理得BD·BA＝BE·BC，即(AB－AD)·BA＝2AD·(2AD＋CE)，所以(2－t)×2＝2t(2t＋2)，即2t2＋3t－2＝0，解得t＝12，即AD＝12.第23讲│要点热点探究[点评]在圆的问题中连接圆上点得出圆内接四边形，就可以根据圆内接四边形的性质得到角之间的关系，为证明三角形相似提供依据，这也是平面几何中常见的作辅助线的方法．第23讲│要点热点探究变式题如图8－23－5，△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M.(1)求证：O，B，D，E四点共圆；(2)求证：2DE2＝DM·AC＋DM·AB.图8－23－5第23讲│要点热点探究证明：(1)连接BE，交OD于点N，则BE⊥EC.因为O，D分别为AB，BC的中点，所以OD∥AC且N为BE中点，所以BE⊥OD，即OD为BE的垂直平分线，所以DE＝BD.又OE＝OB，OD＝OD，所以△ODE≌△ODB，所以∠OBD＝∠OED＝90°.故D，E，O，B四点共圆．(2)延长DO交圆于点H，∵DE2＝DM·DH＝DM·(DO＋OH)＝DM·DO＋DM·OH，∴DE2＝DM·12AC＋DM·12AB，即2DE2＝DM·AC＋DM·AB.规律技巧提炼第23讲│规律技巧提炼•规律几何证明的高考试题集中在以圆为载体和三角形、四边形相结合的综合型题目上，这类试题往往要综合运用多个定理和添设一定的辅助线才能解决，在解题时要注意总结一些添设辅助线的方法技巧．•技巧几何证明往往是分析与综合同时进行，寻找证明思路时以分析为主导，表述证明过程时以综合为主导，这里最能体现一个人的逻辑思维能力，要在几何证明过程中反复体会这个思考过程．•易错几何证明的特点就是其严密性，在证明过程中每一步推理都要有充分的依据，按照整个证明过程的逻辑顺序把证明过程书写出来.教师备用例题第23讲│教师备用例题选题理由：例1主要是四点共圆的应用，可在探究点三中使用；例2是两圆之间的关系，关键是其中的角之间关系的分析，可在探究点二中使用．第23讲│教师备用例题例1如图，A，B，C，D四点在同一圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上．(1)若ECEB＝13，EDEA＝12，求DCAB的值；(2)若EF2＝FA·FB，证明：EF∥CD.第23讲│教师备用例题解：(1)∵A，B，C，D四点共圆，∴∠EDC＝∠EBF，又∠AEB为公共角，∴△ECD∽△EAB.∴DCAB＝ECEA＝EDEB，∴DCAB2＝ECEA·EDEB＝ECEB·EDEA＝13·12＝16.∴DCAB＝66.(2)证明：∵EF2＝FA·FB，∴EFFA＝FBFE，又∵∠EFA＝∠BFE，∴△FAE∽△FEB，∴∠FEA＝∠EBF，又∵A，B，C，D四点共圆，∴∠EDC＝∠EBF，∴∠FEA＝∠EDC，∴EF∥CD.第23讲│教师备用例题例2如图，已知⊙O和⊙M相交于A，B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为弧BD的中点，连接AG分别交⊙O，BD于点E，F，连接CE.(1)求