【金版学案】2016高考数学理科二轮复习课件：专题4第二讲 线性规划、基本不等式与不等式的证明

随堂讲义专题四不等式第二讲线性规划、基本不等式与不等式的证明预测2016年高考中一定有线性规划小题，利用不等式性质与基本不等式的小题一般也会考到，且基本不等式也可能在大题中求最值问题中用到．但由于现在常用导数方法研究函数最值问题，故直接利用基本不等式求最值机会变小，但仍然有考到的可能，特别是在小题中可能性很大．例1(1)设a，b∈R，若a－|b|＞0，则下列不等式中正确的是()A．b－a＞0B．a3＋b3＜0C．b＋a＞0D．a2－b2＜0(2)已知a＞b＞0，且ab＝1，设c＝2a＋b，p＝logca，m＝logc(ab)，n＝logcb，则m，n，p的大小关系是________．思路点拨：(1)可以根据a－|b|＞0去掉绝对值号得到a与b的大小关系，从而作出判断，亦可以在a，b∈R的前提下取满足a－|b|＞0的特殊实数a，b验证．(2)可以由已知先得到a，b，ab三者的大小关系，再判定c与1的大小关系，最后利用对数函数的单调性比较大小．亦可以用特殊值法比较．解析：(1)解法一由a－|b|＞0，得a＞|b|，∴－a＜b＜a，∴a＋b＞0且a－b＞0，∴b－a＜0，A错．a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＝(a＋b)a－b22＋34b2＞0，∴B错．而a2－b2＝(a－b)(a＋b)＞0，∴D错．故选C.解法二(特殊值法)∵a，b∈R且a－|b|＞0，∴取a＝2，b＝－1.则b－a＝－1－2＝－3＜0，∴A错．a3＋b3＝8－1＝7＞0，∴B错．a2－b2＝22－(－1)2＝3＞0，∴D错．故选C.(2)解法一∵a＞b＞0且ab＝1，∴a＞1，0＜b＜1.∴a＞ab＞b＞0，又0＜c＝2a＋b＝2a＋1a＜22a·1a＝1，∴y＝logcx在(0，＋∞)为减函数，∴p＜m＜n.解法二(特殊值法)∵a＞b＞0且ab＝1，∴取a＝2，b＝12.∴c＝2a＋b＝45＜1，p＝log452＜0，m＝log451＝0，n＝log4512＞0，∴p＜m＜n.答案：(1)C(2)p＜m＜n(1)判断不等式的正误，常利用不等式的性质、基本不等式、函数的单调性和特殊值法、作差法等．(2)比较大小常利用：①函数的单调性法；②图象法；③不等式的性质或基本不等式法；④作差法；⑤特殊值法．1．设a＞b＞1，c＜0，给出下列三个结论：①ca＞cb；②ac＜bc；③logb(a－c)＞loga(b－c)．其中所有的正确结论的序号是(D)A．①B．①②C．②③D．①②③解析：由a＞b＞1，c＜0得ca＞cb，故①正确；由幂函数的单调性知：ac＜bc，故②正确；由对数函数的单调性知：logb(a－c)＞loga(b－c)，故③正确．故选D.例2某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为________元．解析：设甲种设备需要生产x天，乙种设备需要生产y天，该公司所需租赁费为z元，则z＝200x＋300y，甲、乙两种设备生产A，B两类产品的情况如下表所示：产品设备A类产品/件B类产品/件租赁费/元甲设备510200乙设备620300则满足的关系为5x＋6y≥50，10x＋20y≥140，x≥0，y≥0，即x＋65y≥10，x＋2y≥14，x≥0，y≥0.作出不等式表示的平面区域，当z＝200x＋300y对应的直线过两直线x＋65y＝10，x＋2y＝14的交点(4，5)时，目标函数z＝200x＋300y取得最小值，为2300元．答案：2300误区警示：本题易由于画图不准，而将顶点确定错．(1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是由最优解确定目标函数的字母系数的取值范围．(2)解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．2．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克，B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A，B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是(C)A．1800元B．2400元C．2800元D．3100元解析：设公司每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶，公司共可获得利润为z元，则由已知，得z＝300x＋400y，且x＋2y≤12，2x＋y≤12，x≥0，y≥0，画可行域(如图所示),目标函数z＝300x＋400y可变形为y＝－34x＋z400，这是随z变化的一组平行直线．解方程组2x＋y＝12，x＋2y＝12，得x＝4，y＝4，即A(4，4)．∴zmax＝300×4＋400×4＝2800.例3某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：米)的矩形，上部是斜边长为x的等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8平方米．(1)求y与x的解析式，并求x的取值范围；(2)x，y分别为多少时用料最省？思路点拨：先根据题意找出数量关系，再由基本不等式求最值．解析：(1)由题意，得x·y＋12x·x2＝8，∴y＝8x－x4.由x0，y0，得0x42.(2)设框架用料长度为l(单位：米)，则l＝2x＋2y＋2x＝32＋2x＋16x≥46＋42＝8＋42.当且仅当32＋2x＝16x，即x＝8－42，y＝22时，等号成立.0x＝8－4242，满足题意．即：当x＝(8－42)米，y＝22米时，用料最少．本题考查利用基本不等式解决实际问题，是面积固定求周长最省料的模型，解题时，列出一个面积的等式，代入周长所表示的代数式中，消去一个末知数，这是常用的解题方法．3．为了保护环境，实现城市绿化．某房地产公司要在拆迁地长方形ABCD上规划出一块长方形地面建造公园，公园一边落在CD上，但不得越过文物保护区△AEF的EF，问如何设计才能使公园占地面积最大？并求这个最大面积(其中AB＝200m，BC＝160m，AE＝60m，AF＝40m)．解析：设CG＝x，矩形CGPH面积为y.作EN⊥PH于点N，则EN40＝x－14060⇒EN＝2x－2803.∴HC＝160－2x－2803＝760－2x3.y＝x·760－2x3＝16·2x(760－2x)≤1676022＝722003.当2x＝760－2x⇒x＝190，即CG长为190m时，最大面积为722003m2.1．应用均值不等式解题常用到“和定积最大，积定和最小”，其解题步骤是“一正、二定、三相等”，“二定”指含变数的两项的和(积)为常数，合理拆添项或拼凑因式是常用的技巧，而拆和凑的前提是要求等号能够成立．2．当用均值不等式求最值取不到等号时，常利用函数y＝x＋ax(a＞0)的单调性求解．3．注意函数y＝x＋1x(x＜0)的单调性及推导方法．4．线性规划问题应特别注意目标函数最值的几何意义是与直线的截距符号相同还是相反．5．作差法的依据是a＞b⇔a－b＞0，证明中常用到配方法、分解因式、均值不等式等方法；作商法的依据是a，b∈R＋，a＞b⇔ab＞1，适用于指数、幂的形式．